2026山西大学附中高三上学期10月模块诊断试题数学含解析

山西大学附中 2025～2026学年第一学期高三10月模块诊断（总第四次） 数 学 试 题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：鲍淑芳 一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知确定集合中元素，然后由交集定义计算． 【详解】由题意，又， ∴， 故选：C． 2. 已知命题，使得，则为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 【答案】B 【解析】 【分析】根据命题的否定的定义求解. 【详解】根据命题的否定的定义， 因为命题，使得， 所以为，使得， 故选:B. 3. 在复平面内，复数，则对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义可得，再结合复数的几何意义即可求解. 【详解】因为，所以，即对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 4. 将六位数“”重新排列后得到不同的六位偶数的个数为 （ ） A. B. C. 216 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，分末尾是或，末尾是，即可得出结果. 【详解】由题意， 末尾是或， 不同偶数个数为， 末尾是， 不同偶数个数为， 所以共有个. 故选：D 5. 在等比数列中，，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，由条件可得，，由此可判断，再判断的符号，结合等比数列性质可得结论. 【详解】设等比数列公比为，， 因为，是方程的两个实数根， 所以，且，所以，， 又数列为等比数列，所以，由等比数列性质可得， 所以. 故选：D. 6. 已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据半径求底面周长，由弧长公式可得母线长，然后可得侧面积. 【详解】因为底面半径，所以底面周长， 又圆锥母线长，所以圆锥侧面积． 故选：A． 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且，的面积为．若为钝角，则的焦距为（ ） A. B. C. 7 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线定义结合条件得，根据的面积解得，结合为钝角，得出，根据余弦定理解得，进而得到焦距. 【详解】根据双曲线定义，， 又因为，可得， 因为的面积为， 所以， 解得 因为为钝角，所以， 由 根据余弦定理得， 即有，解得 因此双曲线的焦距为. 故选：B. 8. 已知函数，对任意，恒有，且在上单调递增，则下列选项中不正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 函数图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数，函数的对称轴方程为， D. 在上的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】由题意先求，再逐项验证即可. 【详解】因为对任意，恒有，所以为的一条对称轴， 所以， 又在上单调递增，所以， 所以当时，，故A正确；所以， 由为奇函数，故B正确； 由函数图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数， 令，解得，，故C正确； 由，所以，当，即时，故D错误； 故选：D. 二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列关于概率统计说法中正确的是（ ） A. 两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱 B. 设随机变量，若，则 C. 在回归分析中，为0.89的模型比为0.98的模型拟合得更好 D. 某人解答10个问题，答对题数为，则 【答案】BD 【解析】 【分析】A项，通过相关系数的定义即可得出结论；B项，通过求出即可求出的值；C项，通过比较相关指数即可得出哪个模型拟合更好；D项，通过计算即可求出. 【详解】由题意， A项， 两个变量的相关系数为，越小, 与 之间的相关性越弱, 故A 错误, 对于 B, 随机变量 服从正态分布 , 由正态分布概念知若 , 则 , 故 B 正确, 对于 , 在回归分析中, 越接近于 1 , 模型的拟合效果越好, ∴ 为 0.98 模型比 为 0.89 的模型拟合的更好 故 C 错误, 对于 , 某人在 10 次答题中, 答对题数为 , 则数学期望 , 故 D 正确. 故选：BD. 10. 设函数，则（   ） A. 当时，在处取极大值 B. 当时，方程有个实根 C. 当时，是的极大值点 D. 存在实数，恒成立 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数判断函数单调性可判断A选项；利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断B选项；当时，利用导数分析函数的单调性，可判断CD选项. 【详解】当时，，则， 令，可得或，列表如下： 所以，函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 所以，，故A正确； 又因为，如下图所示： 由图可知，直线与函数的图象有三个交点， 即时，方程有个实根，故B正确； 对于C选项，， 当时，，此时函数在上单调递增，故C错误； 当时，函数在上单调递增，此时恒成立，故D正确． 故选：ABD 11. 已知的内角，，所对的边分别为，，，边上的高为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合正弦定理边化角及和差角的正弦、二倍角公式逐项分析判断. 【详解】对于A，，由，得，由正弦定理得 ，而，因此，A正确； 对于B，由及正弦定理得， 即，则 ，即，又， 因此，又，则，，B正确； 对于C，若，则，由正弦定理得，由选项B知， ，而 解得，即，矛盾，C错误； 对于D，由选项A知，，而， 则，整理得， 而，因此，又，则， ，D正确. 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】由向量的坐标运算及模长公式即可求解. 【详解】由题意可得：， 所以. 故答案为：5. 13. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式结合二倍角公式即可求解. 【详解】由题意可得， . 故答案为： 14. 已知数列中，，且，若存在正整数，使得成立，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】构造数列先计算，分奇偶讨论结合指数函数的单调性计算即可. 【详解】由，令， 若为奇数，则， 若为偶数，则， 即奇数项与偶数项分别成以为公差的等差数列， 易知， 所以，则， 若为奇数，则 有解，即， 由指数函数的单调性可知； 若为偶数，则 有解，即， 由指数函数的单调性可知； 综上满足题意. 故答案为： 【点睛】易错点睛：首先构造等差数列需要分奇偶项进行讨论，务必注意符号，其次结合指数函数的单调性解不等式有解问题时，注意取值范围的大小，保证有解即可. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知等差数列的前项和为，公差为整数，，且，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用等比数列和等差数列的定义求解即可； (2)利用裂项相消求和. 【小问1详解】 因为，所以， 又因为，，成等比数列，所以， 即，所以， 联立解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以 . 16. 如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，，分别是底面，圆周上的一点，，，且点不与，两点重合. （1）证明：平面平面； （2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的角为直角得到⊥，由线面垂直得到⊥，从而得到线面垂直，面面垂直； （2）先得到为二面角的平面角，为等边三角形，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由线面角的向量公式求出直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 因为是底面圆上的一条直径， 所以⊥， 因为⊥底面圆，， 所以⊥底面圆， 因为底面圆，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以平面⊥平面； 【小问2详解】 因为⊥底面圆，圆， 所以⊥，⊥， 所以为二面角的平面角， 故，又，所以等边三角形， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，设，故，， ， ，， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，得，故， 设直线与平面所成角的大小为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上， 的周长为6，椭圆的离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由． 【答案】（1）； （2）为定值，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，再解方程组即可得到答案. （2）首先直线的方程为，与椭圆联立得到，，根据得，同理得，再计算即可. 【小问1详解】 由题意，可得，又， 所以椭圆C的方程为； 【小问2详解】 由题，得直线斜率存在，由（1）知，设直线的方程为， 则联立，消去，整理得，， 设，则，， 又，则， 由得，所以，同理得， 所以 所以为定值. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的极小值小于，求m的取值范围； （3）讨论的零点个数． 【答案】（1）； （2）； （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数几何意义求得切线斜率，由点斜式即可得到切线方程； （2）函数求导后，根据参数的取值分类讨论，得时极小值，构造函数，求导得，即可求不等式的解集； （3）由，令，对其求导，令，求导判断在区间上单调递增，结合零点存在定理，得使，求出的最小值为，由可得，，故的最小值，讨论，即可得函数的零点个数. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，， 则曲线在点处的切线方程为， 整理得：. 【小问2详解】 函数的定义域为，且， 当时，易得，在上单调递减，则无极小值，不符合； 当时， 由，得，即在上单调递增； 由，得，即在上单调递减， 所以的极小值为，而的极小值小于， 所以，即， 令，则， 所以当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以可得 【小问3详解】 ． 令，得， 令，则与有相同的零点， 且． 令，则， 因为，则，所以在区间上单调递增， 又，，所以，使得， 当时，，即；当时，，即， 所以在单调递减，在单调递增，最小值为． 由，得，即， 令，，则，则在单调递增， 因为，所以，则， 所以，从而，， 所以的最小值， 又当趋近于0时，趋近于，当趋近于时，趋近于， ①若，即，无零点，故无零点； ②若，即，有1个零点，故有1个零点； ③若，即，有2个零点，故有2个零点. 19. 一只猫和一只老鼠在两个房间内游走.每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动. 猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5，已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第n分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，. （1）求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率； （2）求证：，均为等比数列； （3）在第几分钟时，老鼠在0号房间的概率最大？ 【答案】（1）0.5； （2）证明见解析； （3）第2分钟. 【解析】 【分析】（1）求出猫和老鼠分别在0与0、0与1、1与0、1与1号房间的概率，再利用全概率公式计算得解. （2）根据给定条件，求出、的递推关系，再利用等比数列的定义推理得证. （3）由（2）的通项公式，按取奇数和偶数分类求出最大值. 【小问1详解】 在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间， 设为第1分钟时，猫在号房间，老鼠在号房间， 则，， 设第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为，则， 所以第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率0.5. 【小问2详解】 依题意，，， 当时，猫在第分钟时位于0号房间包含两种情况： 上一分钟在0号房间，继续保持在0号房间的概率为； 上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为， 由全概率公式，得，则， 而，因此数列是首项为，公比为的等比数列， ，满足上式也满足题意，则， 老鼠第分钟在0号房间包含3种情况： 上一分钟猫和老鼠都在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为， 上一分钟猫在0号房间，老鼠在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为， 上一分钟猫在1号房间，老鼠在0号房间，老鼠仍在0号房间的概率为， 由全概率公式，得， 即，则， 即，而， 因此数列是首为，公比为的等比数列， ，而满足上式也满足题意，则， 又， 所以为等比数列. 【小问3详解】 由（2）知，显然不是其最大值，设， 当奇数时，，当且仅当时取等号，最大值为0； 当为偶数且时，，当时，，最大值为， 则的最大值为，所以在第2分钟时，老鼠在0号房间的概率最大. 增极大值减极小值增