河南省驻马店市逐梦计划大联考2025-2026学年高一上学期10月考试数学试卷

这是一份河南省驻马店市逐梦计划大联考2025-2026学年高一上学期10月考试数学试卷，共20页。试卷主要包含了 若⽅程， 已知椭圆， 直线， 已知直线， 若椭圆等内容，欢迎下载使用。
⾼⼆数学试题
（试卷总分：150 分 考试时间：120 分钟）
注意事项：
答卷前，考⽣务必将⾃⼰的学校､班级､姓名､准考证号填写在答题卡上.
回答选择题时，选出每⼩题答案后，⽤ 2B 铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊.如需改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其他答案标号.回答⾮选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上⽆效.
考试结束后，将本试卷和答题卡⼀并交回.
⼀､单项选择题：本⼤题共 8 ⼩题，每⼩题 5 分，共 40 分.在每⼩题给出的四个选项中，只有
⼀项是符合题⽬要求的.
直线的倾斜⻆为（）
B. C. D.
已知直线，，若，则实数（）
B.C. 或D. 或
6. 已知、是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最⼩值是（）
A.B.C.D.
3. 若⽅程
表示圆，则实数的取值范围是（）
A.
B.
C. D.
4. 已知椭圆
的⻓轴⻓是短轴⻓的倍，则的离⼼率为（）
A.
B.
C. D.
5. 直线
被圆
截得的弦⻓为（）
A. 2
B.
C. 4D.
对称，则直线和直线的斜率之积为（）
A. B. C. D.
⼆､多项选择题：本⼤题共 3 ⼩题，每⼩题 6 分，共 18 分.在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬要求，全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
下列说法正确的是（）
直线在 y 轴上的截距为 2
直线过定点
过点且平⾏于直线的直线⽅程为
三条直线交于同⼀点
已知圆与圆，下列选项正确的有（）
若，则两圆外切
若，则直线为两圆的⼀条公切线
若，则两圆公共弦所在直线 ⽅程为
若，则两圆公共弦的⻓度为
已知椭圆的左､右两个焦点分别为为椭圆上⼀动点，，则下列说法正确的是（）
存在点使
的周⻓为 16
的最⼤⾯积为 12
7. 已知直线
，则（
）
，圆
，若圆上有且仅有三个点到直线 的距离为
A. 2
B. 4
C. D.
8. 若椭圆
的离⼼率为
，左顶点为，点、 为上任意两点且关于 轴
的最⼩值为
三､填空题：本⼤题共 3 ⼩题，每⼩题 5 分，共 15 分.
点关于点的对称点的坐标是.
若焦点在 x 轴上的椭圆的焦距为 4，则．
若是圆上两点，且，若存在，使得直线
与的交点恰为的中点，则实数的取值范围为.
四､解答题：本⼤题共 5 ⼩题，共 77 分.解答应写出必要的⽂字说明､证明过程或演算步骤.
已知，、、，求：
边上的中线所在直线的⽅程；
边上的⾼所在的直线的⽅程；
三⻆形⾯积.
已知圆 圆⼼为，且过点.
求圆半径及标准⽅程；
过点的直线 被圆截得的弦⻓为，求直线 的⽅程.
已知椭圆 焦点为、，该椭圆经过点
求椭圆的标准⽅程；
若椭圆上的点满⾜，求.
已知圆的圆⼼在直线上，且与轴相切，直线被圆截得的弦⻓为.
求圆的⽅程；
若直线 与圆相切，且与轴、轴分别交于点、.
①写出与的关系式；
②求⾯积的最⼩值，并写出此时的直线 的⽅程.
已知椭圆的 为 2，离⼼率为为的左，右焦点，是椭圆
上的两点.
求的⽅程；
若两点都在轴上⽅，且，
①若，求；
②求四个点所构成的四边形⾯积的最⼤值.
环际⼤联考
“逐梦计划”2025~2026 学年度第⼀学期阶段考试（⼀）
⾼⼆数学试题
（试卷总分：150 分 考试时间：120 分钟）
注意事项：
答卷前，考⽣务必将⾃⼰的学校､班级､姓名､准考证号填写在答题卡上.
回答选择题时，选出每⼩题答案后，⽤ 2B 铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊.如需改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其他答案标号.回答⾮选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上⽆效.
考试结束后，将本试卷和答题卡⼀并交回.
⼀､单项选择题：本⼤题共 8 ⼩题，每⼩题 5 分，共 40 分.在每⼩题给出的四个选项中，只有
⼀项是符合题⽬要求的.
1. 直线
的倾斜⻆为（
）
A.
B.
C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】由直线⽅程得斜率，由斜率得倾斜⻆．
【详解】由直线⽅程为可知直线 的斜率为，
【分析】利⽤直线垂直的等价条件可得出关于实数的等式，解之即可.
【详解】因为直线，，且，则，解得.
因此倾斜⻆为
故选：B．
2. 已知直线
．
，
，若
，则实数
（
）
A.
【答案】C
B.
C.
或
D. 或
【解析】

【分析】先求出弦⼼距，然后根据圆的弦⻓公式直接求解即可.
【详解】圆，所以圆⼼，半径，
故选：C.
3. 若⽅程
表示圆，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆的⼀般⽅程性质列式计算求参数.
【详解】因为⽅程
表示圆，所以
，所以
，
则实数的取值范围是
故选：C.
4. 已知椭圆
的⻓轴⻓是短轴⻓的
倍，则的离⼼率为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知条件得出
，再利⽤公式
可求出椭圆 的离⼼率.
【详解】因为椭圆
的⻓轴⻓是短轴⻓的倍，则
，即，
故椭圆的离⼼率为
.
故选：C.
5. 直线
被圆
截得的弦⻓为（
）
A. 2
B.
C. 4
D.
【答案】C
【解析】
【答案】A
【解析】
【分析】设点，其中，可得出，利⽤平⾯向量数量积的坐标运算结合⼆
故当时，取最⼩值.
故选：A.
所以弦⼼距为
，
所以弦⻓为故选：C
，
6. 已知、
是椭圆
的两焦点，点
在椭圆
上，则
的最⼩值是（）
A
B.
C.
D.
次函数的基本性质可求得
的最⼩值.
【详解】对于椭圆
，
则，，
所以、
，
，
设点，其中
，且
，故
，
所以
，
，
故
，
7. 已知直线
，则（
）
，圆
，若圆
上有且仅有三个点到直线 的距离为
A. 2
【答案】D
B. 4
C.
D.
【解析】
【分析】由圆⼼到直线的距离，即可判断.
【详解】圆的圆⼼到直线 距离，
若圆上有且仅有三个点到直线 的距离为，则，即.
故选： D.
若椭圆的离⼼率为，左顶点为，点、为上任意两点且关于轴对称，则直线和直线的斜率之积为（）
B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆的离⼼率求出的值，设点，则点，其中，可得
出，再利⽤斜率公式可求出的值.
【详解】由题意可知，椭圆的离⼼率为，故，设点，则点，其中，
因为点在椭圆上，所以，可得，
易知点，所以，
故选：A.
⼆､多项选择题：本⼤题共 3 ⼩题，每⼩题 6 分，共 18 分.在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬要求，全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
下列说法正确的是（）
直线在 y 轴上的截距为 2

【分析】对于A 项，将直线⽅程化成斜截式⽅程即得；对于B 项，把直线⽅程化成关于参数的⽅程，依题得到，解之即得；对于C 项，根据平⾏设直线，再代⼊求参即可；对于D
项，联⽴求解即可.
【详解】对于A 项，由可得：，可得直线在轴上的截距是，故A 项错误；
对于B 项，由可得：，因，则有：
，
故直线恒过定点，故B 项正确；
对于C 项，不妨设平⾏于直线的直线⽅程为，因为过点，所以
，即，故C 项正确；
对于D 项，，所以，所以三条直线交
于同⼀点，故D 项正确.故选：BCD.
已知圆与圆，下列选项正确的有（）
若，则两圆外切
若，则直线为两圆的⼀条公切线
若，则两圆公共弦所在直线的⽅程为
B. 直线
过定点
C. 过点
且平⾏于直线
直线⽅程为
D. 三条直线
交于同⼀点
【答案】BCD
【解析】
若，则两圆公共弦的⻓度为
【答案】BD
【解析】
【分析】利⽤圆与圆的位置关系可判断A 选项；利⽤直线与圆的位置关系可判断B 选项；将两圆⽅程相减可判断C 选项；利⽤勾股定理可判断D 选项.
【详解】圆的圆⼼为，半径为；圆的圆⼼为，半径为，
对于A 选项，若两圆外切，则，解得，A 错；对于B 选项，若，圆⼼到直线的距离为，则直线与圆相切，圆⼼到直线的距离为 ，则直线与圆相切，
故当时，则直线为两圆的⼀条公切线，B 对；
对于C 选项，若，因为，此时两圆相交，将两圆⽅程相减得，即，
故当时，两圆公共弦所在直线的⽅程为，C 错；
对于D 选项，当时，圆⼼到直线的距离为，此时两圆的公共弦⻓度为，D 对.
故选：BD.
已知椭圆的左､右两个焦点分别为为椭圆上⼀动点，，则下列说法正确的是（）
存在点使
的周⻓为 16
的最⼤⾯积为 12
的最⼩值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 A，由可得点的轨迹，结合椭圆的⼏何性质即可判断得点的轨迹与椭圆没 有交点，由此得以判断；对于B，利⽤椭圆的定义可得的周⻓，由此判断即可；对于C，根据椭圆 的⼏何性质，当为椭圆短轴顶点时，可得的⾯积最⼤，从⽽得以判断；对于D，利⽤椭圆的定义，结合三⻆形边⻓的不等式可得，从⽽得以判断.
【详解】由，得.
对于A：假设存在点使得，则，
所以点的轨迹是以原点为圆⼼，为直径的圆，则，
因为椭圆上的任⼀点到原点的最⼩距离是短轴顶点与原点的距离，即，由可知，圆与椭圆有交点，
所以假设成⽴，即存在点使得，故A 正确；
故选：ACD.
三､填空题：本⼤题共 3 ⼩题，每⼩题 5 分，共 15 分.
点关于点的对称点的坐标是.
【答案】
对于B：
的周⻓为
，故B 错误；
对于C：当
为椭圆短轴顶点时，点
到的距离最⼤，则
的⾯积最⼤，
所以
，故C 正确；
对于D：
，⼜，所以
，
所以
，故D 正确.
由中点坐标公式可得，解得，
因此点关于点的对称点的坐标是.故答案为：.
若焦点在 x 轴上的椭圆的焦距为 4，则．
【答案】4
【解析】
【分析】根据椭圆中基本量的关系得到关于 m 的⽅程，解⽅程得到 m 的值.
【详解】因为椭圆的焦点在 x 轴上且焦距为 4，
所以，
解得.
故答案为：4.
若是圆上两点，且，若存在，使得直线
与的交点恰为的中点，则实数的取值范围为.
【答案】
【解析】
【分析】由直线与圆相交以及弦⻓， 可得点的轨迹⽅程， ⼜直线与 相交，可得交点的轨迹⽅程，由已知可得圆与圆有公共点，根据圆与圆的位置关系列出不等式，解出实数的取值范围．
【解析】
【分析】设点
【详解】设点
，由题意可知
，由题意可知
为线段
为线段
的中点，利⽤中点坐标公式可求出点
的中点，
的坐标.

【详解】圆的半径，
为的中点，且，解得， 点 轨迹⽅程为，
⼜直线过定点，即过定点，且 ，
四､解答题：本⼤题共 5 ⼩题，共 77 分.解答应写出必要的⽂字说明､证明过程或演算步骤.
已知，、、，求：
边上的中线所在直线的⽅ 程；
边上的⾼所在的直线的⽅程；
三⻆形的⾯积.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求出线段的中点的坐标，求出线段的两点式⽅程，化为⼀般式⽅程即可；
求出直线的斜率，可求出边上的⾼所在直线的斜率，再利⽤点斜式⽅程可得出所求直线的⽅程；
求出直线的⽅程，即可求出点到直线的距离，再求出的值，再利⽤三⻆形的⾯积公式可求得的⾯积.
则点是两垂线 交点，所以点在以
为直径的圆上，圆⼼为
，半径为
，
的轨迹⽅程为
，由于 的斜率存在，所以点
的轨迹要去掉点
，
由已知可得：圆与圆有公共点，
，即
，⼜
，所以
，解得
，
故答案为：
由题意可知线段的中点为，
所以边上的中线所在直线的⽅程为，即.
【⼩问 2 详解】
直线的斜率为，故边上的⾼所在直线的斜率为，因此边上的⾼所在的直线的⽅程为，即.
直线的⽅程为
，即
【⼩问 3 详解】
，
，
点到直线的⽅程为，
因此，.
已知圆的圆⼼为，且过点.
求圆的半径及标准⽅程；
过点的直线 被圆截得的弦⻓为，求直线 的⽅程.
【答案】（1）3，
（2）或.
【解析】
【分析】（1）由圆⼼和圆上的点求得半径，写出到圆的标准⽅程；
（2）讨论斜率是否存在，当斜率不存在时，显然成⽴；斜率存在时，先设直线⽅程，由圆⼼到直线的距离和半径表示出弦⻓，解得斜率值，写出直线⽅程.
【⼩问 1 详解】
半径，
所以的⽅程为.
当 的斜率不存在时， 的⽅程为， 与圆相交，
圆⼼到直线 的距离，弦⻓为，满⾜条件；
当 的斜率存在时，设直线 的⽅程为，即，圆⼼到直线 的距离，
所以弦⻓，
即，
所以 的⽅程为或.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利⽤椭圆的定义可求出的值，结合 的值可得出的值，即可得出椭圆的标准⽅程；
（2）由题意得出，由题意得出，结合平⾯向量数量积的坐标运算求出的值，结合三⻆形的⾯积公式可求得的值.
【⼩问 1 详解】
根据题意可设椭圆的标准⽅程为，
由椭圆的定义可得，故，
⼜因为，所以，
17. 已知椭圆的焦点为
、
，该椭圆经过点
（1）求椭圆的标准⽅程；
（2）若椭圆上的点
满⾜
，求
.
因此椭圆的标准⽅程为.
【⼩问 2 详解】
由题意可得，故，
，，
因为，所以
，解得，
故.
18. 已知圆的圆⼼在直线上，且与轴相切，直线被圆截得的弦⻓为.
求圆的⽅程；
若直线 与圆相切，且与轴、轴分别交于点、.
①写出与的关系式；
②求⾯积的最⼩值，并写出此时的直线 的⽅程.
【答案】（1）或
（2）①；②最⼩值为，直线 的⽅程为
【解析】
【分析】（1）不妨设圆⼼坐标为，由题意可知，该圆的半径为，利⽤勾股定理和点到直线的距离公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出圆的标准⽅程；
（2）①⾸先根据题设条件对（1）中求得的两个圆进⾏讨论，确定唯⼀满⾜条件的圆的⽅程，然后利⽤直线与圆相切的条件（圆⼼到直线的距离等于半径）得出与的关系式；
②利⽤基本不等式可求出⾯积的最⼩值，利⽤等号成⽴的条件求出 、 的值，即可得出直线 的

⽅程.
【⼩问 1 详解】
不妨设圆⼼坐标为，由题意可知，该圆的半径为，所以圆的标准⽅程为，
由勾股定理可知，圆⼼到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得，
所以，解得，
故圆的标准⽅程为或.
【⼩问 2 详解】
①由题意，直线 的截距式⽅程为，化为⼀般式⽅程为，若圆的⽅程为，
则圆⼼到直线 的距离为
，
，
此时直线
所以圆
与圆相离，不合题意，
的⽅程为
，
则圆⼼
到直线 的距离为
，整理得，
故
②
；
当且仅当
时，即当时，等号成⽴，此时故⾯积的最⼩值为，此时直线 的⽅程为.
19. 已知椭圆的为 2，离⼼率为为的左，右焦点，是椭圆上的两点.
求的⽅程；
若两点都在轴上⽅，且，
①若，求；
②求四个点所构成的四边形⾯积的最⼤值.
【答案】（1）；
（2）①1；②2.
【解析】
【分析】（1）根据离⼼率公式即可得到⽅程组，解出即可；
（2）①设直线，联⽴椭圆⽅程得到⻙达定理式，再结合，解出即可；
②⾸先分析得，从⽽将四边形⾯积转化为，再结合⻙达定理得到⾯积表达式，最后利⽤基本不等式即可得到最值.
【⼩问 1 详解】
由已知得，解得，
因为， 两点都在轴上⽅，且，
所以
，所以椭圆
⽅程为
.
【⼩问 2 详解】
①设关于原点
的对称点为
，则四边形
为平⾏四边形，所以
，
所以，
，设直线，
由，消去得，
，
设，则（1）；（2），因为，所以（3），
由（1）（2）（3）得
，解得
，由图知此时
，
则
，故.
②由①知，且，所以，
所以
当且仅当，即时取等号．
所以四个点所构成的四边形⾯积的最⼤值为 2．