第2部分-预习-第08讲 二次函数y＝ax2与 y＝ax2＋k的图象和性质（教师版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版）

这是一份第2部分-预习-第08讲 二次函数y＝ax2与 y＝ax2＋k的图象和性质（教师版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版），共40页。学案主要包含了或向下（c＜0），变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3，变式3-1等内容，欢迎下载使用。

知识点1：二次函数y=ax2(a≠0)的图象
用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.
因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.
知识点2：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法
在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像．
（1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示：
1
2
3
4
1
2
3
4
x
y
x
y
O
O
1
2
1
2
-2
-1
-2
-1
图1
图2
（2）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示．
（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示．
要点归纳：
二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
知识点3：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质
二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：
要点归纳：
顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.
│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.
知识点4：二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象
（1）
（2）
知识点5：二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质
关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：
知识点6：二次函数与之间的关系；（上加下减）.
的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象.
要点归纳：
抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同．
函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．
抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已．
考点1：y＝ax2图象的识别
【例1】已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是( )
解析：本题进行分类讨论：(1)当a＞0时，函数y＝ax2的图象开口向上，函数y＝ax图象经过一、三象限，故排除选项B；(2)当a＜0时，函数y＝ax2的图象开口向下，函数y＝ax图象经过二、四象限，故排除选项D；又因为在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象必有除原点(0，0)以外的交点，故选择C.
方法总结：分a＞0与a＜0两种情况加以讨论，并且结合一些特殊点，采取“排除法”．
【变式1-1】（2023九年级·河北保定·期末）二次函数y=ax2的图象如图所示，则a的值可能为（ ）
A．2B．0C．−1D．−2
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象的开口方向求解即可．
【详解】解：由图象知，二次函数y=ax2的图象开口向上，则a>0，
故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意，
故选：A．
【变式1-2】函数与的图像可能是（ ）
x
y
x
y
x
y
x
y
O
O
O
O
A．
B．
C．
D．

【答案】D．
【解析】当时，抛物线开口向下，一次函数一定过第一、三象限，
当时，抛物线开口向上，一次函数一定过第二、四象限．
【总结】本题考察抛物线和直线的性质，用假设法来解决这种数形结合是一种很好的方法．
【变式1-3】已知h关于t的函数关系式为h＝eq \f(1,2)gt2(g为正常数，t为时间)，则函数图象为( )
解析：根据h关于t的函数关系式为h＝eq \f(1,2)gt2，其中g为正常数，t为时间，因此函数h＝eq \f(1,2)gt2图象是受一定实际范围限制的，图象应该在第一象限，是抛物线的一部分，故选A.
方法总结：在识别二次函数图象时，应该注意考虑函数的实际意义．
考点2：利用y＝ax2图象判断二次函数的增减性
【例2】作出函数y＝－x2的图象，观察图象，并利用图象回答下列问题：
(1)在y轴左侧图象上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使x21，
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键．
【变式2-2】（2023九年级·吉林四平·期末）抛物线y=2x2，y=−2x2，共有的性质是（ ）
A．开口向下B．对称轴是y轴C．都有最低点D．y随x的增大而减小
【答案】B
【分析】
本题考查二次函数的性质．根据二次函数的性质解题．
【详解】
解：y=2x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点；
y=−2x2开口向下，对称轴为y轴，有最高点，顶点为原点；
∴抛物线y=2x2，y=−2x2，共有的性质是对称轴为y轴，顶点为原点；
故选：B．
【变式2-3】（2023九年级·北京海淀·期中）已知点A−1,y1,B2,y2在抛物线y=3x2上，则y1,y2的大小关系正确的是（ ）
A．y1y2D．不能确定
【答案】A
【分析】分别把A−1,y1,B2,y2代入解析式求解．
【详解】把A−1,y1代入y=3x2得y1=3，
把B2,y2代入y=3x2得y2=12，
∵3