2025-2026学年天津市南开区美达菲学校高二上学期10月月考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年天津市南开区美达菲学校高二上学期10月月考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过M−1,2、N−2,3两点的直线的倾斜角为( )
A. π4B. π3C. 3π4D. 2π3
2.过点P2,−1且倾斜角为π4的直线方程是( )
A. x−y+1=0B. x−y−3=0
C. 2x−2y+ 2+1=0D. 2x−2y− 2−2=0
3.已知向量a=(1,2,3)，b=(0,1,2)，则2a−b=( )
A. (2,3,4)B. (2,3,3)C. (2,5,8)D. (2,4,6)
4.在下列条件中，使点M与点A，B，C一定共面的是( )
A. OM=2OA−OB−OCB. OM=15OA+13OB+12OC
C. MA+MB+MC=0D. OM+OA+OB+OC=0
5.已知直线mx+y+m−1=0与直线3x+m+2y+3=0平行，则m=( )
A. 1B. 3C. 1或−3D. −1或3
6.已知直线过点(2,1)，且横截距a、纵截距b满足a=2b，则该直线的方程为( )
A. 2x+y−5=0B. x+2y−4=0
C. x−2y=0或x+2y−4=0D. x−2y=0或2x+y−5=0
7.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2,AA1=3，点E为棱BB1上的点，且BE=2EB1，则异面直线DE与A1B1所成角的正弦值为
A. 52B. 63C. 64D. 73
8.已知空间向量a,b,c两两夹角均为60∘，其模均为1，则a+b−2c=( )
A. 2B. 3C. 2D. 5
9.从点A(−4,1)出发的一条光线l，经过直线l1:x−y+3=0反射，反射光线恰好经过点B(−3,2)，则反射光线所在直线的斜率为( )
A. −2B. −3C. −13D. −35
10.如图，在三棱锥P−ABC中，PA=PB=PC=2,∠APB=90∘,∠BPC=∠APC=60∘,M为BC的中点，Q为AM的中点，则线段PQ的长度为( )
A. 2B. 52C. 32D. 62
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.两条平行直线4x+3y+3=0与8x+6y−9=0的距离是 ．
12.若点P3,1到直线l:3x+4y+a=0a>0的距离为3，则a= ．
13.直线l1:ax−y+1=0，l2:x+a2+ay−2=0，若l1⊥l2，则a= ．
14.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E、F、H分别是BB1、CD、CC1的中点，则直线EH到平面A1D1F的距离为 ．
15.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=3，AA1=4，P是侧面BCC1B1内的动点，且AP⊥BD1，记AP与平面BCC1B1所成的角为θ，则tanθ的最大值为
三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知三角形的三个顶点A(−5,0),B(3,−3),C(0,2)，求：
(1)AC边所在直线的方程
(2)BC边上中线所在直线的方程．
17.(本小题12分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BB1的中点．
(Ⅰ)求证：BC1//平面AD1E；
(Ⅱ)求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值．
18.(本小题12分)
已知直线l：a+2y+2a−5x−6a+6=0．
(1)若直线l垂直于直线l1：x+y−3=0，求a的值；
(2)求证：直线l经过定点；
(3)当a=−11时，求点P1,4关于直线l的对称点P′的坐标．
19.(本小题14分)
如图，在几何体ABCDEFG中，四边形ADFE为边长为2的正方形，四边形ABCD和四边形CDFG为矩形，且DC=4,M为棱FG上一点．
(1)求证：BM⊥ED；
(2)当点M为棱FG的中点时，求点M到平面BEG的距离；
(3)当FM=1时，求平面BEM与平面ABC夹角的余弦值．
参考答案
1.C
2.B
3.A
4.C
5.C
6.C
7.B
8.B
9.B
10.C
11.32
12.2
13.0
14.3 510
15.53
16.(1)∵A(−5,0)、C(0,2)，
∴直线AC的截距式方程为x−5+y2=1，化简得2x−5y+10=0
即AC边所在直线的方程为：2x−5y+10=0；
(2)∵B(3,−3),C(0,2),
∴BC中点为D(32,−12)，
直线AD的斜率为k=−12−032+5=−113
因此，直线AD的方程为y=−113(x+5)，
化简得x+13y+5=0，即为BC边上中线所在直线的方程．

17.(Ⅰ)[方法一]：几何法
如下图所示：
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB//A1B1且AB=A1B1，A1B1//C1D1且A1B1=C1D1，
∴AB//C1D1且AB=C1D1，所以，四边形ABC1D1为平行四边形，则BC1//AD1，
∵BC1⊄平面AD1E，AD1⊂平面AD1E，∴BC1//平面AD1E；
[方法二]:空间向量坐标法
以点A为坐标原点，AD、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系A−xyz，
设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，则A0,0,0、A10,0,2、D12,0,2、E0,2,1，AD1=2,0,2，AE=0,2,1，
设平面AD1E的法向量为n=x,y,z，由n⋅AD1=0n⋅AE=0，得2x+2z=02y+z=0,
令z=−2，则x=2，y=1，则n=2,1,−2．
又∵向量BC1=2,0,2，BC1⇀⋅n=2×2+0×1+2×−2=0，
又∵BC1⊄平面AD1E，∴BC1//平面AD1E；
(Ⅱ)[方法一]：几何法
延长CC1到F，使得C1F=BE，连接EF，交B1C1于G，
又∵C1F//BE，∴四边形BEFC1为平行四边形，∴BC1//EF，
又∵BC1//AD1，∴AD1//EF，所以平面AD1E即平面AD1FE，
连接D1G，作C1H⊥D1G，垂足为H，连接FH，
∵FC1⊥平面A1B1C1D1，D1G⊂平面A1B1C1D1，∴FC1⊥D1G，
又∵FC1∩C1H=C1，∴直线D1G⊥平面C1FH，
又∵直线D1G⊂平面D1GF，∴平面D1GF⊥平面C1FH，
∴C1在平面D1GF中的射影在直线FH上，∴直线FH为直线FC1在平面D1GF中的射影，∠C1FH为直线FC1与平面D1GF所成的角，
根据直线FC1//直线AA1，可知∠C1FH为直线AA1与平面AD1G所成的角．
设正方体的棱长为2，则C1G=C1F=1，D1G= 5，∴C1H=2×1 5=2 5，
∴FH= 1+2 52=3 5，
∴sin∠C1FH=C1HFH=23，
即直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值为23．
[方法二]：向量法
接续(I)的向量方法，求得平面平面AD1E的法向量n=2,1,−2，
又∵AA1=0,0,2，∴cs=n⋅AA1n⋅AA1=−43×2=−23，
∴直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值为23．
[方法三]：几何法+体积法
如图，设B1C1的中点为F，延长A1B1,AE,D1F，易证三线交于一点P．
因为BB1//AA1,EF//AD1，
所以直线AA1与平面AD1E所成的角，即直线B1E与平面PEF所成的角．
设正方体的棱长为2，在▵PEF中，易得PE=PF= 5,EF= 2，
可得S▵PEF=32．
由V三棱锥B1−PEF=V三棱锥P−B1EF，得13×32⋅B1H=13×12×1×1×2，
整理得B1H=23．
所以sin∠B1EH=B1HB1E=23．
所以直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值为23．
[方法四]：纯体积法
设正方体的棱长为2，点A1到平面AED1的距离为ℎ，
在▵AED1中，AE= 5,AD1=2 2,D1E=3，
cs∠AED1=D1E2+AE2−AD122D1E⋅AE=9+5−82×3× 5= 55，
所以sin∠AED1=2 55，易得S▵AED1=3．
由VE−AA1D1=VA1−AED1，得13S▵AD1A1⋅A1B1=13S▵AED1⋅ℎ，解得ℎ=43，
设直线AA1与平面AED1所成的角为θ，所以sinθ=ℎAA1=23．

18.(1)因为l⊥l1，
所以(a+2)×1+(2a−5)×1=0，
解得a=1，
故a的值为1；
(2)因为(a+2)y+(2a−5)x−6a+6=0，
所以a(2x+y−6)−5x+2y+6=0，
所以2x+y−6=0−5x+2y+6=0,
解得x=2y=2,
所以直线l恒过定点(2,2)；
(3)因为a=−11，
所以直线l:3x+y−8=0，
设点P(1,4)关于直线l的对称点P′的坐标为(x0,y0)，
所以P,P′的中点坐标为(x0+12,y0+42)，
所以y0−4x0−1⋅(−3)=−13⋅x0+12+y0+42−8=0,
解得x0=85y0=215,
所以点P关于直线l的对称点P′的坐标为(85,215)．

19.(1)由题设可知FD⊥AD,FD⊥CD，AD∩CD=D，AD,CD⊂平面ABCD，
所以FD⊥平面ABCD．
以D为坐标原点，DA,DC,DF所在直线分别为x，y,z轴，建立空间直角坐标系，
则A2,0,0,C(0,4,0),F0,0,2,B2,4,0,E2,0,2,G(0,4,2)．
设FM=a,0≤a≤4，则M0,a,2,BM=−2,a−4,2，
又ED=2,0,2，有BM⋅ED=0，故BM⊥ED，
所以BM⊥ED．
(2)依题意，M0,2,2，BE=0,−4,2，BG=−2,0,2，EM=−2,2,0，
设m=x,y,z为平面BEG的一个法向量，
则由m⋅BE=0,m⋅BG=0,得−4y+2z=0,−2x+2z=0,
令x=2，则y=1,z=2，从而m=2,1,2．
设点M到平面BEG的距离为d，
则d=EM⋅mm=23．
(3)当FM=1时，M0,1,2,BE=0,−4,2,EM=−2,1,0，
设n=x,y,z为平面BEM的一个法向量，
则由n⋅BE=0,n⋅EM=0,得−4y+2z=0,−2x+y=0,
令x=1，则y=2,z=4，从而n=1,2,4．
显然平面ABC的一个法向量为p=0,0,1，
设平面PCD与平面ABC夹角为θ，
则csθ=n⋅pn⋅p=4 21⋅1=4 2121．