第七讲 半角模型 课件 2026年中考数学一轮复习

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(1)角含半角模型90°-1
条件:①正方形ABCD:②∠EAF=45°:结论:①EF=DF+BE:②△CEF的周长为正方形ABCD边长的1/2倍;③FA平分∠DFE,EA平分∠BEF.也可以这样:条件:①正方形ABCD: ②EF=DF+BE结论:∠EAF=45°
(2)角含半角模型90°-2
条件:①正方形ABCD:②∠EAF=45°: ③FA平分∠DFE.结论:EF=DF-BE
(3)角含半角模型90°
条件:①等腰Rt△ABC:②∠DAE=45°:结论:BD2+CE2=DE2:若∠DAE旋转到△ABC外部时，结论BD2+CE2=DE2仍然成立。
(4)角含半角模型90°变形
条件:①正方形ABCD:②∠EAF=45°:结论:①△AHE为等腰直角三角形:②A、B、E、H四点共圆:③G、E、F、H四点共圆.◎证明提示:①连接AC,先证△ADH∽△ACE，再证△AHE∽△ADC 即可.②证得∠AHE=∠ABE=90°即可:③证得∠AEH=∠AFG=45°即可.
二、角含半角模型120°
条件:如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=∠ABC+∠ADC =180°,∠EAF=½∠BAD，点E在直线BC上,点F在直线CD上结论:BE、DF、EF满足截长补短关系模型分析(1)半角模型的命名:存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点:(2)通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系:(3)常见的半角模型是90°含45°，120°含60°。
1、已知菱形 ABCD 中，∠A=60°，点E为边AD上一个动点(不与点A，D重合)，点F在边DC上，且AE=DF，将线段DF绕着点D逆时针旋转120°得线段DG，连接GF，BF，EF.(1)依题意补全图形;(2)求证:△BEF为等边三角形;(3)用等式表示线段BG，GF，CF的数量关系，并证明.
（2）证明：∵菱形ABCD中∠A=60º∴△ABD是等边三角形∴AB=BD∠A=∠BDC=60ºAE=DE
∴△ABE≌△DBF∴BE=BF∠ABE=∠DBF∵∠ABE+∠EBD=60º∴∠DBF+∠EBD=60º∴∠EBF=60º∴△BEF是等边三角形
（3）证明：∵∠GDF=120º ∠BDF=60º∴BDG在一条直线上 过D做DH⊥GF于H∵DF=DG∴GH=FH
∠GDH=∠FDH=60º sin60º=GH/DG∴√3DG=2GH∴DG=√3/3GFBD=CD=DF+CF=DG+CFBD=DG+DG+CF=2DG+CFBD=2√3/3GF+CF
2、如图，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=4，DC=6，求AD 的长.小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路，探究并解答下列问题:(1)分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD 的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长 EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF 是正方形;(2)设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.
（1）证明： 分别以AB、AC为对称轴，做D点的对称点E、F，连接AE、AF，延长EB、FC交于G。 由对称性质可知：∠BAE=∠BAD ∠CAF=∠CAD
∵∠BAC=45º∴∠EAF=90º∠AEB=∠ADB=90º∠AFC=∠ADC=90º∴AEGF是矩形又AE=AF=AD∴AEGF是正方形
（2）解： 设AD=x∵BD=4 CD=6∴BE=4 CF=6∵正方形AEGF∴EG=FG=AD=x∴BG=x-4
∴CG=x-6∵∠BGC=90º∴BG2 +CG2 =BC2 (x-4)2 +(x-6)2 =102 解得x=-2（舍去） x=12
3、如图，正方形ABCD的边长为4，点E,F分别在边AB，AD上，∠ECF=45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF.，GH.(1)填空:∠AHC____∠ACG;(填“>”或“