山东省聊城市莘县甘泉学校2025-2026学年上学期九年级9月测试数学试题（解析版）-A4

这是一份山东省聊城市莘县甘泉学校2025-2026学年上学期九年级9月测试数学试题（解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每题3分，共30分）
1. 如图，已知且，则的长为（ ）

A. 12B. 13C. 18D. 21
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由定理得，即可求解；理解平行线分线段成比例定理是解题的关键．
【详解】解：
，
，
，
解得：，
故选：D．
2. 下列说法：①有一个锐角相等的两个直角三角形相似；②顶角相等的两个等腰三角形相似；③任意两个菱形一定相似；④位似图形一定是相似图形；其中正确的个数（ ）
A. 1个B. 2个C. 3D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和位似图形的性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键
根据相似三角形的判定定理逐一分析判定即可
【详解】解：①有一个锐角相等的两个直角三角形相似；正确.
②顶角相等的两个等腰三角形相似；正确.
③任意两个菱形一定相似；不正确.
④位似图形一定是相似图形；正确.
综上分析可得，正确的有：①②④，共3个，
故选：C.
3. 如图所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查求角的正切值，根据网格特点和正切定义求解即可．
【详解】解：如图，设网格中小正方形的边长为1，则，，

∴，
故选：D．
4. 以原点为位似中心，把缩小为原来的后得到，若点坐标为，则的坐标为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据位似变换的性质计算．
【详解】以原点O为位似中心，把△ABO缩小为原来的后得到△A'B'O，
∵B点坐标为（4，-6），
∴B'的横坐标为或，纵坐标为或，即（2，-3）或（-2，3），故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
5. 如图，在△ABC中，DE∥BC，，则的值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题．
【详解】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴（）2，∴．
故选B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6. 如图，一山坡的坡度．小明从山脚出发，沿山坡到达点，已知，的水平距离米，则小明上升的高度是（ ）

A. 100米B. 200米C. 米D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握坡度的概念是解答本题的关键．
根据山坡的坡度比，即可作答．
【详解】解：∵山坡的坡度为，米．
∴解得：(米)，
则小明上升的高度是100米，
故选：A．
7. 如图，在中，，点D是延长线上的一点，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，利用锐角三角函数的概念解直角三角形问题是解决本题的关键．
通过解直角得到与、间数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求的值．
【详解】解：在中，，，
，，
，
，
．
故选：A．
8. 如图， 在中， ， ， 垂足为D， 若 则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是得到．由勾股定理求出，由等角的余角相等得出，再根据锐角三角函数的定义求解即可
【详解】解：在中，，
由勾股定理，得，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：C．
9. 如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，锐角三角函数，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．折叠的性质可得 ，再证明，即可求解．
【详解】解：在矩形中，，
由折叠知：，
，
，
，
，
故选：C．
10. 如图，在中，，，是上一点，若，则的长为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形，也考查了等腰直角三角形的性质，作于，由，得，根据等腰直角三角形的性质得到 ，设则，，在中，利用的正切得到，然后由可计算出 ，再利用 ，进行计算即可，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，再利用三角函数求边长．
【详解】作于，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
在中，设，则，
则，
在中，，
∴，
∴，解得：，
∴，
故选：．
二、填空题（每题3分，共18分）
11. 在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinB=______．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据题意表示出三角形的各边，进而利用锐角三角函数关系得出答案．
【详解】如图所示：
∵∠C=90°，tanA=，
∴设BC=x，则AC=2x，故AB=x，
则sinB=.
故答案为 ．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确表示各边长是解题的关键．
12. 中，若，则________度．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值、非负数的性质、三角形的内角和定理，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．
根据非负数的性质可求出和的值，根据特殊角的三角函数值，求出和的值，再根据三角形的内角和是180度，求出的值．
【详解】解：由题意知，，
，，
∴，，
∴，
故答案为：105．
13. 如图，市政府准备修建一座高为的过街天桥，已知为天桥的坡面与地面的夹角，且 ，则坡面的长度为_________．
【答案】##10米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握正弦三角函数的含义是解题的关键．根据正弦三角函数的定义来求解即可．
【详解】解：由题知，，，
，
解得，
故答案为：．
14. 如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为和，如果这时气球的高度为90米，且点A、D、B在同一直线上，则建筑物A、B间的距离为________
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得，，在和中，利用锐角三角函数求得，，再利用求解即可．
【详解】解：由题意可得，，，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，已知RtABC中，斜边BC上的高AD＝4，csB，则AC＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，则，即可求得．
【详解】解： RtABC中，
故答案为：
【点睛】本题考查了同角的余角互余，余弦的定义，求得是解题的关键．
16. 如图，是边长为1的等边三角形，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记为，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质和应用，找出规律，是解题的关键．首先由得出，根据相似三角形的性质得出，根据的面积求出，，求出，同理，，，…，根据规律可写出，再n将取2023，计算即可得答案．
【详解】解∶中点，，
∴，
，
，
，
，
的面积是
，
推理，
，
同理，，，…，
（个）
故答案为∶．
三、解答题（共72分）
17. （1）计算：
（2）计算：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，负整数指数幂，绝对值等知识点，正确计算是解题的关键．
（1）分别计算负整数指数幂、零指数幂，立方根，代入特殊角三角函数值并计算乘法，最后再进行加减计算；
（2）代入特殊角三角函数值，并化简绝对值，最后进行加减计算．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
18. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点为位似中心的位似图形．
（1）在图中标出位似中心的位置；
（2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为：，并写出点的对应点的坐标；
（3）的内部一点的坐标为，写出在中的对应点的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）见解析，；
（3）点在中的对应点的坐标为．
【解析】
【分析】本题考查作图—位似变换及位似变换的性质．解题的关键是掌握位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
（1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心；
（2）延长、，并使、，连接即可，根据图形写出坐标即可；
（3）根据位似比，求出点的坐标即可．
【小问1详解】
如图，点所作；
【小问2详解】
如图，为所作，点的坐标为；
【小问3详解】
点在中的对应点的坐标为．
19. 如图，中，于点D，，， ，求，的值．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了正切、正弦、余弦的定义，勾股定理，由正切的定义求出，由线段的和差求出，再根据勾股定理求出，再根据正弦和余弦的定义分别求出和即可．
【详解】解：∵，
∴，
在中，∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，．
20. 如图，在中，点D、B、C、E在同一条直线上，且．
（1）求证：；
（2）若，求的长度．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角：
（1）由等边对等角，得，结合，即可作答；
（2）因为相似，所以，直接代数计算，即可作答．
【小问1详解】
解：∵
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵
∴
∵，
∴
解得
21. 如图，平行四边形中，E是的延长线上一点，与交于点F，．
（1）求证：
（2）若面积为2，求平行四边形的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟悉相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质可得，，由平行线的性质得到，根据相似三角形的判定定理即可得证；
（2）证明，根据相似三角形的性质，可求出的面积，即可得到四边形的面积，再证明，根据相似三角形的性质，可求出的面积，由此可得平行四边形的面积．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，
∵，的面积为，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，，
∴，
∴，
∴平行四边形的面积为．
22. 如图，在中，，D是边上一点，且
（1）试求的值；
（2）试求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形中三角函数值的计算，本题中正确求三角函数值是解题的关键．
（1）作，则中，根据勾股定理即可求得的长，即可求得；
（2）作，则根据勾股定理可以求得的长，求得，即，求得k的值即可求的面积．
【小问1详解】
解：作 ，垂足为 ，
∵ ，
∴
在 中，
∴；
【小问2详解】
解：作，垂足为，
在中，，令，，
则，
又在中，，
则，
于是 ，即，
解得，
∴．
23. 2024西安城墙新春灯会聚焦了文化、科技、数字、环保、演艺五大热门元素．部分灯组将文物与灯会相融合，如气势磅礴的《祥龙贺春》灯组便在“中华第一龙”红山玉龙与浮雕龙纹宫灯石柱的基础上进行制作展示（如图①）．张敏和赵雷两人去城墙灯会游览，看到龙灯十分壮观，他们合作完成寒假作业的实践活动报告．
请你根据活动报告求出龙灯最高点到地面的高度．
【答案】龙灯最高点到地面的高度为18米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题、相似三角形的判定与性质，解直角三角形得出米，再证明，由相似三角形的性质进行求解即可得出答案．
【详解】解：在中，，
∴米，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴米．
∴龙灯最高点到地面的高度为18米．
24. 如图，在大楼的正前方有一斜坡，米，坡比，高为，在斜坡下的点处测得楼顶的仰角为，在斜坡上的点处测得楼顶的仰角为，其中、、在同一直线上．
（1）求斜坡的高度；
（2）求大楼的高度；（参考数据，，，，，．）
【答案】（1）斜坡的高度是5米；（2）大楼的高度是19.52米．
【解析】
【分析】（1）设米，则米，根据勾股定理，构造方程求解即可；
（2）根据，，代入已知条件，得到关于AB、AC的方程，求出AB即可．
【详解】解：（1）∵在大楼的正前方有一斜坡，米，坡度为，
∴，
设米，则米，
∴，
解得，，
∴，，
即米，米，
故斜坡的高度是5米；
（2）∵，，米，米，
∴，，
解得，米，
即大楼的高度是19.52米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答此类题目关键是明确题意，利用勾股定理，三角函数等数量关系得到方程，求解即可．
活动报告
课题
测量龙灯最高点到地面的高度
目的
运用相似三角形与三角函数解决实际问题
工具
标杆、皮尺、测角仪、激光笔等
测量方案及示意图

如图②，张敏在D处用测角仪测得龙灯最高点A的仰角为，赵雷在D处竖立高3米的标杆，利用激光笔测得地面上的点E、点A和点C在一条直线上，米．
说明
，，点B、D、E在一条水平线上，图中所有点都在同一平面内，，，，测角仪、激光笔与地面的距离忽略不计．
安全
测量过程中注意自己及他人的安全．