2025-2026学年北京市海淀区清华大学附属中学高一上学期统练一数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年北京市海淀区清华大学附属中学高一上学期统练一数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若、、，，则下列不等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3．命题“，都有”的否定是（ ）
A．，都有B．，使得
C．，使得D．，使得
4．已知全集，集合满足，则（ ）
A．B．
C．D．
5．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知集合，，，若，则下列结论中不可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
8．据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（ ）
A．元B．元C．元D．元
9．设集合，，定义集合，则集合中元素的个数是（ ）
A．5B．6C．8D．9
10．已知集合，定义叫做集合的长度，若集合的长度为2，则的长度为（ ）
A．3B．4C．5D．10
二、填空题
11．已知集合A={2，3，6}，则集合A的真子集的个数是 ．
12．能说明命题“且，”是假命题的的值可以是 .（写出一个即可）
13．已知集合，若，则 .
14．把边长为3的正方形的边界及其内部的点组成的集合记为，则表示的区域面积是 .
15．设A，B为两个非空有限集合，定义其中表示集合S的元素个数.某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为，，，.已知{物理，化学，生物}，{地理，物理，化学}，{思想政治，历史，地理}，给出下列四个结论：
①若，则{思想政治，历史，生物}；
②若，则{地理，物理，化学}；
③若{思想政治，物理，生物}，则；
④若，则{思想政治，地理，化学}.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题
16．解关于的不等式
(1)；
(2).
17．已知集合，集合.
(1)若集合，且满足，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
18．已知关于的一元二次不等式的解集为，
(1)求集合；
(2)若中有且仅有两个整数，求的取值范围；
(3)在问题①和问题②中任选一个作答.（直接写答案）
问题①：，都有，求的取值范围；
问题②：，都有，求的取值范围.
（注：如果选择多个问题解答，按第一个解答给分）
19．已知集合为非空数集，定义：（实数可以相同）.
(1)若集合，直接写出集合；
(2)若集合，且，求证：；
(3)若集合，记为集合中的元素个数，求的最大值.
参考答案
11．7
12．-1（任意负数均可）
13．/
14．
15．①③
16．（1）解：由不等式，可得，即，
解得，即不等式的解集为.
（2）解：由不等式，
可得，
当时，可得，解得时，不等式的解集为空集；
当时，可得，解得或时，
方程的解为，
所以不等式，解得，
所以不等式的解集为，
综上可得，当时，不等式的解集为；
当或时，不等式的解集为.
17．（1）由题意得：方程有两个不相等的实数根，
所以，所以，
所以.
由，得，
即，解得（舍去）或.
当时，，，符合题意.
因此，实数的值为1.
（2）集合.
对于方程，
当，即时，方程无实数根，
此时集合，.
当，即时，方程有两个相等的实数根，，
此时，满足题意.
当，即时，方程有两个不相等的实数根，若，则，
所以，即，显然无解，不合题意.
综上所述，实数的取值范围是.
18．（1）由不等式，可得
令，解得或，
当时，即时，不等式即为，解得，此时；
当时，即时，解得，此时；
当时，即时，解得，此时，
综上可得：当时，集合；时，集合；当时，集合.
（2）由（1）知，当时，集合，
要使得集合中有且仅有两个整数，则满足，解得；
当时，集合，
要使得集合中有且仅有两个整数，则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围.
（3）若选择问题①：由集合，
对于，都有，则，
即满足不等式，可得，
解得，即实数的取值范围为.
若选择问题②：由集合，若，则，满足，
由（1）可知，，
因为，则，
所以.
所以实数的取值范围为.
19．（1）因为，，
所以；
（2）由于集合，，
则T集合的元素在0，，，，，，中，
且，，
而，故中最大元素必在中，而为7个元素中的最大者，
故即，故，
故中的4个元素为0，，，，
且，，与，，重复，
而，故即，
而，故，故或，
若，则，，与题设矛盾；
故即.
（3）设满足题意，其中，
则，
∴，，∴，
∵，由容斥原理，
中最小的元素为0，最大的元素为，，
∴，即，∴．
实际上当时满足题意，
证明如下：设，，
则，，
依题意有，即，
故m的最小值为676，于是当时，A中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1350．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
B
D
A
D
BC
B
C
C