辽宁省东北育才高中2025 - 2026学年度上学期高一上学期10月考数学试卷

这是一份辽宁省东北育才高中2025 - 2026学年度上学期高一上学期10月考数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
答题时间：120 分钟 满分：150 分 命题人 校对人：庞德艳 袁野
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合? = {1,2,3,5}, ? = {2,3,5,7,11}，则 AB  （ ）
A．2,3,5
B．1, 2,3,5
C．{2,3,5,7,11}D．{1,2,3,5,7,11}
2．已知命题 p : x R, x  0 ，则 p :（）
A． x R, x  0B． x R, x  0C． x R, x  0 D． x R, x  0
不等式 1  x  1  x   0 的解集是（）
 2 3

A． x 1  x  1 
B． x x  1 或 x  1 
 32 32 

C． x x  1 

D． x x  1 
3
2


如果对于任意实数 x ，[x] 表示不超过的 x 最大整数，例如[ ]=3,[0.6]=0, [1.6]=-2 ，那么"[x]  [ y]" 是" | x-y | 1" 的()
充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
已知关于 x 的不等式ax2  bx 1  0 的解集为 , 2 m,   ，其中m  0 ，则
m 

b  3 的最小值为（ ）
2
m
2
4
B．4C． 2
D．2
已知集合U 为全集，集合M  N   ， M  N  U ，则（ ）
M
U MN    U N 
C．
 U N   M
M 
U N   M
U MN    U M 
D．
设P  1 ， Q 
3
7  5 ， R 
11  3 ，则P, Q, R 的大小顺序是（ ）
P  Q  R
Q  R  P
R  P  Q
Q  P  R
已知关于 x 的不等式a2 1 x2  2ax  1  0 恰有 3 个整数解，则实数 a 的取值范围是
5
4
a  4}
3
()
{a
|  4  a
 5 或
{a |  3  a
 4 或 4
a  3}
34
2332
{a
|  3  a
 1 或1
a  3}
{a |  3  a
 4 或1
a  3}
22232
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
下列说法中正确的是().
若a  b ，则 a  b
c2c2
若2  a  3 ，1  b  2 ，则 3  a  b  1
若a  b  0 ， m  0 ，则 m  m
ab
下列命题为真命题的有()
∀? ∈ ?，?2 + ? + 1 > 0
D. 若a  b ， c  d ，则 ac  bd
当?? > 0时，∃? ∈ ?，??2 + ?? − ? = 0
|? − ?| = |?| + |?|成立的充要条件是?? ⩾ 0
“−2 < ? < 3”是“(?2 − 2|?| + 4)(?2 − 2? − 3) < 0”的必要不充分条件
已知a  b,b  0 ，且a a  2b  2  1 b3  b ，则
b
a2  16
的值可能为（）．
1311
A． 4B． 4C． 3D． 5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
若“ x 1, 4 ，使得2x  a 1 0 ”是假命题，则实数a 的取值范围为.
在实数范围内，不等式| 2x 1|  | 2x 1| 6 的解集为
若? 、? 、…、?
均为正实数，则?
+ ?2 + ?3 + ?4 + ⋯ + ?2025 +4
122025
1?1
?1?2
?1?2?3
?1?2…?2024
?1?2…?2025
的最小值为．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13 分）
已知全集U  R ，集合 A  x | 3  x  7，集合B  x | 3  2a  x  2a  5 ，其中a R .
当a  4 时，求 R  A  B ；
若 A  B  A ，求 a 的取值范围.
16．（15 分）
命题 p :“ x 1, 2, x2  a  0 ”，命题q :“ x  R, x 2  2ax  2  a  0 ”，当 p 和 q 都
000
为真命题时，求实数a 的取值范围；
已知 p：1 x 1  2 ， q：x2  2x 1 m2  0m  0 ，若p 是q 的充分而不必要条
3
件，求实数 m 的取值范围．
17．（15 分）
已知 a，b，c 是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程 ax2  2bx  c  0 ，
bx2  2cx  a  0 ， cx2  2ax  b  0 中至少有一个方程有两个相异实根.
设 x  0 ， y  0 ， z  0 ，证明：1 xyz 2.
x  zz  x
18．（17 分）
已知函数 y  ax2  a  2 x  2 ， a R ，
若不等式 y  3  2x 恒成立，求实数a 的取值范围；
当a  0 时，求不等式 y  0 的解集；
若关于 x 的方程ax2  (a  2) | x | 2  1有四个不同的实根，求实数a 的取值范围.
19．（17 分）
已知实数a ， b ， c 满足a  b  c .
求证： 1
 1  1
0 .
a  bb  cc  a
将上述不等式加以推广，把 1
c  a
的分子 1 改为另一个大于 1 的自然数 p ，使得
1  1 

p  0 对任意的a ， b ， c 恒成立，求 p 的值.
a  bb  cc  a
继续推广，自然数m ， n ， p 满足什么条件时，不等式 m  n p  0 对任意
a  bb  cc  a
a ， b ， c 恒成立？
东北育才高中 2025—2026 学年度上学期高一年级数学月考试卷
答题时间：120 分钟 满分：150 分命题人校对人：庞德艳，袁野
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合? = {1,2,3,5},? = {2,3,5,7,11}，则 A ∩ B  （）
A．2, 3, 5
1, 2, 3, 5
{2,3,5,7,11}D．{1,2,3,5,7,11}
【答案】A【详解】因为? = {1,2,3,5},? = {2,3,5,7,11}，所以 A  B  2, 3, 5.故选：A. 2 已知命题 p : x  R, x  0 ，则 p :（）
A． x  R, x  0 B． x  R, x  0
C． x  R, x  0 D． x  R, x  0
【答案】D
【详解】由全称命题的否定为特称命题，则 p : x  R, x  0 .故选：D
不等式 1  x  1  x   0 的解集是（）
 2 3

A． x 1  x  1 
B． x x  1 或 x  1 
 32 32 

C． x x  1 

D． x x  1 
3
2


【答案】B
【详解】原不等式 1  x  1  x   0 可化为 x  1  x  1   0 ，解得 x  1 或 x  1 ，
 2 32 3 32

所以不等式 1  x  1  x   0 的解集为x x  1 或 x  1  .故选：B.
 2 332 

如果对于任意实数 x ，[x] 表示不超过的 x 最大整数，例如[π]=3,[0.6]=0 ,[1.6]=-2 ，那么"[x]  [ y]"
是" | x-y | 1" 的()
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：因为[?]表示不超过?的最大整数，
所以[?] = [?]即?,?在某相邻的两个整数之间，
而|? ― ?| < 1表示?,?这两个数可以在两个相邻整数之间，也可在某个整数两侧距离不超过 1
例如0.9与1.1，|? ― ?| < 1但是[?] ≠ [?]，故“[?] = [?]”是“|? ― ?| < 1”的充分不必要条件．故选：?．
已知关于 x 的不等式ax2  bx 1  0 的解集为 , 2 U m,   ，其中m  0 ，则b  3 的最小值为
m m
（ ）
2
A． 4
【答案】C

2
B．4C． 2
D．2
【详解】由题意可知： 2 ， m 是方程ax2  bx 1  0 的两根，且a  0 ，
2
m
 2  m  b
2
则 ma ，可得a  1 ， b  1  m ，则b  3  4  m  2
，当且仅当m 时取等号，

 21

 m 
 ma
2m2
mm22
2
所以的最小值为2.故选：C.
已知集合U 为全集，集合M  N   ， M  N  U ，则（）
A． M ∪ ðU N   M
C． ðU M ∪ N   ðU N 
B． M ðU N   M
D． ðU M ∩ N   ðU M 
【答案】D
【分析】取 N  M ，可得出M ðU N   U ，可判断 A 选项；取M  N ，可判断 B 选项；根据
ðU M  N   ðU M  ðU N  ，可判断 C 选项；根据ðU M  N   ðU M  ðU N  ，可判断 D 选项.
【详解】对于 A 选项，因为M  N   ，则M 、 N 均不为空集，因为M  N  U ，所以，当 N  M 时，则M ðU N   U ，
又因为M 为U 的真子集，A 错；
对于 B 选项，若M  N ，则M ðU N    ，B 错；对于 C 选项，因为ðU M  N   ðU M  ðU N  ，
所以， ðU M  N   ðU N  ，C 错；
对于 D 选项，因为ðU M  N   ðU M  ðU N  ，所以， ðU M  N   ðU M  ，D 对.故选：D.
7
设 P  1 ， Q 
3
P  Q  R
C． R  P  Q
5 ， R  3，则 P, Q, R 的大小顺序是（ ）
11
Q  R  P
D． Q  P  R
【答案】D
7

【分析】对 P, Q 作差可求出 P  Q ，再对 R, P 作差可求出 P  R ，即可得出答案.
【详解】解： P  Q  1  (
3
 5)   1 
7

3
5  ，
 12

2 5
46  6 5
1246
263
因为  5 
  5 5 
，  7   7 ，
 3
939399
11
11
而 46  6 5  63 ，所以 P  Q  0 ，所以 P  Q ， P  R  1  ( 3)   1  3  10  11 ，
3 33
11
99
 10 2
100
29910099
3
而 

，
9
 11 ，
99
，而 P  R  0 ，所以 P  R ，综上， Q  P  R .故选：D.
9
已知关于 x 的不等式a2  1 x2  2ax  1  0 恰有 3 个整数解，则实数 a 的取值范围是()
{a
|  4  a„  5 或 5 „ a  4}
{a |  3  a„  4 或 4 „ a  3}
3443
2332
{a |  3  a„  1 或1„ a  3}
{a |  3  a„  4 或1„ a  3}
22
【答案】A
232
【解答】解：因为a2  1 x2  2ax  1  0 恰有 3 个整数解，所以 a2  1  0 ，解得 a  1或 a  1.
又a2  1 x2  2ax  1  0 ，即[(a  1)x  1][(a  1)x  1]  0.
①当 a  1时，不等式的解集为{x | 1  x  1 } ，因为 1  0, 1  ，故 3 个整数解为 1，2，3，则
a  1
a  1
a  1 2 
3  1
a  1

„ 4 ，解得 5 „ a  4 ;
43
②当 a  1 时，不等式的解集为{x | 1  x  1 } ，因为 1   1 , 0  ，故 3 个整数解为1, 2, 3 ，
a  1
a  1
a  1  2

则4„1 3 ，解得 4  a„  5 .
a  134
综上所述，实数 a 的取值范围为 4  a„  5 或 5 „ a  4 .故选： A.
3443
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全
部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
下列说法中正确的是().
若 a  b ，则 a  b
c2c2
若2  a  3 ，1  b  2 ，则3  a  b  1
若 a  b  0 ， m  0 ，则 m  m
ab
若 a  b ， c  d ，则 ac  bd
【答案】AC
解：对于 A， a  b ， 1
c2
0 ，，A 正确；
对于 B，若 a   3 ， b  3 ，则 a  b  3 ，B 错误；
22
对于 C， a  b  0 ，0  1  1 ，又 m  0 ，，C 正确；
ab
对于 D，若 a  2 ， b  0 ， c  1， d  3 ，则 ac  2 ， bd  0 ， ac  bd ，D 错误.故选 AC.
下列命题为真命题的有()
∀? ∈ ?，?2 +? + 1 > 0
当?? > 0时，∃? ∈ ?，??2 +?? ― ? = 0
|? ― ?| = |?| + |?|成立的充要条件是??⩾0
“ ―2 < ? < 3”是“(?2 ―2|?| +4)(?2 ―2? ― 3) < 0”的必要不充分条件
【答案】ABD
【解答】对于?
，因为?2
+? + 1 = (? +
1)2
2
+ 3 3 > 0，故 正确；
⩾
A
4 4
对于?，由于?? > 0，所以对于??2 +?? ― ? = 0，? = ?2 +4?? > 0，所以方程??2 +?? ― ? = 0有实数根，故 B 正确；
对于?，由|? ― ?| = |?| + |?|，得|? ― ?|2 = (|?| + |?|)2，整理得 ―?? = |??|，所以??⩽0，故|? ― ?| = |?| +
|?|成立的充要条件是??⩽0，故 C 错误；
对于?，因为?2 ―2|?| +4 = (|?| ―1)2 +3 > 0，
所以(?2 ―2|?| +4)(?2 ―2? ― 3) < 0等价于?2 ―2? ― 3 < 0， 由?2 ―2? ― 3 < 0，可得―1 < ? < 3，因为( ― 1,3)⫋( ― 2,3)，
所以“ ―2 < ? < 3”是“(?2 ―2|?| +4)(?2 ―2? ― 3) < 0”的必要不充分条件，故 D 正确．故选：???．
已知a  b, b  0 ，且a a  2b  2  1  b3  b ，则
b
a2  16
的值可能为（）．
1311
A． 4B． 4C． 3D． 5
【答案】AD
【详解】 a a  2b  2  1  b3  b ，a2  2ab  2a  b2  2b  3  0 ，
a  b2  2 a  b  3  0 ， a  b,a  b  0 ， a  b  3 ，
b
a2 16
b
3  b2 16
b
b2  6b  25
11
2 25  6
b  25  6
b
 1 ,
4
当且仅当b  25 ，即b  5 时等号成立，此时b1A D
ba2  16 取最大值 4 ．故答案为：
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
若“ x 1, 4 ，使得2x  a 1  0 ”是假命题，则实数a 的取值范围为.
【答案】(, 9)
【详解】由于“ x 1, 4 ，使得2x  a 1  0 ”是假命题，则“ x 1, 4 ，使得2x  a 1  0 ”是真命题，
故2  4  a 1  0 ，则a  9 ，故答案为： (, 9)
在实数范围内，不等式| 2x 1|  | 2x 1| 6 的解集为
【答案】x  R |  3  x  3 
22 

【详解】试题分析：解：由不等式|2x-1|+|2x+1|≤6，可得
2
①-(2x-1)+(-2x-1)≤6,x＜- 1 ，
2
或 ②-(2x-1)+(2x+1)≤6- 1 ≤x
或③2x-1+2x+1≤6,x  1
2
1
＜ 2 ，
311113
解①得- 2 ≤x＜- 2 ，解②得- 2 ≤x＜ 2 ，解③得 2 ≤x≤ 2
把①②③的解集取并集可得不等式的解集为x |  3  x  3 
22 

?2
?3
?4
?20254
若?1、?2、…、?2025均为正实数，则?1 + ?1 + ?1?2 + ?1?2?3 +… + ?1?2…?2024 + ? ? …?
的最小值为．
1 22025
【答案】4
4?2025
?4
?3
?2
1 2
【解答】解：原式= ? ?
⋅⋅⋅ ?2025
+ ?1?2 ⋅⋅⋅ ?2024 +⋯ + ?1?2?3 + ?1?2 + ?1 + ?1
≥ 2
?2024 ?4 ?3 ?2
4
?2025
? ? ⋅⋅⋅ ?
1 220251 22024
⋅ ? ? ⋅⋅⋅ ?
++ ⋯ ++++ ?
4?2024
?1?2 ⋅⋅⋅ ?2023
?4
?1?2?3?1?2
?1
4 ⋅ ?
1
?3?2
?11
= ? ? ⋯?+ ? ? ⋅⋅⋅ ?
+ ⋯ + ? ? ?
+ ? ? + ?
+ ?1
1 220241 2
2023
1 2 3
1 21
4
≥ ⋯ ≥ + ? ≥ 2
4
?2024
? ? ⋯?
1 220241 22023
⋅ ? ? ⋅⋅⋅ ?
≥ 2
+ ⋯ +
4?4
?4
?1?2?3
?3
?3
1 2
+ ? ?
?2
?2
1
+ ? + ?1
?11
= ? ? ⋯?
+ ⋯ + ? ? ?
+ ? ?
+ ?
+ ?1
1 220231 2 31 21
= 4，
4
当且仅当
= ??(? = 1,2,3,⋯,2025,?? > 0)时，即当?1 = ?2 = ⋯ = ?2024 = ?2025 = 2时，等号成立，
??
?2
?3
?4
?20254
1 2
故?1 + ?1 + ?1?2 + ?1?2?3 + ⋅⋅⋅ + ?1?2 ⋅⋅⋅ ?2024 + ? ?
⋅⋅⋅ ?2025
的最小值为4．
故答案为：4．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13 分）
已知全集U  R ，集合 A  x | 3  x  7 ，集合 B  x | 3  2a  x  2a  5 ，其中a  R .
当a  4 时，求ðR  A  B ；
若 A  B  A ，求 a 的取值范围.
【详解】（1） a  4 ，故 B  x | 5  x  3， A  B  x 5  x  7 ，
ðR  A  B  {x | x  5 或 x  7}
（2）若 A  B  A ，则 B  A ，
.4 分
当 B   时， 3  2a  2a  5  a  2 ，8 分
3  2a  2a  5

当 B   时， 3  2a  3

2a  5  7
，解得2  a  3 ，12 分
综上， a  313 分
16．（15 分）
（1）命题 p :“ x 1, 2, x2  a  0 ”，命题q :“ x  R, x 2  2ax
 2  a  0 ”，当 p 和 q 都为真命题时，求
000
实数a 的取值范围；
（2）已知 p：1 x 1  2 ， q：x2  2x 1 m2  0 m  0 ，若p 是q 的充分而不必要条件，求实数 m 的
3
取值范围．
【详解】1 若 p 是真命题，则a  x2 ，因为 x 1, 2 ，所以a  1 ；2 分
若 q 为真命题，则方程 x2  2ax  2  a  0 有实根，
所以Δ  4a2  4 2  a  0 ，即a  1 或a  2 ，5 分
由 p 真 q 也真时，所以a  2 或a  1 ；故实数a 的取值范围为： , 2∪ 1
2 由 x2  2x 1 m2≤0 得1 m  x  1 m m  0 ．
所以“ q ”： A  x x  1 m 或x  1 m}
.7 分
.9 分

由 1 x 1  2 得2  x  10 ，所以“ p ”： B  x x  10 或 x  2 ．11 分
3
由p 是q 的充分而不必要条件知: B 是A 的真子集，故
m  0

m  0

1 m  2 或1 m  2 ,解得： 0  m  3 或0  m  3 ，结果为0  m  3 ,


1 m  101 m  10
故 m 的取值范围为0, 3 17．（15 分）
.15 分
已知 a，b，c 是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程 ax2  2bx  c  0 ， bx2  2cx  a  0 ，
cx2  2ax  b  0 中至少有一个方程有两个相异实根.
(2) 设 x  0 ， y  0 ， z  0 ，证明：1 xyz 2.
x  yy  zz  x
【答案】（1）证明：假设三个方程都没有两个相异实根.则，
，
，
上述三个式子相加得，，
即 a2  2ab  b2  b2  2bc  c2  c2  2ac  a2„ 0 ，即(a  b)2  (b  c)2  (c  a)2„ 0.
所以 a  b  c ，这与 a，b，c 是互不相等的非零实数相矛盾.因此假设不成立，
故三个方程 ax2  2bx  c  0 ， bx2  2cx  a  0 ， cx2  2ax  b  0 中至少有一个方程有两个相异实根.
x
由不等式的性质知，
， y
，z
.7 分
z
，
x  yx  y  z
y  zx  y  z
z  xx  y  z
所以 x
yz
xyz
 1 ，
x  yy  zz  xx  y  zx  y  zx  y  z
x
又根据糖水不等式，证出
x  z
，
x  yx  y  z
y
同理可得
x  yz
，
y  z
，
y  zx  y  zz  xx  y  z
所以 x
yz
x  z
x  y
y  z
 2 ，
x  yy  zz  xx  y  zx  y  zx  y  z
所以1 
xy
z 2.
.15 分
x  yy  zz  x
18．（17 分）
已知函数 y  ax2  a  2 x  2 ， a  R ，
若不等式 y  3  2x 恒成立，求实数a 的取值范围；
当a  0 时，求不等式 y  0 的解集；
若关于 x 的方程ax2  (a  2) | x | 2  1 有四个不同的实根，求实数a 的取值范围.
【详解】（1）不等式 y  3  2x  ax2  (a  2)x  2  3  2x  ax2  ax 1  0 ，
当a  0 时， 1  0 恒成立，则a  0 ；2 分
a  0

当a  0 时， Δ  a2  4a  0 ，解得- 4 < a < 0 ，
所以实数a 的取值范围是- 4 < a £ 0 .4 分
（2）当a  0 时， y  0  ax2  (a  2)x  2  0  (x 1)(x  2 )  0 ，
a
当0  a  2 时， x  1或 x  2 ；
a
当a  2 时， x  R ；
当a  2 时， x  2 或 x  1，
a
所以当0  a  2 时，原不等式的解集为{x | x  1或x  2}；
a
当a  2 时，原不等式的解集为R ；
当a  2 时，原不等式的解集为{x | x  2 或x  1} .10 分
a
​
方法一：
方程ax2  (a  2) | x | 2  1 化为a | x |2 (a  2) | x | 3  0 ，
当a  0 时， | x | 3 ，解得 x   3 ，原方程有且仅有两个实根，不合题意；
22
当a  0 时，关于| x | 的一元二次方程只有一个正根，原方程有且仅有两个实根，不合题意；当a  0 时，原方程有 4 个不同的实根，则关于| x | 的一元二次方程有两个不同的正根，

Δ  (a  2)2 12a  0
 a  2
因此 0
，解得0  a  4  2
或a  4  2，
3
3
a



 3  0
 a
3
所以实数a 的取值范围为0  a  4  2
3
或a  4  2
.17 分
方法二：方程ax2  (a  2) | x | 2  1 化为a | x |2 (a  2) | x | 3  0 ，令t | x |，则方程 at 2  (a  2)t  3  0 有两个不等正根。令 f (t)  at 2  (a  2)t  3
Δ  (a  2)2 12a  0
 a  2
 0
解得0  a  4  2
或a  4  2，
3
3

 2a
af (0)  0
3
所以实数a 的取值范围为0  a  4  2
3
或a  4  2
.17 分
19．（17 分）
已知实数a ， b ， c 满足a  b  c .
求证： 1
 1  1
0 .
a  bb  cc  a
将上述不等式加以推广，把 1 的分子 1 改为另一个大于 1 的自然数 p ，使得 1
 1 p  0

c  a
对任意的a ， b ， c 恒成立，求 p 的值.
继续推广，自然数m ， n ， p 满足什么条件时，不等式 m  n 
a  bb  cc  a
p  0 对任意a ， b ， c 恒成
a  bb  cc  a
立？
【详解】（1）证明：因为a  b  c ，所以a  b > 0 ， b  c  0 ， a  c  0 ，
所以 1  1 a  c   1  1  a  b  b  c

 a  bb  c  a  bb  c  
a  b  b  c
b  c a  b
 2  a  b  b  c  2  2
b  ca  b
 4 ，
当且仅当 a  b  b  c ，即a  b  b  c ，即a  c  2b 时等号成立，
b  ca  b
所以 1  141，所以 1  1  1 0 .5 分

a  bb  ca  ca  ca  bb  cc  a
（2） 1  1 p  0 可变形为 p   1  1  a  b  b  c ，


a  bb  cc  a
 a  bb  c  
由（1）知 1  1  a  b  b  c 的最小值为 4，所以 p  4 .

 a  bb  c  
又 p  1，且 p  N ，所以 p  2 或 3.10 分
（3）类似（2），不等式 m  n p  0 恒成立，即 p   m  n  a  b  b  c 恒成立，


a  bb  cc  a
 a  bb  c  
mn
 
而 m  n  a  b  b  c  m  n  m b  c  n a  b  m  n  2，
a  bb  c

a  bb  c
m b  c n a  b
当且仅当，即
a  bb  c
m b  c 
n a  b 时等号成立，
mn
m
p
m
所以 p  m  n  2，即 p   n 2 ，即 n .
p
m
所以当自然数m ， n ， p 满足 n 时，不等式 m  n p  0 对任意a ， b ， c 恒成立.

a  bb  cc  a
.17 分