2025-2026学年四川省成都市天府新区成都实验外国语学校（西区）九年级上学期10月月考数学试题-自定义类型

这是一份2025-2026学年四川省成都市天府新区成都实验外国语学校（西区）九年级上学期10月月考数学试题-自定义类型，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程是一元二次方程的是（）
A. B. （a、b、c为常数）
C. D.
2.下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ）
A. B.
C. D.
3.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）
A. ∠AED=∠B B. ∠ADE=∠C
C. D.
4.若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
5.已知，则的值为（ ）
A. B. 5C. D. 2
6.如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为（）
A. B.
C. D.
7.如图，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为菱形，要添加的条件是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在菱形ABCD中，AC=6， BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（ ）
A. 6B. 3C. 2D. 4.5
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.已知，且，则 ．
10.已知方程有一个实数根为，则另一个实数根是 ， ．
11.已知a、b是关于x的一元二次方程的两个根，则代数式 ．
12.如图，在中，，，则 ．
13.如图，在矩形中，，，连接，分别以点A，C为圆心，大于长为半径画弧，两相交于点E，F，连接，相交于点G．与相交于点H，连接，．则的长为 ．
14.若，则k＝ ．
15.已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是 ．
16.如图，D为中上一点，E为上一点，连接，交于点M，满足，则 ．
17.新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，例如：与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ．
18.如图，正方形的边长为4，是等边三角形，点F在边的上方，点E在射线上运动．连接，取的中点M，则线段的长度的最小值为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.用适当的方法解下列关于x的方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
在“趣味化学实验室”选修课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立马显现出红色的文字，这是酚酞溶液产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色、现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液：
(1) 小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是 ；
(2) 张老师随机从两瓶溶液中各取一定量的溶液混合均匀，请用列表格或画树状图的方法求出混合后的溶液变红色的概率．
21.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+1=0有两个不等的实数根x1，x2．
(1) 求实数k的取值范围；
(2) 若该方程的两个实数根x1，x2满足|x1|+|x2|=x12+x22-10，求k的值．
22.(本小题8分)
如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交于点F，G，连接．
(1) 判断四边形的形状，并说明理由；
(2) 证明：；
(3) 当时，求四边形的面积及线段的长．
23.(本小题8分)
(1) 【知识技能】如图1，点E是正方形中边上一点，以点A为中心，把顺时针旋转得到，若正方形边长为3，，求的长．
(2) 【数学理解】如图2，点E是正方形内部一点，连接，将绕点B逆时针方向旋转90度得到，延长交于点H，连接，请证明：．
(3) 【拓展探索】如图3，正方形的边长为3，，将绕点B逆时针旋转一周，当时，求的长度．
24.(本小题8分)
成都市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同．
(1) 求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2) 经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价4元，则月销售量将减少80个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？
25.(本小题8分)
材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：；
材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个不相等的实数根．
请根据上述材料解决下面问题：
(1) 已知实数m、n满足、，求的值．
(2) 已知实数p、q满足、，且，求的值．
(3) 已知实数a、b、c满足、，且，求c的最大值．
26.(本小题8分)
​​​​​​​
(1) 【问题背景】如图1，在正方形中，E是上一点，连接，F为射线上一点（不与射线端点A重合），且．求证：且；
(2) 【类比探究】如图2，将（1）中的“正方形”改为“矩形”，其他条件均不变，若，．探究线段与之间的关系，并说明理由；
(3) 【拓展延伸】在（2）的条件下，过点E作交于点H，延长交边于点G，若是等腰三角形，直接写出的值．
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】5
10.【答案】
/​​​​​​​
​​​​​​​

11.【答案】
12.【答案】4
13.【答案】
14.【答案】或﹣1
15.【答案】3
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】
/​​​​​​​
19.【答案】【小题1】
解：，
变形为，
∴，
∴或，
解得：，．
【小题2】
解：，
∴，，，
∴，
∴，
∴，．
【小题3】
解：，
整理得：，
∴，，，
∴，
∴，
∴，．
【小题4】
解：，
∴，
∴，
∴或或，
解得：，，．

20.【答案】【小题1】
【小题2】
解：列表如下，
共有12种等可能结果，其中混合后的溶液变红色的结果有：，共2种，
∴混合后的溶液变红色的概率为．

21.【答案】【小题1】
解：由题意，△，
，
解得．
【小题2】
依题意得：，，
由（1）得：，
，，
、同为正根，
，
可化为：，
，
，
，
，
，，
，
．

22.【答案】【小题1】
证明：四边形是菱形，理由如下，
∵矩形的对角线与相交于点O，
∴，
∵直线是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，即是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形．
【小题2】
证明：∵是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小题3】
解：∵，为等边三角形，
∴，
∵直线是线段的垂直平分线，且，
∴，，
由（1）得四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形的面积为：，
在中，，
∴，
∴．

23.【答案】【小题1】
解：∵四边形是正方形，正方形边长为3，
∴，
根据旋转可得：，
∴，
∴点三点共线，
∴，
∴．
【小题2】
证明：如图，在上截取，连接，
根据旋转可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
【小题3】
解：∵，将绕点B逆时针旋转一周，
∴点E在以点B为圆心，1为半径的圆上运动，
当时，如图，
过点B作，
则，
∴，
∴，
∴．
当时，如图，
过点B作，
则，
∴，
∴，
∴．
综上，是．

24.【答案】【小题1】
解：设头盔销售量的月增长率为，根据题意得：
，
解得，（舍去），
头盔销售量的月增长率为．
【小题2】
解：设头盔每个涨价元，根据题意得：
，
整理得，
解得，，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴不符合题意舍去，
答：该品牌的头盔每个应涨价5元．

25.【答案】【小题1】
解：∵实数m、n满足、，，
∴m，n是方程的两个不相等的实数根，
∴，
∴；
【小题2】
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴p、可看作方程的两根，
∴，
∴；
【小题3】
解：∵、，
∴a、b是方程的两个根，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴c的最大值为7．

26.【答案】【小题1】
解：证明：如下图，过点E作于点N，于点M，
∴
∵四边形正方形．BN
∴，
∴
∴
∴
∵，
∴≌，
∴．
∵，
∴
∵，，
∴
即．
【小题2】
，．
理由：如下图，过点E作交于点M，
∴，
∵四边形矩形，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴，
∴．
【小题3】
或或．
A
B
C
D
A
B
C
D