2025-2026学年天津市新华中学高二上学期第一次阶段性练习反馈数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年天津市新华中学高二上学期第一次阶段性练习反馈数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点M(-2,1,3)关于坐标平面xOz的对称点为A，点A关于y轴的对称点为B，则|AB|=
A. 2B. 2 13C. 2 14D. 5
2.直线x4+y2=1的一个方向向量是( )
A. 1,2B. 1,-2C. -2,1D. -2,-1
3.已知两点A7,-4，B-5,6，则线段AB的垂直平分线的方程是( )
A. 6x+5y-11=0B. 6x-5y-1=0
C. 5x-6y+1=0D. 5x+6y-11=0
4.经过两点A(-1,-5)和B(2,13)的直线在x轴上的截距为( )
A. -1B. 1C. -16D. 16
5.过两点Am2+2,m2-3、B3-m-m2,2m的直线l的倾斜角为45 ∘，则m的值为( )
A. -2或-1B. -1C. 12D. -2
6.已知直线l1:x-ay+1=0，l2:a-1x-12y-4=0，则“a=4”是“l1//l2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7.直线l经过点2,-5，且与点3,-2和点-1,6的距离之比为1：2，则直线l的方程为( )
A. x+y+3=0B. 17x+y-29=0
C. x+y+3=0或17x+y-29=0D. 3x+y+3=0
8.已知三棱锥P-ABC的体积为6,M是空间中一点，PM=-115PA+215PB+415PC，则三棱锥A-MBC的体积是( )
A. 5B. 4C. 3D. 2
9.在四面体P-ABC中，Q为▵ABC的重心，E,F,G分别为侧棱PA，PB，PC上的点，若PE=13PA，PF=23PB，PG=12PC，PQ与平面EFG交于点D，则PDQD=( )
A. 67B. 56C. 45D. 34
10.如图，已知棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1，在平面α的同侧，顶点A在平面α上，顶点B，D到平面α的距离分别为1和 2，则顶点C1到平面α的距离为( )
A. 6+ 2+1B. 6+ 2C. 6+1D. 2+1
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.已知A3,1,0，B5,2,2，C4,1,2，则点C到直线AB的距离为 ．
12.已知a∈R，若直线l:ax+y+1=0与直线l:a-1x-ay+2=0相互垂直，则a= ．
13.已知θ为任意实数，直线l:xcsθ+y+m=0的倾斜角的范围是 ．
14.若直线l：a-1x+y+a=0与连接A1,2，B-3,1的线段相交，则a的取值范围是 ．
15.直线l过点(-2,1)，且在y轴上的截距为在x轴上的截距的两倍，则直线l的方程是 ．
16.如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，底面四边形ABCD是菱形，AB=a，AA'=b，∠A'AB=∠A'AD=2∠BAD=120 ∘，则A'C的长为 ，直线BD'与直线AC所成角的余弦值为 .(结果用a，b表示)
三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
如图，AE⊥平面ABCD，CF//AE，AD//BC，AD⊥AB，AB=AD=2，AE=BC=2CF=4．
(1)求证：BF//平面ADE；
(2)求平面ADE与平面BDF夹角的余弦值；
(3)求四面体B-DEF的体积．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD/​/BC，AD⊥CD，且AD=CD=2 2，BC=4 2，PA=2，点M在PD上．
(1)求证：AB⊥PC；
(2)求异面直线PB与DC所成角的余弦值；
(3)若平面MAC与平面DAC所成角为45°，求直线BM与平面PAC所成角的正弦值．
19.(本小题12分)
过点P2,1作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点．
(1)求▵AOB面积的最小值及此时直线l的方程；
(2)求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程；
(3)求PA⋅PB的最小值及此时直线l的方程．
参考答案
1.B
2.C
3.B
4.C
5.D
6.C
7.C
8.B
9.A
10.A
11.1
12.0或2
13.0,π4∪3π4,π
14.-∞,-12∪2,+∞
15.2x+y+3=0或y=-12x
16. b2+3a2+2ab； ； ； ； ；．
；b 3(a2+b2)
17.(1)因为AE⊥平面ABCD，且AB、AD⊂平面ABCD，
所以AE⊥AB，AE⊥AD，又AD⊥AB，
则以A为原点，分别以AB,AD,AE的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系A-xyz(如图)，
则A0,0,0,B2,0,0,C2,4,0,D0,2,0,E0,0,4，F2,4,2．
因为AE⊥AB，AD⊥AB，
又AD∩AE=A,AD,AE⊂平面ADE，
所以AB⊥平面ADE，
故AB=2,0,0是平面ADE的一个法向量，
又BF=0,4,2，所以BF⋅AB=0，
又因为BF⊄平面ADE
所以BF//平面ADE．
(2)设m=x,y,z为平面BDF的一个法向量，
则m⋅BD⇀=0m⋅BF⇀=0,
又BD=-2,2,0，BF=0,4,2，
所以-2x+2y=04y+2z=0,
令y=1，可得m=1,1,-2.
又因为AB=2,0,0是平面ADE的一个法向量，
设平面ADE与平面BDF夹角为θ，
则csθ=csAB,m=AB⋅mAB×m=1×22× 12+12+-22= 66，
所以平面ADE与平面BDF夹角的余弦值为 66．
(3)因为EB=2,0,-4，平面BDF的一个法向量m=1,1,-2，
所以点E到平面BDF的距离d=EB⋅mm=1×2+4×2 6=5 63，
因为AD⊥AB，AB=AD=2，
又AE⊥平面ABCD，CF//AE，则CF⊥平面ABCD，
又BC、CD⊂平面ABCD，
所以CF⊥BC，CF⊥CD，
又AD//BC，AE=BC=2CF=4，
则DC2=22+4-22=8，
在▵BDF中：BD= AD2+AB2=2 2，
BF= BC2+CF2=2 5，DF= DC2+CF2=2 3，
所以BD2+DF2=BF2，所以∠BDF=90∘，
所以SΔBDF=12BD⋅DF=2 6，
所以四面体B-DEF体积VB-DEF=VE-BDF=13SΔBDF⋅d=203．

18.(1)取BC中点为E，连接AE，由题意可知EC=AD,EC//AD，
即四边形AECD为平行四边形，故AE/​/CD，而AD⊥CD，
故AD⊥AE；
又PA⊥平面ABCD，故以A为坐标原点，以AE,AD,AP所在直线为x,y,z轴，
建立空间直角坐标系，
则A0,0,0,B2 2,-2 2,0,C2 2,2 2,0,D0,2 2,0,P(0,0,2)，
则AB=2 2,-2 2,0,PC=(2 2,2 2,-2)，
故AB⋅PC=2 2,-2 2,0⋅2 2,2 2,-2=8-8=0，
故AB⊥PC，则AB⊥PC；
(2)由(1)知PB=2 2,-2 2,-2,DC=2 2,0,0，
设异面直线PB与DC所成角为θ,θ∈(0,π2],
则csθ=|PB⋅DC||PB||DC|=8 8+8+4⋅2 2= 105，
即异面直线PB与DC所成角的余弦值为 105；
(3)由题可设PM=λPD=0,2 2λ,-2λ,00,b>0，可得2a+1b=1．
则2a+1b≥2 2ab，可得12ab≥4，
当且仅当2a=1b=12，即a=4，b=2时，等号成立，
所以▵AOB面积S=12ab有最小值为4，
此时直线l的方程是x4+y2=1，即x+2y-4=0．
(2)方法一：因为A2k-1k,0，B0,1-2k(k0,b>0，
则截距之和a+b=(a+b)2a+1b=3+2ba+ab≥3+2 2ba⋅ab=3+2 2，
当且仅当b= 2+1，a=2+ 2时，等号成立．
此时，直线l的方程为x2+ 2+y 2+1=1，即x+ 2y-2- 2=0．
(3)因为A2k-1k,0，B0,1-2k(k