2024-2025学年北京市通州区潞河中学九年级下学期开学考试数学试题

这是一份2024-2025学年北京市通州区潞河中学九年级下学期开学考试数学试题，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．北京大运河博物馆在2024年举办了“探秘古蜀文明——三星堆与金沙”展览，为公众揭开了一个丰富多彩的古蜀世界，其中三星堆纹饰展现了古蜀文明高超的艺术创造力．下列纹饰图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．DeepSeek（深度求索）是一家专注实现的中国科技公司，成立于2023年，总部位于杭州．核心领域覆盖大模型底层技术研发与多行业应用，官方公布其全球用户数量已达到3.2亿．若用科学记数法表示这一数量，以下哪一项是正确的?（ ）
A．B．C．D．
3．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．9
6．下列多边形中，内角和最大的是（ ）
A．B．C．D．
7．勾股容圆记载于《九章算术》，是关于直角三角形的三边与其内切圆的直径的数量关系的研究．刘徽用出入相补原理证明了勾股容圆公式，其方法是将4个如图1所示的全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）沿其内内切圆心与顶点、切点的连线裁开，拼成如图2所示的矩形（无缝隙、不重叠），再根据面积的关系可求出直角三角形的内切圆的直径d（用含a，b，c的式子表示）为（ ）
A．B．C．D．
8．二次函数的自变量x与函数y的部分对应值如下表：
给出下面三个结论：
①；②；③关于x的方程的两个根分别为，．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、填空题
9．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
10．因式分解： ．
11．方程的解为 .
12．如图，直线，分别交，于点E，F．若，，则的值为 ．
13．如图，为的直径，内接于．若，则 ．
14．点，是反比例函数图象上的两点，那么，的大小关系是 ．
15．某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：
50.03 49.98 50.00 49.99 50.02
49.99 50.01 49.97 50.00 50.02
当一个工件的质量（单位：g）满足时，评定该工件为一等品.根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是 .
16．如图，在中，，，，的半径为1，P为线段上一点，过点P作的切线，切点为C，连接交于点D，连接．
（1）当点P与点A重合时，的值为 ；
（2）当弦CD的长最小时，的值为 ．
三、解答题
17．计算：．
18．解不等式组：
19．已知，求代数式的值．
20．如图，在中，交于点，点在上，．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若求证：四边形是菱形．
21．造纸术、印刷术、指南针和火药是中图古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响．某校科技节活动中，计划在如图所示的长，宽的展板上展出介绍四大发明的海报，每辐海报面积均为．若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为的彩色纸带，求彩色纸带的宽度．
22．在平面直角坐标xOy中，函数 的图象经过点和， 与过点且平行于x轴的直线交于点 C．
(1)求该函数的解析式及点 C的坐标；
(2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于函数 的值且小于5，直接写出n的取值范围．
23．某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.
(1)初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
.教师评委打分：

.学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）：
.评委打分的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组；
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）；
(2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________.
24．如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．

(1)求证平分，并求的大小；
(2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长．
25．鸡蛋是优质蛋白质的来源，富含多种对人体有益的营养成份，某校科学小组连续28天监测了恒温下A品类和B品类鸡蛋品质变化的情况，其中一项监测指标为蛋黄指数（蛋黄指数是反映蛋黄弹性大小和鸡蛋新鲜程度的指标，蛋黄指数越高，蛋黄弹性越大，鸡蛋越新鲜）．当储存时间为x（单位：天）时，A品类鸡蛋的蛋黄指数记为．B品类鸡蛋的蛋黄指数记为，部分数据如下：
通过分析表格中的数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系，如图所示，在给出的平面直角坐标系中．画出了函数，的图象．
根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
(1)第 天（结果保留整数）之后，B品类鸡蛋的蛋黄指数大于A品类鸡蛋的蛋黄指数；
(2)当蛋黄指数小于或等于0.18时，蛋黄基本失去弹性，A品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性；B品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性；
(3)当储存时间相同时，若记B品类鸡蛋的蛋黄指数与A品类鸡蛋的蛋黄指数的差为n，则n的最大值约为 （结果保留小数点后两位）．
26．在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点．
(1)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
(2)对于，，都有，求m的取值范围．
27．在中，于点，．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
(1)如图1，当时，补全图形，并求的长；
(2)如图2，取的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系中，的半径为．对于的弦和点，给出如下定义：若在上或其内部存在一点使得四边形是菱形且是该菱形的对角线，则称点是弦的“伴随点”．
(1)如图，点．
①在点中，弦的“伴随点”是点 ；
②若点是弦的“伴随点”且，则长为 ；
(2)已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的伴随点．记点的横坐标为，当时，直接写出的取值范围．
x
…
1
2
…
y
…
c
0
m
…
平均数
中位数
众数
教师评委
学生评委
评委1
评委2
评委3
评委4
评委5
甲
乙
丙
x/天
0
7
14
21
28
0.45
0.35
0.26
0.18
0.13
0.45
0.33
0.28
0.26
0.15
《北京市潞河中学2024~2025学年九年级下学期开学考试数学试题》参考答案
1．B
【分析】本题考查中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
2．C
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可．
【详解】解：3.2亿．
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了是实数与数轴，绝对值的意义，实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键．
由数轴可得，，根据绝对值的意义，实数的加法和乘法法则分别对选项进行判断即可．
【详解】解：A、由数轴可知，故本选项不符合题意；
B、由数轴可知，由绝对值的意义知，故本选项不符合题意；
C、由数轴可知，而，则，故，故本选项符合题意；
D、由数轴可知，而，因此，故本选项不符合题意．
故选：C．
4．C
【分析】先根据题意画出树状图，再利用概率公式计算即可．
【详解】解：画树状图如下：
所以共4种情况：其中满足题意的有两种，
所以两次记录的数字之和为3的概率是
故选C．
【点睛】本题考查的是画树状图求解概率，掌握画树状图求概率是解题的关键．
5．C
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴．
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
6．D
【分析】根据多边形内角和公式可直接进行排除选项．
【详解】解：A、是一个三角形，其内角和为180°；
B、是一个四边形，其内角和为360°；
C、是一个五边形，其内角和为540°；
D、是一个六边形，其内角和为720°；
∴内角和最大的是六边形；
故选D．
【点睛】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．
7．A
【分析】本题考查了三角形内切圆半径求法，根据矩形面积不同的表示表示方法得出等式即可求解．
【详解】解：设由图可知：如图1所示的直角三角形面积为，
图2所示的矩形面积为：，而图2所示的矩形面积为如图1所示的面积的4倍
∴，
∴
故选：A．
8．C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的开口方向，对称轴，与x轴的交点，与y轴的交点，逐一判断各结论，即可得到结果．
【详解】解：，
∵，
∴二次函数图象与y轴正半轴相交，
∵当时，；当时，，
∴二次函数的对称轴为，
∵二次函数图象过点，
∴函数的大致图象为：
∴二次函数图象开口向下，
∴，
故结论①错误，不符合题意；
∵二次函数图象过点，开口向下，
∴当时，，
∴，
故结论②正确，符合题意；
∵二次函数的对称轴为，函数图象过点，
∴二次函数过x轴的另一个交点为，
∴的两个根分别为，
故结论③正确，符合题意，
∴正确的结论为②③，
故选：C．
9．
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【详解】∵代数式有意义，分母不能为0，可得，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式分母不为0是解题的关键．
10．
【分析】先提公因式y，然后再利用平方差公式进行分解即可.
【详解】
=
=，
故答案为.
【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11．
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键．
先去分母，转化为解一元一次方程，注意要检验是否有增根．
【详解】解：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
所以，原方程的解为，
故答案为：．
12．/
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．
根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例解答即可．
【详解】解：∵，
，
故答案为： ．
13．50
【分析】此题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点．
连接，首先根据同弧所对的圆周角相等得到，然后由直径得到，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】如图所示，连接
∵
∴
∵为的直径
∴
∴．
故答案为：50．
14．
【分析】此题考查了反比例函数值的大小，根据反比例函数的增减性求解即可．
【详解】解：∵反比例函数中，，
∴图象在二、四象限，每个象限内y随x的增大而增大，
∵点与点都在反比例函数的图象上，且，
∴．
故答案为：．
15．160
【分析】本题考查了用样本估计总体，熟练掌握知识点是解题的关键．
先计算出10个工件中为一等品的频率，再乘以总数200即可求解．
【详解】解：10个工件中为一等品的有49.98，50.00，49.99，50.02，49.99，50.01，50.00，50.02这8个，
∴这200个工件中一等品的个数为个，
故答案为：160．
16． /0.25
【分析】本题考查了切线的性质、三角函数的定义、勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
（1）连接，根据切线的性质可得，当点P与点A重合时，，根据三角函数的定义即可求出的值；
（2）连接，根据切线的性质可得，根据三角函数的定义和勾股定理分析可得当弦CD的长最小时，最小；由垂线段最短性质得，当时，有最小值，求出此时的长，即可求出的值．
【详解】解：（1）连接，
过点P作的切线，切点为C，
，
，
当点P与点A重合时，，
．
故答案为：．
（2）连接，
，，，
，
过点P作的切线，切点为C，
，
，
当弦CD的长最小时，圆心角也最小，
，
当最小时，最小，即最小，
又在中，，
当最小时，最小，
当弦CD的长最小时，最小，
由垂线段最短性质得，当时，有最小值，
此时，
，
当弦CD的长最小时，的值为．
故答案为：．
17．
【分析】根据特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算可直接进行求解．
【详解】解：原式=．
【点睛】本题主要考查特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算，熟练掌握特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算是解题的关键．
18．
【分析】分别解两个一元一次不等式，再求交集即可．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
故所给不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，属于基础题，正确计算是解题的关键．
19．1
【分析】本题主要考查分式的化简求值，将条件变形为，再把要求代数式化简整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴．
∴
．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先根据四边形ABCD为平行四边形，得出，，再根据，得出，即可证明结论；
（2）先证明，得出，证明四边形ABCD为菱形，得出，即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形．
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴四边形ABCD为菱形，
∴，
即，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握菱形和平行四边形的判定方法，是解题的关键．
21．
【分析】本题考查了根据矩形的面积公式的列一元二次方程解决实际问题的运用及一元二次方程解法的运用．解答时检验根是否符合题意是容易被忽略的地方．
设彩色纸带的宽为，根据题目条件由面积公式列出方程，求出其解就可以．
【详解】解：设彩色纸带的宽为，
根据题意，得，
解方程，得，（不合题意，舍去)．
答：彩色纸带的宽为．
22．(1)，
(2)
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，
（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C的横坐标即可；
（2）当时，，当时，，根据题意可得，问题随之得解．
【详解】（1）解：把点，代入得：，
解得：，
∴该函数的解析式为，
由题意知：点C的纵坐标为4，
当时，
解得：，
∴；
（2）解：由（1）知：当时，，
当时，，
∵当时，函数的值大于函数的值且小于5，
∴，
解得：．
23．(1)①，；②
(2)甲，
【分析】本题考查条形统计图，平均数、众数、中位数、方差等知识，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．
（1）根据众数、中位数和算术平均数的定义解答即可；
（2）根据方差的定义和意义求解即可；
（3）根据题意得出，进而分别求得方差与平均数，分类讨论，求解即可．
【详解】（1）①从教师评委打分的情况看，分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为，
所以，
共有45名学生评委给每位选手打分，
所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组，
故答案为：，；
②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：，，，，，，，，
，
故答案为：；
（2），
，
，
，
丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
依题意，当，则
解得：
当时，
此时
∵，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意，
当时，
此时
∵，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲
故答案为：甲，．
24．(1)见解析，
(2)
【分析】（1）根据已知得出，则，即可证明平分，进而根据平分，得出，推出，得出是直径，进而可得；
（2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴，
∴，即平分．
∵平分，
∴，
∴，
∴，即，
∴是直径，
∴；
（2）解：∵，，
∴，则．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴是等边三角形，则．
∵平分，
∴．
∵是直径，
∴，则．
∵四边形是圆内接四边形，
∴，则，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是直径，
∴此圆半径的长为．
【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键．
25．(1)11
(2)21，27
(3)
【分析】本题主要考查了函数的图象等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据表格数据和函数图象观察即可得解．
（2）根据表格数据和函数图象观察即可得解．
（3）根据表格数据和函数图象观察即可得解．
【详解】（1）解：由图可知当第11天之后，，
（2）由图可知，蛋黄指数小于或等于0.18时，蛋黄基本失去弹性，A品类鸡蛋从第 21天（结果保留整数）起基本失去弹性；B品类鸡蛋从第27天（结果保留整数）起基本失去弹性；
（3）由图可知，当储存时间相同时，若记B品类鸡蛋的蛋黄指数与A品类鸡蛋的蛋黄指数的差为n，大约当第21天时，n的最大值约为，
26．(1)直线
(2)
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的特征等，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，
（1）把函数解析式化成顶点式，即可求解；
（2）求出点关于对称轴对称点为，然后分，，，讨论，根据抛物线开口向上及求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解∶∵抛物线对称轴为直线，
∴点关于对称轴对称点为，
当时，则，
∵，
∴
∵抛物线开口向上，当时，y随x增大而增大，
∴，
这与相矛盾，故不符合题意，舍去；
当时，，
∵，
∴，
∵抛物线开口向上，当时，y随x增大而增大，
∴ ，
与相矛盾，故不符合题意，舍去；
当时，则，
∵抛物线开口向上，当时，y随x增大而增大，
∴，
∴，
当时，
∵抛物线开口向上，当时，y随x增大而增大，
∴
∴，
∴，
综上，
27．(1)
(2)，证明见详解
【分析】（1）先作出图形，取的中点，连接、、，由可判定，由全等三角形的性质得，，由勾股定理即可求解；
（2）取的中点，连接、，延长至，使，连接，延长交于，由等腰三角形的判定及性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，，等量代换得，由可判定，由全等三角形的性质即可得证．
【详解】（1）解：如图所示，
取的中点，连接、、，
，，
，
，
，
，
，
，
，，，，
，
由旋转得：，，
，
，
，
在和中
，
（），
，，
，
，
，
；
（2）解：；
理由如下：
取的中点，连接、，延长至，使，连接，
延长交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（1）同理可证：，
，
，
是的中点，
，
在和中
，
（），
，，
，，
在和中
，
（），
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质等；掌握旋转的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，能根据题意作出恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键．
28．(1)①；②
(2)且
【分析】（1）①根据新定义，弦的“伴随点”在的垂直平分线上（除的中点外），且在上或其内部存在一点，且，结合坐标系，即可求解；
②根据圆周角定理，圆内接四边形对角互补得出，根据新定义得出点在外，且只有1个，进而解直角三角形，即可求解；
（2）分析新定义，结合（1）②可得弦的“伴随点”是线段除点外上的点，而，根据新定义得出点的轨迹为线段（除点）上任意一点，当旋转时，构成的图形如图所示，是两个同心圆构成的圆环（实线部分）除开半径为的圆（虚线部分）；根据对称性分别求得，进而根据且，得出的范围，根据与轴的夹角为，即可求解．
【详解】（1）解：①∵，点关于对称的点分别为
只有在的垂直平分线上（除的中点外），且在内部存在一点，
故答案为：．
②如图所示，设为的中点，,为的垂直平分线与的交点，
∵
∴，则是等腰直角三角形，
∴的垂直平分线为一三象限的平分线上即，点在一三象限的平分线上
∵，
∴
如图所示，则分别为关于的对称点，弦的“伴随点”是线段除点外上的点，
又∵点是弦的“伴随点”且
∴点在外，且只有1个，
∵
∴，
∵
∴
∴，
故答案为：．
（2）解：由（1）②可得，弦的“伴随点”是线段除点外上的点，而，
∵在上，且，
设，则
∴，即，
同理，则
∵，则，则
∴，，，
当是直线上一点，且存在的弦，点是弦的伴随点．
∴点的轨迹为线段（除点）上任意一点，当旋转时，构成的图形如图所示，是两个同心圆构成的圆环（实线部分）除开半径为的圆（虚线部分）
∴且
即且
又∵与轴的夹角为
∴的横坐标为
∴且．
【点睛】本题考查了几何新定义，圆周角定理，菱形的性质，点与圆的位置关系，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识正确的分析新定义是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
B
C
C
C
C
D
A
C