2026咸阳实验中学高三上学期第二次质量检测试题数学含解析

咸阳市实验中学 2025-2026 学年度高三第二次质量检测数学试题一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上）.1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合 B，再根据集合交集运算即可得答案【详解】由 ，可得 ，所以 ，所以 .故选：B2. 已知向量 的夹角为 ，且 ，则 （ ）A. 6 B. C. 3 D.【答案】A【解析】【分析】由平面向量减法的几何意义，结合平面几何的知识可解.【详解】在边长为 6 的等边三角形 中，设 ，则 ，故 .故选：A3. 在正方体 中， 分别为 、 、 、 的中点，则异面直线 与第 1页/共 20页所成的角等于（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】连接 ，异面直线 与 所成的角是 或其补角，由正方体性质即可得结论.【详解】如图，连接 ，由题意 ，所以异面直线 与 所成的角是 或其补角，由正方体性质知 是等边三角形， ，所以异面直线 与 所成的角是 .故选：B.4. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递增，若 ，， ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用奇函数的性质把自变量变成大于 的数，再利用中间值法比较自变量的大小即可得出答案.【详解】因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，第 2页/共 20页又因为 在 上单调递增，且 ， ，，所以 ，所以 .故选：D5. 设 ， .若 是 与 等比中项，则 的最小值（ ）A 2 B. 4 C. D. 8【答案】B【解析】【分析】 是 与 的等比中项，可得 ．利用 及其基本不等式的性质即可得出．【详解】解： 是 与 的等比中项，，．， ．，当且仅当 时取等号．的最小值为 ．故选：B．【点睛】本题考查了等比数列的性质、变形利用基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6. 已知函数 的定义域为 ，且满足 为偶函数，当 时，，若 ，则 （ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】第 3页/共 20页【分析】先根据条件确定函数的对称性和周期性，再利用待定系数法列方程组求出 ，进而利用对称性和周期性求 即可.【详解】因为 ①，所以函数 的图象关于点 对称.因为 为偶函数，所以 ②，则函数 的图象关于直线 对称.由①②得 ，则 ，故 的周期为 4，所以 .由 ，令 ，得 ，即 ③，已知 ，由函数 的图象关于直线 对称，得 .又函数 的图象关于点 对称，得所以 ，即 ，所以 ④，联立③④解得 ， ，故当 时， .由 的图象关于点 对称，可得 .故选：A.7. 已知 是定义在 上的奇函数，当 、 且 时，都有 成立， ，则不等式 的解集为（ ）A. B.第 4页/共 20页C. D.【答案】B【解析】【分析】对 进行变形，得出函数 的单调性，再利用函数的单调性和奇偶性解不等式.【详解】由 可得 ，设函数 ， ，则 在 上单调递增，又因为 为定义在 上的奇函数， ，所以 为偶函数， 在 上单调递减，而不等式 ，又因为 ，所以 ，所以不等式的解集为 .故选：B8. 若关于 x 的不等式 对 恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【 分 析 】 利 用 同 构 得 到 ， 当 时 ， 满 足 要 求 ， 当 时 ， 令 ， 则在 上 恒 成 立 ， 求 导 后 得 到 函 数 单 调 性 ， 从 而 得 到 ， 构 造，求导得到单调性，进而得到 ，得到答案.【详解】由 可得 ，即 ，第 5页/共 20页当 时， ，不等式 在 上显然成立；当 时，令 ，则 在 上恒成立，由 ，在 上 ，所以 在 上单调递增，又 时， ， ，所以只需 在 上恒成立，即 恒成立．令 ，则 ，即 在 上单调递增，其中 ，故 ，所以此时有 ．综上， ．故选：C．【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现 与 ，通常使用同构来进行求解，本题难点是不等式变形为 ，从而构造 进行求解.二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.9. 已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则（ ）A. 当 时，B. ，都有C. 函数 有两个零点D. 函数 在区间（-1，0）上单调递减【答案】AD【解析】【分析】设 ，则 ，得到 ，可判定 A 正确；利用导数求得函数单调性，得出函数 的值域，可判定 B 不正确；令 ，求得函数 的零点格式，可判第 6页/共 20页定 C 错误；当 时，求得 恒成立，可判定 D 正确.【详解】对于 A 中，设 ，则 ，因为函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 ，所以 A 正确；对于 B 中，当 时， ，可得 ，令 ，可得 ；令 ，可得 ，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，当 时，函数 取得极小值，也是 上最小值 ，所以，函数 在 满足 ，又因为函数 为奇函数，图象关于原点对称，且 ，所以函数 的值域为 ，所以 B 不正确；对于 C 中，当 时， ，令 时，可得 ；当 时， ，令 时，可得 ；又因为函数 是定义在 上的奇函数，可得 ，综上可得，函数 有三个零点，所以 C 错误；对于 D 中，当 时，函数 ，可得 ，所以函数 在区间 上单调递减，所以 D 正确.故选：AD.10. 已知 P 是圆 C： 上的一个动点，过原点 O 的动直线与圆 C 交于 M，N 两点，则下列说法正确的是（ ）A. |OP|的最大值为 B. |OP|的最小值为C. |MN|最大值为 6 D. |MN|最小值为 2【答案】ABC【解析】第 7页/共 20页【分析】根据题意可得：所以 ， ，计算可得 A，B 选项，设圆心 C 到直线 的距离为 ,结合图形可知：当 为直径时， ，当 时， ,结合弦长公式即可求出 的最小值和最大值.【详解】由于 P 是圆 C： 上的一个动点，过原点 O 的动直线与圆 C 交于 M，N 两点,所以点 在圆 内，所以 ，故 A 正确；所以 ，故 B 正确；设圆心 C 到直线 的距离为 ,则 ,当 为直径时， ，所以,故 C 正确；由于 时 ,所以 ,故 D 不正确；故选：ABC11. 已知函数 ，方程 有三个不同的实根 ， ， ，则（ ）A. 方程 有两个不同的实根B.C. 是方程 的一个根D.【答案】ACD【解析】【分析】画出函数的图象，结合图像可得 有两个不同的解 且 ， ，从而可判断A 的正误，同样结合图形求出 的范围后可判断 B 的正误，将 代入计算后可判断 C 的正误，根据方第 8页/共 20页程的解的传递性可用 表示 后根据单调性可求范围，从而可判断 D 的正误.【详解】令 ，考虑 的解.的图象如图所示：对于 A，因为 有 3 个不同的解，故 有两个不同的解 ，且 ， ，故 A 正确.对于 B，由 A 的分析可得 ，故 B 错误.对于 C，由 A 的分析结合图象可得： 有两个不同的解，故 且 ，故 ，故 是方程 的一个根，故 C 正确.对于 D，由 A 的分析可得 有两个不同的解，不妨设为 ，有唯一解，不妨设为 ，则 ， ，故 ，故 ，而 即 ，所以 ，记 ，则 ，故 在 上单调递增，故 ，D 正确.故选：ACD.三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分.共 15 分）12. 等比数列 中， ，则 的前 4 项和等于______．第 9页/共 20页【答案】5【解析】【分析】根据给定条件，利用等比数列项间关系列式求出公比，进而求出前 4 项和.【详解】设等比数列 的公比为 ，由 ，得 ，解得 ，因此 ，所以 的前 4 项和等于 5.故答案为：513. 已知 ，则 ＝______．【答案】12【解析】【分析】由二项式展开式通项求解.【详解】二项式 的展开式通项为 ，当 时， ，所以 ，故答案为：12.14. 若二次函数 的图象与曲线 ： 存在公切线，则实数 的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】设公切线与 、 的切点坐标，由导数的几何意义，斜率公式化简，分理出 后构造函数，利用导数判断单调性，求出最值即可求解.【详解】由 可得 ，由 可得 ，设公切线与 的图象相切于点 ，第 10页/共 20页与 的图象相切于点 ，所以 ，即 ，可得 或 ，因 ， ，则 ， ，即 ，， ，令 ，可得 ，由 可得 ；由 可得 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，所以实数 的取值范围是 ，故答案为： .四、解答题（本题共 5 小题，第 15 题满分 13 分，第 16 题、第 17 题满分 15 分，第 18 题、第 19 题满分 17 分，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知二次函数 的最小值为 ，且关于 的不等式 的解集为（1）求函数 的解析式；（2）若函数 与 的图象关于 轴对称，且当 时， 的图象恒在直线 的上方，求实数 的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】第 11页/共 20页【分析】（1）利用两根式设出二次函数解析式，代入条件即可.（2）转化成恒成立问题求最值即可.【小问 1 详解】因为 是二次函数，且关于 的不等式 的解集为 ，所以 ，所以当 时， ，所以 ，故函数 的解析式为 .【小问 2 详解】因为函数 与 的图象关于 轴对称，所以 ，当 时， 的图象恒在直线 的上方，所以 ，在 上恒成立，即 ，所以 ，令 ，则 ，因为 (当且仅当 ，即 时，等号成立)，所以实数 的取值范围是 .16. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， 为 的中点．（1）证明： 平面 ；（2）若点 均在以 为球心，2 为半径的球面上．（i）证明： ；第 12页/共 20页（ii）求直线 与平面 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）（i）证明见解析（ii）【解析】【分析】（1）取 中点 ，连接 ，证明四边形 为平行四边形，得出 ，由线面平行判定定理得证；（2）（i）证明 两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法证明线线垂直（ii）根据线面角的公式求解即可.【小问 1 详解】取 中点 ，连接 ，分别为 中点，，又 ，，四边形 为平行四边形，，又 平面 ， 平面 ，平面 .【小问 2 详解】（i） 均在以 为球心，2 为半径的球面上，为球的直径， ，，，平面 ， 平面 ，， ，即 两两垂直，以 为坐标原点，分别以 方向为 轴的正方向建立空间直角坐标系，第 13页/共 20页设 ，则 ，，由 可得 ，解得 或 （舍去），， ，，即 .（ii）设直线 与平面 所成角为 ，由 ，平面 的一个法向量 ，则 .17. 已知椭圆 的右焦点为 ，离心率为 .（1）求 的方程；（2）已知点 ，直线 过 且与 交于 ， 两点，若 ，求 的方程.【答案】（1）（2） 或 或【解析】【分析】（1）利用椭圆的几何性质分别求出 ， ，从而求出椭圆 C 的方程；（2）通过将已知条件与椭圆和直线的基本性质结合，可以建立方程，利用点到直线距离相等的条件，巧妙地结合椭圆和直线的性质即可求解.第 14页/共 20页【小问 1 详解】右焦点为 ，离心率为 ，由椭圆的性质知，焦距 ，因此 ；离心率公式为 ，解得 ；再根据椭圆的定义 ，代入 和 的值，可以求得 .因此，椭圆 的方程为 .【小问 2 详解】当直线 l 的斜率不存在时,显然不满足题意.当直线 l 的斜率存在时,① 当斜率为 0 时，过 的直线 的方程为 ,此时 ，符合题意；②当斜率不为 0 时，设直线 的方程为 , ,联立 ,消去 y,整理得 ，所以 ， ，设线段 AB 的中点为 ，则 ，,因 ，而 ，所以 ,所以 ，即 ,解得 或 1,第 15页/共 20页所以直线 的方程为 或 .综上所述,直线 的方程为 或 或【点睛】在求解这类问题时，关键在于理解椭圆的基本性质，包括焦距、离心率、椭圆方程的构造，以及直线与椭圆相交时的条件。通过将已知条件与椭圆和直线的基本性质结合，可以建立方程，进而求解问题。在第二问中，利用点到直线距离相等的条件，巧妙地结合椭圆和直线的性质，是解题的关键.18. 某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己 1000 次训练情况并将成绩（满分 100 分）统计如下表所示.成绩区间频数 100 200 300 240 160（1）求上表中成绩的平均值及上四分位数（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）；（2）该运动员用分层抽样的方式从 的训练成绩中随机抽取了 6 次成绩，再从这 6 次成绩中随机选2 次，设成绩落在区间 的次数为 X，求 X 的分布列及数学期望；（3）对这 1000 次训练记录分析后，发现某项动作可以优化.优化成功后，原低于 80 分的成绩可以提高 10分，原高于 80 分的无影响，优化失败则原成绩会降低 10 分，已知该运动员优化动作成功的概率为．在一次资格赛中，入围的成绩标准是 80 分.用样本估计总体的方法，求使得入围的可能性变大时 p 的取值范围.【答案】（1）平均值为 ，上四分位数为 ；（2）分布列见解析，数学期望为 ；第 16页/共 20页（3） .【解析】【分析】（1）根据平均值计算公式和上四分位数计算方法即可得到答案；（2）写出 的可能取值，再分别计算出其分布列，最后再利用数学期望公式即可；（3）法一：利用互斥事件加法公式和全概率计算公式得到关于 的表达式，从而得到不等式，解出即可；法二：根据比例法得到相关概率表达式，解出不等式即可.【小问 1 详解】依题意，平均值，，上四分位数落在区间 ，且等于 .【小问 2 详解】由样本数据可知，训练成绩在 之内的频数之比为 2:1，由分层抽样的方法得，从训练成绩在 中随机抽取了 6 次成绩，在 之内的 4 次，在 之内的抽取了 2 次，所以 可取的值有：0，1，2，， ， ，分布列 ：0 1 2.【小问 3 详解】法一：设事件 分别表示动作优化前成绩落在区间 ， ， ，第 17页/共 20页则 相互互斥，所以动作优化前，在一次资格赛中，入围的概率 ，设事件 B 为＂动作优化成功＂，则 ，动作优化后，在一次资格赛中，入围事件为： ，且事件 相互互斥，所以在一次资格赛中入围的概率，故 ，由 解得 ，又 的取值范围是 .法二：因为入围的成绩标准是 80 分，所以进行某项动作优化前，该运动员在资格赛中入围的概率为：，进行某项动作优化后，影响该运动员入围可能性变化的是落在区间 或 的成绩，当且仅当动作优化成功，落在这两个区间的成绩才能符合入围标准，所以进行优化后，该运动员在资格赛中入围的概率 ，由 ，得 ，又 的取值范围是 .19. 已知函数 ．（1）若 在 上单调递减，求 的最大值；（2）证明：曲线 是中心对称图形；（3）若 ，求 的取值范围．【答案】（1） （2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）对 求导得 ，令 ，再结合基本不等式从第 18页/共 20页而可得 ，即可求解.（2）由 ，从而曲线 关于点 对称，即可求解.（3）分情况讨论求出 ， ，然后再利用导数讨论 ， 情况下，从而可求出 的取值范围是 .【小问 1 详解】由函数 ，所以 ，令 ，因为若 在 上单调递减，则恒成立，因为 ，当且仅当 时取等号，则 ，所以 ，即 ，得 .故 的最大值为 .【小问 2 详解】证明：由（1）知 ，则 ，则 ，所以曲线 关于点 对称，是中心对称图形.【小问 3 详解】当 时，则当 时， ，与 矛盾，所以 ；当 ， 时，则当 时， ，与 矛盾；当 ， 时，则当 时， ，与 矛盾；第 19页/共 20页所以 .当 ，则当 时， ，此时 ，矛盾；当 ，则当 时， ，此时 ，矛盾；因此 ，所以 ，当 ，由（1）可知 在 上单调递减，又 ，所以当 时， ， 在区间 上单调递增；当 时， ， 在区间 上单调递减；此时 ，符合题意；当 ，则当 时， ，此时 ，则 ，不合题意.综上所述： 的取值范围是 .【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.