重庆市九龙坡区2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷（学生版）

这是一份重庆市九龙坡区2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷（学生版），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的．
1. 下列方程为一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 二次函数图象的对称轴方程为（ ）
A. 2B.
C. D.
3. 方程的根是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
4. 将抛物线的图象通过平移得到的图象，正确的做法是（ ）
A. 左移2个单位，再下移6个单位B. 左移2个单位，再上移6个单位
C. 右移2个单位，再下移6个单位D. 右移2个单位，再上移6个单位
5. 已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A 或B.
C. D. 或
6. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，二次函数的图象经过点，对称轴是直线，下列结论：，，，中，其中正确结论的个数是（ ）
A B. C. D.
8. 进入秋冬季以来，全国流感呈现多点爆发，感染人数急速增长的新趋势，若1人患病，经过两轮感染后患病人数竟高达324人，则每轮感染中，1个人会平均感染多少人？若设每轮感染中，1个人会平均感染x个人，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，在正方形中，点P在对角线上，分别为垂足，连接，若，则（ ）.
A. B. C. D. 5
10. 已知整式，，其中为自然数，为正整数，且满足：，记，．则下列说法：①当时，若，则；②当时，满足条件的整式共有10个；③不存在任何一个，使得；其中正确的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）．
11. 已知关于x的方程x2＋3x＋k＝0的一个根是－1，则k的值是_____．
12. 如果的图像是抛物线，那么_________．
13. 若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______．
14. 公园要建造一个如图1的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子，高度为米，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，设计成水流在与水平距离为1米时，达到距水面最大高度米，（不计其他因素）水池的半径至少__________米，才能使喷出的水流不致落到池外．
15. 如图，在矩形中，E为边四等分点，，连接，将矩形沿BE折叠，点C落在点处，点D落在点处，与交于点F，连接． 若，则_____，点F到的距离为_____．
16. 如果一个四位正整数的各数位上的数字互不相同且均不为0，且满足十位数字比千位数字大6，个位数字比百位数字大4，那么称这个四位数为“清活数”．记“清活数”M的千位数字和个位数字之积与百位数字和十位数字之积的和为．例如：四位数1276，∵，，∴1276是“清活数”，；四位数3295，∵，但，∴3295不是“清活数”．若为“清活数”，则______．若N为“清活数”，且能被12整除，则满足条件的N的最大值与最小值的平均数为_______．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）．
17. 解方程：
（1）；
（2）．
18. 某数学兴趣小组同学发现，任意一个（三边均不相等），以一边的端点B为顶点在三角形外作角，使其等于这条边另一端点C为顶点的三角形的内角，射线与这条边上的中线的延长线相交于一点E，则以A、B、C、E四个点为顶点的四边形是平行四边形．如图，在中，点D为边上的中点，连接．
（1）尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，连接，求证：四边形是平行四边形．（请补全下面的证明过程）
证明：∵点D为边上的中点，
∴ __________，
在和中，
∴______，
∴_______，
∵
∴__________．
∴四边形是平行四边形．
小组进一步研究发现，作了上述的相等角之后，当三角形有两边相等时，必然会形成一个特殊的四边形，请根据这个发现完成以下命题：
以等腰三角形底边的一个端点为顶点向外作角，使其等于底角，且与底边上中线的延长线相交于一点，则以该点和三角形的三个顶点为顶点的特殊四边形 ________．
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）．
19. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：
抽取对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89；
抽取对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中________，_________，________；
（2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 某村在“农产品网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底以每袋25元的价格收购了一批农产品，已知七月份销售该农产品256袋，八月，九月该农产品的销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋．
（1）求这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率；
（2）该网店决定十月降价促销，经市场调查发现，当这批农产品的售价为每袋40元时，平均每月的销售量为400袋，若该农产品每袋每降价1元，平均每月的销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？
22. 如图1，在四边形中，，，，，．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿折线方向匀速运动，到达点C时停止运动，点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿方向匀速运动，到达点B时停止运动．两点同时出发，设点P运动时间为x秒，的面积为y．

（1）请直接写出y与x之间的函数关系式及对应的x的取值范围；
（2）在如图2所示的平面点角坐标系中画出y的图象，并写出函数y的一条性质；
（3）结合你所画的函数图象，当时，请直接写出x的取值范围_______．
23. 如图，小明家在A地，小亮家在B地，图书馆在C地，在A处测得图书馆C在A的西北方向上，在B处测得图书馆C在B的北偏东方向上，已知米．（参考数据：
（1）求小明家到小亮家的距离；（结果保留根号）
（2）如图M、N分别是中点．某天小明和小亮相约分别同时从自己家出发到图书馆看书，小明沿着方向慢跑前进．由于道路有堵塞，小亮沿着方向慢跑前进．已知小亮的跑步速度是每分钟280米，小明的跑步速度是小亮跑步速度的，两人全程均匀速跑步前进，试通过计算判断小明和小亮谁先到达图书馆？（结果保留小数点后两位）
24. 已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，其中．
（1）求a，b的值；
（2）如图1，连接，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点K，过点K作轴，垂足为点E，求的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，点P在抛物线上，且满足在（2）中求出的点P的坐标，连接，将该抛物线向右平移，使得新抛物线恰好经过原点，点C的对应点是F，点M是新抛物线上一点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
25. 在中，的角平分线交于点D，点E在延长线上．
（1）如图1，若，交延长线于点F，延长交于点G，求证：；
（2）如图2，连接，过点A作，交延长线于点，于点N，若，，求证：
（3）如图3，在（2）的条件下，当时，连接，交于点K，点P，Q分别是，边上的动点，且，连接，，当取最小值时，请直接写出的值．抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表
设备
平均数
中位数
众数
“非常满意”所占百分比
A
88
b
96
B
88
87
c