2026成都石室中学高三上学期10月月考试题数学含解析

成都石室中学 2025-2026 学年度上期高 2026 届十月考试数学试题一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若全集 ， ， ，则集合 的元素个数有（ ）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个【答案】D【解析】【分析】根据集合的运算法则计算即可.【详解】因为 ，所以 ，所以 有 4 个元素.故选：D2. 若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 的虚部为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】应用复数 四则运算化简复数，即得虚部.【详解】由题设 ，故虚部为 .故选：B3. 函数 的最小正周期是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】易得 的周期为 ，函数 的周期为函数 的周期的 ，第 1页/共 20页再判断 与 的关系即可.【详解】令 ，其周期 ，对于函数 ，其周期为函数 的周期的 ，所以 ，所以 不是函数 的一个周期，又因为 ，所以 是函数 的周期，即函数 的最小正周期是 .故选：C.4. 已知 ， ， ，则 （ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】应用全概率公式、对立事件的概率求法列方程求 .【详解】由全概率公式知，所以 .故选：A5. 已知一圆锥的轴截面是正三角形，将其侧面展开，得到的扇形的圆心角为（ ）第 2页/共 20页A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意得出底面圆半径与母线的关系，进而可求出扇形的圆心角.【详解】设圆锥的底面圆的半径为 ，则其母线 ，则其侧面展开扇形的圆心角 .故选：C.6. 如图，设抛物线 的焦点为 ，过 轴上一点 作直线 交 于 ， 两点，若 ，，则 （ ）A. 4 B. 3 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的定义，可求两线段的长度之比.【详解】对抛物线 ，焦点 ，准线： .如图：过 向准线作垂线，垂足为 ，交 轴于 ，根据抛物线定义，得 ，所以第 3页/共 20页；过 向准线作垂线，垂足为 ，交 轴于 ，根据抛物线定义，得 ，所以.所以 ，所以 .故选：B7. 已知函数 ，若对任意 ，当 时， 的图象与 的图象有交点，则 的取值范围为（ ）A. （0，1） B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出分段函数的值域，根据对任意 ，当 时， 的图象与 的图象有交点，可得函数 的值域要覆盖所有的正实数，进而可得出答案.【详解】当 时， 为减函数，则 ，当 时， 为减函数，则 ，因为对任意 ，当 时， 图象与 的图象有交点，所以函数 值域要覆盖所有的正实数，所以 ，解得 ，所以 的取值范围为 .故选：C.第 4页/共 20页8. 若 ，则 为偶数的排列的个数为（ ）A. 144 B. 288 C. 432 D. 576【答案】C【解析】【分析】先得出全排列有 个排列，得出奇数有 个，即可间接法得出偶数的排列数.【详解】因为 ，所以共有 个排列，若 为奇数，则 ， ， 全部为奇数，有 个，故 为偶数的排列共有 个．故选：C．二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分、共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分、部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.9. 已知直四棱柱 中，四边形 为矩形， ， ， 为 的中点， 为 的中点， 为线段 上的动点（不含端点），则下列说法正确的是（ ）A. 平面 B.C. 三棱锥 的体积为定值 D.【答案】ACD【解析】【分析】根据已知及线面平行的判定判断 A；由空间向量加减、数乘的几何意义，用 表示出第 5页/共 20页判断 B；由面面、线面平行的判定及性质证明 平面 ，结合棱锥的体积公式判断 C；应用线面垂直的判定和性质定理证 判断 D.【详解】由题设 ， 且不含端点，则 平面 ，而 平面 ，则 平面 ，A 对；由 ，B 错；由 分别是 的中点，有 ，而 ，即 ，所以 为平行四边形，故 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，同理，由 也可得 平面 ，由 ，且 平面 ，则平面 平面 ，由 平面 ，则 平面 ，而 ，所以 到平面 恒定不变，又 为定值，则 恒定不变，由 ，故三棱锥 体积为定值，C 对；由题设 ，则 ，且 ，即 ，则 ，所以 ，而 平面 ， 平面 ，则 ，由 ，且 平面 ，则 平面 ，由 平面 ，则 ，D 对.第 6页/共 20页故选：ACD10. 将函数 的图象水平平移，得到函数 的图象，若 的导函数，则下列平移能满足题意的是（ ）A. 向左平移 个单位长度 B. 向左平移 个单位长度C. 向右平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度【答案】AC【解析】【 分 析 】 根 据 导 函 数 可 得 ， 由 三 角 恒 等 变 换 可 得 或，结合诱导公式及图象平移变换依次判断即可.【详解】因为 的导函数 ，所以 ，因为只有左右水平平移，故 ，所以 .因为 ，或 ，，对于 A，将函数 的图象向左平移 个单位长度，得 ，满足题意，故 A 正确；对于 B，将函数 的图象向左平移 个单位长度，得 ，不满足题意，故 B 错误；第 7页/共 20页对于 C，将函数 的图象向右平移 个单位长度，得 ，满足题意，故 C 正确；对于 D，将函数 的图象向右平移 个单位长度，得 ，不满足题意，故 D 错误.故选：AC11. 已知 ，圆 ，点 为圆 上一动点，以 为直径的圆 交 轴于 ， 两点，设 ， ， ，则（ ）A. 当点 在 轴上时， B. 的取值范围是C. D.【答案】ABD【解析】【分析】对于 A，先根据已知求出点 的坐标，然后再验算 即可；对于 B，得出点 在以坐标原点为圆心、 为半径的圆上运动，即可验算；对于 C，根据圆的向量表示式，结合韦达定理即可验证；对于 D，只需验证 是否成立即可.【详解】当 在 轴上时， ，则 ，则 ，故 A 正确；设 且 ，则 ，代入得 ，第 8页/共 20页可得 在以坐标原点 为圆心、 为半径的圆上运动，又圆 交 轴于 ，故 ，故 B 正确；以 为直径的圆 的方程可写为 ，令 ，可得 ，即 ，则 分别为方程的两根，由韦达定理得 ， ，故 C 错误；要证 ，即证 ，，，所以 ，即 ，故 D 正确．故选：ABD三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12. 如图，矩形 中， 是线段 的中点， 是线段 的中点，连接 ，若，则 _____.【答案】 ##【解析】【分析】利用向量的线性运算和中点公式的向量运算即可求解.【详解】由 是线段 的中点，可得 ，又由 是线段 的中点，可得 ，第 9页/共 20页所以，即 ，故答案为：13. 已知正实数 ， 满足 ，则 的最大值为_____.【答案】1【解析】【分析】根据对数的运算性质，先把 化成 的形式，再结合基本不等式，求 的最大值，最后利用对数函数的单调性可求 的最大值.【详解】因为 ，所以 ，当且仅当 即 ，时取等号.所以 .故答案为：114. 如图， 是正四面体 棱 上的两个三等分点，分别过 作同时平行于 的平面，将正四面体分成上中下三部分，其体积分别记为 ，则 _____．【答案】【解析】【分析】利用几何体的特征可知 ，利用割补法求出 即可得答案.【详解】由题意可知 ， ,第 10页/共 20页设正四面体的棱长为 6，则下部分可以看作一个直棱柱 两端截去两个体积相同的四棱锥和 ，如图，由题可知， , , ;由直棱柱的性质可知 ,所以 的高为 ，且为四棱锥 的高；,棱长为 6 的正四面体高为 ，其体积为 .所以 ，所以 .故答案为：四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 某家超市连续 5 天的广告支出 （万元）与销售额 （万元）的数据如下：第 天 1 2 3 4 5广告支出 2 4 5 6 8销售额 20 30 60 60 80（1）从这 5 天中随机抽取 3 天，记销售额不少于 60 万元的天数为 ，求 的分布列及均值；（2）已知 与 线性相关，求出 关于 的经验回归方程，并预测广告支出为 10 万元时的销售额．附：经验回归直线 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ，第 11页/共 20页【答案】（1）分布列见解析；期望为（2） ，102.5 万元【解析】【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求解分布列，进而可求解期望，（2）利用最小二乘法求解线性回归方程即可.【小问 1 详解】销售额不少于 60 万元的有 3 天， 的所有可能取值为 ， ， ，， ， ，所以 的分布列为：1 2 3所以 ；【小问 2 详解】， ，，，， ，所以经验回归方程为 ，当 时， ，答：所求方程为 ，预测销售额为 102.5 万元.16. 已知 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ，则（1）已知 ，求 ；第 12页/共 20页（2）若 ，过 作 的垂线，垂足为 ，且 ，求 ， ；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换公式得 ，再结合 为三角形内角，可求角.（2）利用三角形的面积公式和余弦定理列式，可求 .【小问 1 详解】因 ，所以 ，故 ，即 .所以 或 .又 为三角形内角，且 ，若 ，则 ，此时 ；若 ，则 .综上： .【小问 2 详解】如图：因为 ，第 13页/共 20页所以 .又由余弦定理： .所以 .17. 已知函数（1）求 的极小值；（2）若 的极大值为 ，证明： .【答案】（1）0 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）先对函数 求导，根据导数分析函数单调性，进而确定极小值；（2）先求出极大值 的表达式，再通过构造新函数，利用导数研究新函数单调性来证明 ．【小问 1 详解】已知 ， ，则 ，令 ， ，令 ，解得 ，当 时， 单调递减；当 时， 单调递增，在 处取得最小值 ．又 ，故存在 ，使得 ，又 ，当 时， 单调递增；当 时， 单调递减；第 14页/共 20页当 时， 单调递增．所以 在 处取得极小值 ．【小问 2 详解】由（1）知 在 处取得极大值 ，由 得 ，其中 ，所以 ，令 ，当 时， ，则 ，所以 在 上单调递增，所以 ，即 ．18. 人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（Isaac Newton，1643-1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解.具体步骤如下：设 是函数 的一个零点，任意选取 作为 的初始近似值，在点 处作曲线 的切线 ，设 与 轴交于点，并称 为 的 1 次近似值；在点 处作曲线 的切线 ，设 与 轴交于点 ，称 为 的 2 次近似值.一般地，在点 处作曲线 的切线 ，记 与轴交于点 ，并称 为 的 次近似值.（1）若函数 ，取 作为 的初始近似值，求 的 2 次近似值；第 15页/共 20页（2）若函数 ，取 作为 的初始近似值，点 ，数列 是由 ， ， ， ，构成的，记： ， .回答以下问题：（i）求数列 的通项公式，并将 的长度用 表示；（ii）求证： .【答案】（1）（2）（i） ； ；（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，利用导数求出曲线的切线方程，即可得 r 的 2 次近似值；（2）①先求出在点 处的切线斜率为 ，可得切线方程，从而得 ，即 可 求 得 的 表 达 式 ； 由 抛 物 线 的 定 义 可 得 ； ② 利 用进行放缩，结合等比数列的前 n 项和公式，可证命题.【小问 1 详解】由 得 ，则 ，又 ，得 ，故在 处的切线 的方程为： ，令 ，得到 ，所以 ，得到 ，所以 ，在 处的切线 的方程为： ，令 ，得到 ，故 r 的 2 次近似值为 ；【小问 2 详解】第 16页/共 20页（i）由 ，得 ，，则 ， ，得 ，同理：在点 处的切线斜率为 ，，将 代入得 ，所以 或 ，若 ，则 重合，与题设矛盾，故舍去，故 ，故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，得到 ，由抛物线的定义可得 ，故 ；（ii）由题意得 ，由（i）知 ，得 ，结合 时， ，可得 ，故 ，所以 ，将 代入，得第 17页/共 20页.19. 平面几何中有一定理如下：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高所在直线的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的 2 倍.已知 的垂心为 D，外心为 E，D 和 E 关于原点 O 对称，.（1）若 ，点 B 在第二象限，直线 轴，求点 B 的坐标；（2）若 A，D，E 三点共线，椭圆 T： 与 内切，证明：D，E 为椭圆 T 的两个焦点.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据垂心以及外心满足的等量关系即可根据 ， ，求解，（ 2） 根 据 共 线 以 及 可 得 ， 进 而 根 据 满 足 的 垂 直 关 系 可 得，联立直线与椭圆方程，得判别式，化简可得 即可求解.【小问 1 详解】因为 ，所以 .设 与 x 轴的交点为 ，由题意可得 ，即 ，解得 .设 ，因为 ，所以 ，则 ，解得 .所以 .第 18页/共 20页【小问 2 详解】证明：因为 D 和 E 关于原点 O 对称，且 A，D，E 三点共线，所以 A，D，E，O 四点共线，即点 A，D，E，O 都在 x 轴上.因为 是 的高，所以 ，即 轴.因为 的外心为 E，所以 ，所以点 B 与点 C 关于 x 轴对称.设 与 x 轴的交点为 ， ， ， ， ，由题意可得 ，即 ，化简得 .直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，所以 ，化简得 ①直线 的方程为 .椭圆 与 内切，所以 .联立得 .，即 .因为 ，所以 ，即 ，即 .结合①可得第 19页/共 20页设椭圆 T 的焦距为 ，则 ，所以 D，E 为椭圆 T 的两个焦点.【点睛】关键点点睛：根据 以及垂心和外心满足的几何关系，根据相切，通过判别式为 0 化简的 是本题的关键.