2025-2026学年上海市曹杨第二中学高二上学期第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年上海市曹杨第二中学高二上学期第一次月考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若直线l经过点P(1,0)，且l的一个法向量n=(2,-1)，则l的方程为( )
A. x-2y-1=0B. 2x-y-2=0C. x+2y-2=0D. x+2y-1=0
2.已知x1≠x2，y1y2>0，点Ax1,y1，Bx2,y2，动点P在x轴上，设直线AP、BP的斜率分别为k1、k2，当|PA|+|PB|取最小值时，k1、k2满足( )
A. k1=k2B. k1+k2=0C. k1⋅k2=1D. k1⋅k2=-1
3.定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点集，任取P1,P2,P3∈Ω，存在不全为0的实数λ1,λ2,λ3，使得λ1OP1+λ2OP2+λ3OP3=0.已知(1,0,0)∈Ω，则(0,0,1)∉Ω的充分条件是( )
A. (0,0,0)∈ΩB. (-1,0,0)∈ΩC. (0,1,0)∈ΩD. (0,0,-1)∈Ω
4.在平面直角坐标系中，对于▵ABC及直线l，记dl(A)、dl(B)、dl(C)分别表示A、B、C到l的距离，且Sl=dl(A)2+dl(B)2+dl(C)2.对于给定的▵ABC，记Sl的最小值为m▵ABC.给出以下两个命题：①若直线l0使得Sl0=m▵ABC，则l0过▵ABC的内心；②存在▵ABC，使得满足Sl=m▵ABC的直线l至少有两条．则下列说法正确的是( )
A. ①②均正确B. ①②均错误C. ①正确②错误D. ①错误②正确
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.半径为1的球的表面积为 ．
6.如图，直线l1、l2、l3的斜率k1、k2、k3由小到大排序为 ．
7.已知tanα+π4=2，则tanα= ．
8.若圆C的方程为x2+y2-2x+t=0，则实数t的取值范围为 ．
9.已知a为常数，若直线3x+y-2=0与直线x-ay+1=0的夹角为arccs3 1010，则a= ．
10.已知x∈R，向量a=3,x,2，b=0,1,2，c=1,2,0，若a、b、c是共面向量，则x= ．
11.已知点A0,1，B-2,6，P(1,3)，过点P的直线l斜率为k，若直线l与线段AB相交，则实数k的取值范围是 ．
12.已知a为常数，若直线2x-a2y+2a+1=0与直线(a-1)x-ay+1=0平行，则a= ．
13.顶点为S的圆锥的母线长为60cm，底面半径为25cm，A,B是底面圆周上的两点，O为底面中心，且∠AOB=35π，则在圆锥侧面上由点A到点B的最短路线长为 cm.(精确到0.1cm)
14.如图，O为坐标原点，A在x轴上，OA=5，OB=3，OB⊥AB，若▵OAB及其内部绕y轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为 ．
15.对给定的两点Ax1,y1和Bx2,y2，用以下方式定义“直角距离”：dA,B=x1-x2+y1-y2.已知M3,5，点N在圆C：x2+y2+2x+4y=0上运动，若点P满足dM,P=2，则|PN|的最大值为 ．
16.已知正四面体A-BCD的棱长为3，空间中的动点P满足PB+PC+PD=3，则AP⋅AD的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题13分)
已知向量a=2sinx,csx，b=csx,2csx，f(x)=a⋅b．
(1)若f(x)=2，求x的值；
(2)求函数y=f(x)，x∈0,π的单调增区间．
18.(本小题15分)
已知▵ABC的顶点A(2,3)，AC边上的高BH所在直线方程为x-2y-1=0，AB边上的中线CM所在直线方程为x+y-3=0．
(1)求顶点C的坐标；
(2)求点B到直线AC的距离．
19.(本小题16分)
如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=6,∠ABC=60∘，E是棱PD上一点，且PE=2DE．
(1)求二面角E-AC-D的大小；
(2)在棱PC上是否存在一点F，使得BF//平面ACE？证明你的结论．
20.(本小题17分)
如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=m，AD=AA1=1，点M是棱CD的中点．

(1)求异面直线B1C与AC1所成的角的大小；
(2)是否存在实数m，使得直线AC1与平面BMD1垂直？并说明理由；
(3)若m=2.设P是线段AC1上的一点(不含端点)，满足APAC1=λ，求λ的值，使得三棱锥B1-CD1C1与三棱锥B1-CD1P的体积相等．
21.(本小题17分)
已知k,b为常数．在平面直角坐标系xOy中，直线l:y=kx+b．
(1)若直线l的一个法向量为n=1, 3，求直线l的斜率及倾斜角；
(2)若k=0，b=2，直线m与l及x轴的交点都在y轴右侧，且m与l、x轴及y轴围成的四边形面积为3.证明：直线m过定点，并求出该定点．
(3)若k>0，b=0，直线l1为l关于x轴的对称直线，直线AB与l、l1的交点A、B分别在第一、四象限，AB与x轴交于点M.是否存在AB使▵OAB的面积为1k，且|AM|⋅|BM|=1+k2k2.若存在求出直线AB的斜率，若不存在，请说明理由．
参考答案
1.B
2.B
3.C
4.D
5.4π
6.k30，
显然四边形OFDE为直角梯形，其面积为S=12×(c+2a+c)×2=3，
所以a+c=32，故y=1时，恒有x=32，即m:x=ay+c过定点32,1；
(3)设lAB:x=λy+t，则M(t,0)易知l:y=kx,l1:y=-kx，
因为直线AB与l、l1相交，所以λk≠±1,t>0，
联立直线方程可知：xA=t1-λk,yA=kt1-λk>0，xB=t1+λk,yB=-kt1+λk