2024-2025学年深圳市宝安区新安中学九年级上学期期中数学试卷及答案

这是一份2024-2025学年深圳市宝安区新安中学九年级上学期期中数学试卷及答案，共28页。
A．x1＝﹣1，x2＝﹣7B．x1＝1，x2＝﹣7
C．x1＝x2＝﹣1D．x1＝﹣1，x2＝7
2．（3分）已知，则下列结论一定正确的是（ ）
A．x＝2，y＝3B．2x＝3yC．D．
3．（3分）如图，已知△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为3：5，下列说法错误的是（ ）
A．AC∥A'C'
B．S△A'B′C′：S△ABC＝9：25
C．△BCO～△B'C'O
D．OB′：BB′＝5：3
4．（3分）如图，点D、E分别是△ABC上AB、AC边上的中点，△ADE为阴影部分．现有一小孩向其投一小石子且已投中，则石子落在阴影部分的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）下列命题中正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．邻边相等的平行四边形是正方形
C．矩形的对角线相等且互相垂直
D．正方形的面积等于对角线平方的一半
6．（3分）空地上有一段长为20米的旧墙MN，一边利用旧墙，其他三边利用木栏围成一个矩形菜园如图所示，已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为198．设垂直于旧墙的一边长为x米，下列正确的是（ ）
A．由题意，得﹣x2+40x＝198
B．x的取值范围为x＜20
C．只有一种围法
D．只有两种围法
7．（3分）一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时AB∥CD），相关数据如图（单位：cm）．从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
8．（3分）如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于点H，若3，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二.填空题（共5小题，每题3分，共15分）
9．（3分）一个袋子里有n个除颜色外完全相同的小球，其中有8个黄球，每次摸球前先将袋子里的球摇匀，任意摸出一球记下颜色后放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是 ．
10．（3分）已知，则的值为 ．
11．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，，则 ．
12．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，，DE＝3，则四边形OCED的面积为 ．
13．（3分）在矩形ABCD中，BC＝2AB，E是CD上一点，连接BE，将矩形ABCD沿BE折叠，使点C的对应点C′落在矩形ABCD内部，连接CC′并延长，交AD边于点F，BC′的延长线交AD于点G，若，，则CE的长为 ．
三.解答题（共7题，其中第14题8分，第15题9分，第16题6分，第17题8分，第18题8分，第19题10分，第20题12分.共61分.）
14．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1）x（x﹣5）＝3x﹣15；
（2）2y2﹣9y+5＝0．
15．（9分）每年的11月9日是“119消防宣传日”．本月3号，嘉祥某校区采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，并按成绩高低分成优、良、中、差四个等级进行统计，绘制了两幅尚不完整的统计图，请根据有关信息解答：
（1）接受测评的学生共有 人，扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为 ；并补全条形统计图；
（2）若校区共有学生3200人，请估计该校区学生对消防安全知识达到“良”及“良”级以上程度的人数；
（3）测评成绩前三名的学生恰好是1个女生和2个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加区级消防安全知识竞赛，求出抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率．
16．（6分）已知，△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（4，﹣1），（3，2）．△A1B1C1与△ABC是以点P为位似中心的位似图形．
（1）请写出点P的坐标是 ；
（2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形．△A2B2C2，使相似比为1：1；
（3）若点M（a，b）为△ABC内一点，则点M在△A2B2C2内的对应点的坐标为 ．
17．（8分）在四川某地一村民，2021年承包种植橙子树400亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年共种植576亩．
（1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率．
（2）某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低3元，每天可多售出45千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？
18．（8分）如图①，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF是菱形．
（2）如图②，连接CE，若∠FCB＝90°，CE＝5，求AB的长．
19．（10分）根据以下素材，探索完成任务．
20．（12分）综合实践课上，老师带领同学们进行如下操作、探究：
第一步：将长宽比为3：2的矩形纸片ABCD（AB＜BC）的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABEF，然后把纸片展平；
第二步：连接CF，沿过点F的直线翻折，使点D落在边EF上的点G处，然后把纸片展平，连接BG并延长，交CF于点H；
【问题解决】
（1）BG与CF的数量关系为 ，位置关系为 ；
【问题拓展】
第三步：如图②，沿CF剪载，得到四边形ABCF，将△CEH沿EH翻折，点C的对应点为C′．
（2）点C′是否在BH上？若在，请判断并说明BC′与C′H的数量关系；若不在，请说明理由；
【拓展研究】
第四步：如图③，M是AB上一点，将△BEM沿EM翻折得到△B′EM，B′E与BG交于点N．
（3）已知CF＝5，当△ENH是直角三角形时，直接写出线段B′N的长．
2024-2025学年广东省深圳市宝安区新安中学（集团）九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
一.选择题（共8小题，每题3分，共24分）
1．（3分）方程（x+3）2＝16的根是（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝﹣7B．x1＝1，x2＝﹣7
C．x1＝x2＝﹣1D．x1＝﹣1，x2＝7
【分析】先把方程两边开方得到x+3＝±4，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（x+3）2＝16，
x+3＝±4，
所以x1＝1，x2＝﹣7．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
2．（3分）已知，则下列结论一定正确的是（ ）
A．x＝2，y＝3B．2x＝3yC．D．
【分析】根据比例的性质即两内项之积等于两外项之积分别对每一项进行分析即可得出答案．
【解答】解：∵，
∴3x＝2y，
∴A、B选项错误；
∵，
∴yx
∴，
∴C选项错误；
∵，
∴11，
∴D选项正确；
故选：D．
【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握两内项之积等于两外项之积是解题的关键，较简单．
3．（3分）如图，已知△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为3：5，下列说法错误的是（ ）
A．AC∥A'C'
B．S△A'B′C′：S△ABC＝9：25
C．△BCO～△B'C'O
D．OB′：BB′＝5：3
【分析】结合位似图形的定义、相似三角形的判定与性质逐项判断即可．
【解答】解：∵△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为3：5，
∴AC∥A'C'，△A'B'C'∽△ABC，且相似比为3：5，
∴S△A'B'C'：S△ABC＝9：25．
故A，B选项正确，不符合题意；
∵△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，
∴BC∥B'C'，
∴∠C'B'O＝∠CBO，∠B'C'O＝∠BCO，
∴△BCO～△B'C'O，
故C选项正确，不符合题意；
∵△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为3：5，
∴OB'：OB＝3：5，
∴OB′：BB′＝3：2．
故D选项不正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查位似变换、平行线的判定，熟练掌握位似图形的定义、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
4．（3分）如图，点D、E分别是△ABC上AB、AC边上的中点，△ADE为阴影部分．现有一小孩向其投一小石子且已投中，则石子落在阴影部分的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据三角形中位线定理得出DEBC，DE∥BC，根据相似三角形的判定定理和性质定理，得出（）2，即可求解．
【解答】解：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DEBC，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴（）2，
∴石子落在阴影部分的概率是．
故选：C．
【点评】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．也考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质．
5．（3分）下列命题中正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．邻边相等的平行四边形是正方形
C．矩形的对角线相等且互相垂直
D．正方形的面积等于对角线平方的一半
【分析】利用菱形、正方形的判定方法、矩形的性质及正方形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；
B、邻边相等的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；
C、矩形的对角线相等但不一定互相垂直，故原命题错误，不符合题意；
D、正方形的面积等于对角线平方的一半，正确，符合题意．
故选：D．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解菱形、正方形的判定方法、矩形的性质及正方形的性质等知识，难度不大．
6．（3分）空地上有一段长为20米的旧墙MN，一边利用旧墙，其他三边利用木栏围成一个矩形菜园如图所示，已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为198．设垂直于旧墙的一边长为x米，下列正确的是（ ）
A．由题意，得﹣x2+40x＝198
B．x的取值范围为x＜20
C．只有一种围法
D．只有两种围法
【分析】根据各边之间的关系，可得出平行于旧墙的一边长为（40﹣2x）米，结合MN的长度，可求出x的取值范围，根据所围成的菜园面积为198，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合x的取值范围，即可得出结论．
【解答】解：∵木栏总长为40米，垂直于旧墙的一边长为x米，
∴平行于旧墙的一边长为（40﹣2x）米，
∵旧墙长20米，
∴40﹣2x≤20，
∴x≥10，（选项B不符合题意）
根据题意得：x（40﹣2x）＝198，
整理得：x2﹣20x+99＝0，（选项A不符合题意）
解得：x1＝9，x2＝11（不符合题意，舍去）．（选项C符合题意，选项D不符合题意）
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及解一元一次不等式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（3分）一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时AB∥CD），相关数据如图（单位：cm）．从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：连接BD，如图所示：
由题意得，，∠A＝∠A，
∴△AEF∽△ABD，
∴，
∴，
∴BD＝5cm，
∴点B，D之间的距离减少了5﹣2＝3（cm），
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键．
8．（3分）如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于点H，若3，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】设DF＝a，则DF＝AE＝a，AF＝EB＝3a，由△HFD∽△BFA，得，求出FH，再由HD∥EB，得△DGH∽△EGB，即可得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵AF＝3DF，设DF＝a，则DF＝AE＝a，AF＝EB＝3a，
∴AB＝4a，
∵HD∥AB，
∴△HFD∽△BFA，
∴，
∴HDa，，
∴FHBH，
∵HD∥EB，
∴△DGH∽△EGB，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的性质和判定、菱形的性质、比例的选择等知识，解题的关键是得到△DGH∽△EGB，学会设参数，属于中考常考题型．
二.填空题（共5小题，每题3分，共15分）
9．（3分）一个袋子里有n个除颜色外完全相同的小球，其中有8个黄球，每次摸球前先将袋子里的球摇匀，任意摸出一球记下颜色后放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是 20 ．
【分析】根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为0.4，然后根据概率公式计算n的值．
【解答】解：根据题意得：
0.4，
解得：n＝20，
则n大约是20个；
故答案为：20．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
10．（3分）已知，则的值为 ．
【分析】设k，那么x＝2k，y＝3k，z＝4k，把它们代入，计算即可．
【解答】解：设k，那么x＝2k，y＝3k，z＝4k，
则．
故答案为．
【点评】本题是基础题，考查了比例的性质，利用“设k法“比较简单．
11．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，，则 ．
【分析】经过平行线分线段成比例定理列出比例式，求出，根据比例的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
12．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，，DE＝3，则四边形OCED的面积为 6 ．
【分析】设OE与DC交于点F，由四边形ABCD为矩形得到对角线互相平分且相等，进而得到OD＝OC，再由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到ODEC为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形ODEC为菱形，得到对角线互相平分且垂直，求出菱形OCED的面积即可．
【解答】解：设OE与DC交于点F，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，且AC＝BD，即OA＝OB＝OC＝OD，
∵OD∥CE，OC∥DE，
∴四边形ODEC为平行四边形，
∵OD＝OC，
∴四边形ODEC为菱形，
∴DF＝CF，OF＝EF，DC⊥OE，
∵DE∥OA，且DE＝OA，
∴四边形ADEO为平行四边形，
∵AD＝2，DE＝3，
∴OE＝2，即OF＝EF，
在Rt△DEF中，根据勾股定理得：DF，
∴DC＝2DF＝2，
则S菱形ODECOE•DC226．
故答案为：6．
【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．
13．（3分）在矩形ABCD中，BC＝2AB，E是CD上一点，连接BE，将矩形ABCD沿BE折叠，使点C的对应点C′落在矩形ABCD内部，连接CC′并延长，交AD边于点F，BC′的延长线交AD于点G，若，，则CE的长为 2 ．
【分析】连接EG，设DG＝x，C'G＝2x，由折叠的性质得CE＝C'E，∠BCC′＝∠BC'C，∠BCE＝∠BC'E＝90°，BE⊥CC’，证明△BCE∽△CDF，得，然后根据勾股定理求出x的值，进而可以解决问题．
【解答】解：如图，连接EG，
∵，
设DG＝x，C'G＝2x，
由折叠的性质得：CE＝C'E，∠BCC′＝∠BC'C，∠BCE＝∠BC'E＝90°，BE⊥CC’，
∴∠C'CE+∠BEC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠BCD＝∠ADC＝90°，BC∥AD，
∴∠GFC'＝∠BCF，
∵∠BC'C＝∠GC'F，
∴∠GFC'＝∠GC'F，
∴GF＝GC'＝2x，
∴DF＝3x，
∵∠DCF+∠CFD＝90°，
∴∠BEC＝∠CFD，
∵∠BCE＝∠CDF，
∴△BCE∽△CDF，
∴，
∵BC＝2AB＝2CD，
∴CE＝C'E＝2DF＝6x，
∵∠EC'G＝∠EDG＝90°，
∴C'E2+C'G2＝DE2+DG2，
∴（6x）2+（2x）2＝（）2+x2，
解得x（负值已舍去），
∴CE＝6x＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是得到△BCE∽△CDF．
三.解答题（共7题，其中第14题8分，第15题9分，第16题6分，第17题8分，第18题8分，第19题10分，第20题12分.共61分.）
14．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1）x（x﹣5）＝3x﹣15；
（2）2y2﹣9y+5＝0．
【分析】（1）利用提公因式法把方程变形，进而解出方程；
（2）利用公式法解出方程．
【解答】解：（1）x（x﹣5）＝3x﹣15，
则x（x﹣5）＝3（x﹣5），
∴x（x﹣5）﹣3（x﹣5）＝0，
∴（x﹣5）（x﹣3）＝0，
∴x﹣5＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝5，x2＝3；
（2）2y2﹣9y+5＝0，
a＝2，b＝﹣9，c＝5，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣9）2﹣4×2×5＝41，
则y，
∴y1，y2．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
15．（9分）每年的11月9日是“119消防宣传日”．本月3号，嘉祥某校区采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，并按成绩高低分成优、良、中、差四个等级进行统计，绘制了两幅尚不完整的统计图，请根据有关信息解答：
（1）接受测评的学生共有 160 人，扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为 135° ；并补全条形统计图；
（2）若校区共有学生3200人，请估计该校区学生对消防安全知识达到“良”及“良”级以上程度的人数；
（3）测评成绩前三名的学生恰好是1个女生和2个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加区级消防安全知识竞赛，求出抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率．
【分析】（1）根据等级为“中”的人数除以所占百分比可得总人数，即可解决问题；
（2）用总人数乘以“良”及“良”以上程度的人数所占比例即可；
（3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）接受测评的学生共有40÷25%＝160（人），
扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为360°135°，
等级为“良”的人数为160﹣（60+40+10）＝50（人），
故答案为：160，135°；
补全图形如下：
（2）估计该校学生对安全知识达到“良”及“良”级以上程度的人数有：32002200（人）；
（3）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的有4种情况，
∴抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率是．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．（6分）已知，△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（4，﹣1），（3，2）．△A1B1C1与△ABC是以点P为位似中心的位似图形．
（1）请写出点P的坐标是 （0，﹣2）） ；
（2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形．△A2B2C2，使相似比为1：1；
（3）若点M（a，b）为△ABC内一点，则点M在△A2B2C2内的对应点的坐标为 （﹣a，﹣b） ．
【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出位似中心的位置；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点坐标即可．
【解答】解：（1）如图所示：点P（0，﹣2）；
（2）如图所示：△A2B2C2即为所求，点M对应点的坐标为：（﹣a，﹣b）．
故答案为：（1）（0，﹣2）；（2）（﹣a，﹣b）．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
17．（8分）在四川某地一村民，2021年承包种植橙子树400亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年共种植576亩．
（1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率．
（2）某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低3元，每天可多售出45千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？
【分析】（1）设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，根据2021年承包种植橙子树400亩，到2023年共种植576亩，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设售价应降低y元，根据销售该种橙子每天获利840元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：（1）设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，
根据题意得：400（1+x）2＝576，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2 （不符合题意，舍去），
答：该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为20%；
（2）设售价应降低y元，
根据题意得：，
整理得：y2﹣2y﹣24＝0，
解得：y1＝6，y2＝﹣4（不符合题意，舍去），
答：售价应降低6元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．（8分）如图①，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF是菱形．
（2）如图②，连接CE，若∠FCB＝90°，CE＝5，求AB的长．
【分析】（1）证相似得出比例式，求出AF＝BD，根据直角三角形性质求出AD＝BD＝CD＝AF，即可得出结论；
（2）证明四边形ADCF是正方形，设AE＝DE＝x，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵E为AD中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠DBE＝∠AFE
∵∠DEB＝∠AEF
∴△DEB≌△AEF，
∴AF＝DB，
∵AD是直角三角形CAB斜边CB上的中线，
∴AD＝BD＝DC，
∴AF＝DC，
∵AF∥DC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD＝DC，
∴四边形ADCF是菱形．
（2）解：∵∠FCB＝90° 且四边形ADCF是菱形，
∴四边形ADCF是正方形，
∴∠ADC＝90°，
∵DC＝DB，AD⊥BC，
∴AC＝AB，
∴AD＝CD＝DB，设 AE＝DE＝x，则 CD＝BD＝AD＝2x，
∵EC2＝CD2+DE2，
∴5x2＝25，
∴ （负根已经舍弃），
∴，
∴．
【点评】此题考查了直角三角形性质，平行四边形的判定，相似三角形的性质和判定，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．
19．（10分）根据以下素材，探索完成任务．
【分析】（1）根据题意得到△DEF是等腰直角三角形，由平行投影性质可知，△ABC是等腰直角三角形，得到AB＝BC＝11.3m，由反射定律得到∠DCE＝∠ACB，根据相似三角形的性质得到旗杆高度为12米；
（2）由题意可知：DE＝1.5m，CF＝5.5m，EF＝3m，BF＝6m．过D作DM⊥AB 于M，交CF于N，根据矩形的性质得到∠CND＝∠AMD＝90°DE＝FN＝BM＝1.5m，DN＝EF＝3m，NM＝BF＝6m．根据相似三角形的性质得到AB＝AM+BM＝12+1.5＝13.5（m）；
（3）由题意可知DD′＝24m，CG＝DG＝1.5m，且∠CGD＝90°，根据等腰直角三角形的性质得到∠DAB＝45°，即AB＝BD，设AB＝BD＝x m，则BD′＝x+24（m），根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵影长EF恰好等于自己的身高DE，
∴△DEF是等腰直角三角形，
由平行投影性质可知，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝11.3m，
故答案为：11.3；
如图：
由反射定律可知，∠DCE＝∠ACB，
又∠DEC＝90°＝∠ABC，
∴△DEC∽△ABC，
∴，即，
解得AB＝12，
∴旗杆高度为12米，
故答案为：12；
（2）图，由题意可知：DE＝1.5m，CF＝5.5m，EF＝3m，BF＝6m．
过D作DM⊥AB 于M，交CF于N，
∵CF⊥BE，AB⊥BE，DE⊥BE，
∴AB∥CF∥DE，
∴DM⊥CF且四边形DEMN为矩形，
∴∠CND＝∠AMD＝90°DE＝FN＝BM＝1.5m，DN＝EF＝3m，NM＝BF＝6m．
∵∠CDN＝∠ADM，
∴△CDN∽△ADM，
∴，
即，
∴AM＝12m，
∴AB＝AM+BM＝12+1.5＝13.5（m），
答：小王测得的旗杆高度为13.5m；
（3）由题意可知：DD′＝24m，CG＝DG＝1.5m，且∠CGD＝90°，
∴△CDG 是等腰直角三角形，∠CDG＝45°，
∵∠ABD＝90°，
∴∠DAB＝45°，
即AB＝BD，
设AB＝BD＝x m，则BD′＝x+24（m），
∵∠C′G′D′＝∠ABD＝90°，∠C'D'G'＝∠AD'B，
∴△C′G′D′∽∠ABD，
∴，
即，
解得：x＝36，
经检验，x＝36是此方程的根，
答：雕塑AB的高度为36米．
【点评】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形 的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
20．（12分）综合实践课上，老师带领同学们进行如下操作、探究：
第一步：将长宽比为3：2的矩形纸片ABCD（AB＜BC）的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABEF，然后把纸片展平；
第二步：连接CF，沿过点F的直线翻折，使点D落在边EF上的点G处，然后把纸片展平，连接BG并延长，交CF于点H；
【问题解决】
（1）BG与CF的数量关系为 BG＝CF ，位置关系为 BG⊥CF ；
【问题拓展】
第三步：如图②，沿CF剪载，得到四边形ABCF，将△CEH沿EH翻折，点C的对应点为C′．
（2）点C′是否在BH上？若在，请判断并说明BC′与C′H的数量关系；若不在，请说明理由；
【拓展研究】
第四步：如图③，M是AB上一点，将△BEM沿EM翻折得到△B′EM，B′E与BG交于点N．
（3）已知CF＝5，当△ENH是直角三角形时，直接写出线段B′N的长．
【分析】（1）由“SAS“可证△BEG≌△FEC，可得BG＝CF，∠GBE＝∠CFE，可证∠BEG＝∠FHG＝90°；
（2）通过证明△FGB∽△HGE，可得∠BFG＝∠EHG＝45°＝∠ECH，则点C′在BH上；通过证明△BCH∽△FCE，可得，即可求解．
（3）先求出CE，EF＝2BE，BF＝2，由相似三角形的性质可求EH的长，再分∠HEN＝90°和∠ENH＝90°讨论，由直角三角形的性质可求NE的长，即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABEF是正方形，
∴BE＝EF，∠BEF＝∠CEF＝90°，
∵∠ADC＝∠BCD＝90°＝∠CEF，
∴四边形ECDF是矩形，
∴DF＝EC，
由折叠的性质可得：DF＝FG，
∵AB：AD＝2：3，
∴AB＝2x＝AF＝EF＝BE，AD＝3x，
∴DF＝FG＝x＝EC，
∴GE＝EC＝x，
∴△BEG≌△FEC（SAS），
∴BG＝CF，∠GBE＝∠CFE，
∵∠BGE＝∠FGH，
∴∠BEG＝∠FHG＝90°，
∴BG⊥CF，
故答案为：BG＝CF，BG⊥CF；
（2）点C′在BH上，BC′＝C′H，理由如下：由（1）得∠EBG＝∠EFC，∠BHC＝90°，
又∵∠BGE＝∠FGH，
∴△BGE∽△FGH，
∴，
∵∠FGB＝∠HGE，
∴△FGB∽△HGE，
∠BFG＝∠EHG＝45°，
∴∠EHC＝∠BHC﹣∠EHG＝45°，
∵∠EHG＝45°，
∴∠EHC＝∠EHG，
∴点C′在BH上；
∵∠EBG＝∠EFC，∠C＝∠C，
∴△BCH∽△FCE，
∴，
∵CH＝C′H，
∴BC′＝C′H；
（3）∵CF＝5，2，
∴CE，EF＝2BE，
∴BF＝2，
∵∠CHE＝45°＝∠FBE，∠C＝∠C，
∴△EHC∽△FBC，
∴，
∴，
∴EH＝2，
当∠B'EH＝90°时，∵∠BHE＝45°，
∴∠ENH＝45°＝∠BHE，
∴HE＝NE＝2，
由折叠可得BE＝B'E＝2，
∴B′N；
当∠ENH＝90°时，∵∠BHE＝45°，
∴∠NEH＝45°＝∠BHE，
∴NE＝NH＝2，
由折叠可得BE＝B'E＝2，
∴B′N；
综上所述：B'N的长为 或 ．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/12 15:23:43；用户：初中数学1；邮箱：[email protected]；学号：55349316如何测量水平操场上旗杆的高度？
背景
为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法
方案1
如图1小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE此时，小组同学测得旗杆AB的影长为11.3m．
方案2
如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观察到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE＝1.5m，小李到镜面距离EC＝2m，镜面到旗杆的距离CB＝16m．
方案3
如图3，小王所在的小组采用图3的方法测量，身高1.5m的小王站在操场上E点处，在离自己3米远的F点处垂直放置一根长为5.5米的标杆CF，测得标杆底端F离旗杆底端B距离为6米，经过计算，小王发现结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精准度明显提高．研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了某广场雕塑的高度，方法如下：
如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．

如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面．

如图6，在某广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG＝1.5m，DG＝1.5m，将观测点D后移24m到D′处，采用同样方法，测得C′G′＝1.2m，D′G′＝2m．

任务1
写出方案1中小张测得的旗杆高度为 m，
方案2中小李测得的旗杆高度为 m．
任务2
如图3，求出方案3中小王测得的旗杆高度．
任务3
求出方案3优化测量方法后（如图6）测得的雕塑AB的高度．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
D
C
D
C
B
B
如何测量水平操场上旗杆的高度？
背景
为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法
方案1
如图1小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE此时，小组同学测得旗杆AB的影长为11.3m．
方案2
如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观察到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE＝1.5m，小李到镜面距离EC＝2m，镜面到旗杆的距离CB＝16m．
方案3
如图3，小王所在的小组采用图3的方法测量，身高1.5m的小王站在操场上E点处，在离自己3米远的F点处垂直放置一根长为5.5米的标杆CF，测得标杆底端F离旗杆底端B距离为6米，经过计算，小王发现结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精准度明显提高．研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了某广场雕塑的高度，方法如下：
如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．

如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面．

如图6，在某广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG＝1.5m，DG＝1.5m，将观测点D后移24m到D′处，采用同样方法，测得C′G′＝1.2m，D′G′＝2m．

任务1
写出方案1中小张测得的旗杆高度为 11.3 m，
方案2中小李测得的旗杆高度为 12 m．
任务2
如图3，求出方案3中小王测得的旗杆高度．
任务3
求出方案3优化测量方法后（如图6）测得的雕塑AB的高度．