2025~2026学年度湖北省武汉外国语学校九年级上学期月考数学复习试卷（10月）含答案

这是一份2025~2026学年度湖北省武汉外国语学校九年级上学期月考数学复习试卷（10月）含答案，共44页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的选项中， 只有一项是符合题目要求的．
1 ．用配方法解方程x2 -10x + 24 = 0 ，变形后结果正确的是( )
A ．(x - 5)2 = 1 B ．(x - 5)2 = 25 C ．(x -10)2 = 1 D ．(x +10)2 = 49
2 ．若方程(m -1)x2 + x - 2 = 0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是( ).
A ．m > 1 B ．m ≥ 1 C ．m = 1 D ．m ≠ 1
3 ．若二次函数y = ax2 - 6ax + c (a < 0) 的图象过A(2, y1 ) 、B (a, y2 ) 、 三点，则 y1 、y2 、y3 大小关系为( )
A ．y2 < y3 < y1 B ．y2 < y1 < y3 C ．y3 < y1 < y2 D ．y1 < y2 < y3
4 ．已知抛物线y = -x2 + bx + 4 经过( - 2,n) 和(4,n) 两点，则 n 的值为( )
A ． -2 B ． -4 C ．2 D ．4
5 ．抛物线 y=（x+2）2 -3 可以由抛物线 y=x2 平移得到，则下列平移过程正确的是( )
A ．先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 B ．先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位
C ．先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 D ．先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位
6 ．等腰三角形一边长为 2，另外两边长是关于 x 的一元二次方程 x2－6x＋k＝0 的两个实数 根，则 k 的值是( )
A ．8 B ．9 C ．8 或 9 D ．12
7 ．青山村种的水稻前年平均每公顷产7200kg ，今年平均每公顷产8450kg ．设水稻每公顷 产量的年平均增长率为 x，则所列方程应为( )
A ．7200 (1+ x )2 = 8450 B ．7200 + 7200 × 2x = 8450
C ．7200x2 = 8450 D ．7200 (1+ x2 ) = 8450
8 ．若 x1 ，x2（x1＜x2）是方程（x-a）（x-b）=1（a＜b）的两个根，则实数 x1 ，x2 ，a ，b 的 大小关系为( )
A ．x1＜x2＜a＜b B ．x1＜a＜x2＜b
C ．x1＜a＜b＜x2 D ．a＜x1＜b＜x2
9 ．已知函数y = x2 - 4x 的图象上有两点A(m，1) 和B(n，1) ，则 的值等于 ( )
A ．22 B ．20 C ．17 D ．0
10 ．m ，n 是方程x2 - 2023x + 2024 = 0的两根，则代数式 (m2 - 2022m + 2024)(n2 - 2022n + 2024) 的值是( )
A ．2022 B ．2023 C ．2024 D ．2025
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．
11 ．二次函数y = 3 (x + 2)2 +1 的图象的顶点坐标是 ．
12．我市某楼盘 2013 年房价为每平方米 4500 元，经过两年连续降价后，2015 年房价为 3645 元．设该楼盘这两年房价平均降低率为 x，根据题意可列方程为 ．
13 ．若关于 x 的一元二次方程x2 + 8x + c = 0有两个相等的实数根，则 c 的值为 ．
14 ．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系（如图），发现铅球与地 面的高度y(m) 和运动员出手点的水平距离x (m) 之间的函数关系为 由 此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是 m．
15 ．如图①是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲纹处理，将传统文化与现代 建筑为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲纹呈抛物线形，如图@，
已知其底部宽度 AB 为 80 米，高度为 200 米，则离地面 128 米处的水平宽度（即 CD 的长） 为 米．
16 ．如图，抛物线y = ax2 + bx + c (a 0 ；② a + b > am2 + bm （m 为任意实数）；③ a (k2 +1)2 + b(k2 +1) > a (k2 + 2)2 + b(k2 + 2) ；④一元二次方程
= 0 有两个不相等的实数根，其中正确的结论有 ．
三、解答题：本题共 8 小题，共 72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤．
17 ．解一元二次方程．
(1) x 2 - 2 x - 1 = 0 ；
(2)x(x + 4) = 2x + 8 ．
18 ．关于 x 的方程 x2 -2（k -1）x+k2 ＝0 有两个实数根 x1，x2．
(1)求 k 的取值范围；
(2)请问是否存在实数 k，使得 x1+x2 ＝1 -x1x2 成立？若存在，求出 k 的值；若不存在， 说明理由．
19 ．二次函数y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的图象如图，根据图象解答下列问题：
(1)方程ax2 + bx + c = 0的两个根为___________；
(2)若ax2 + bx + c < x -1，则自变量x 的取值范围为___________；
(3)若方程ax2 + bx + c = k 有两个不相等的实数根，k 的取值范围是___________．
20 ．如图，排球运动员站在点 O 处练习发球，将球从 O 点正上方 2m 的 A 处发出，把球看 成点，其运行的高度 y（m）与运行的水平距离 x(m)满足关系式 y=a(x-6)2+h. 已知球网与 O
点的水平距离为 9m，高度为 2.43m，球场的边界距 O 点的水平距离为 18m．
（1）当 h=2.6 时，求 y 与 x 的关系式（不要求写出自变量 x 的取值范围）
（2）当 h=2.6 时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求 h 的取值范围．
21 ．已知关于 x 的方程x2 - (2k - 3)x + k2 + 3 = 0 有实数根 x1 ，x2 ．
(1)求 k 的取值范围；
(2)已知点A(x1 , 0) 、B (x2 , 0)，若OA + OB = OA × OB -1 ，求 k 的值；
(3)若m = x + 3x1 + 2kx2 ，则 m 的最小值为______（直接写出答案），
22．某市公安局交警支队在全市范围内开展“一盔一带”安全守护行动，某商场的头盔销量不 断增加，该头盔销售第x 天与该天销售量y （件）之间满足函数关系式为：y = 20x + 200
（1 ≤ x ≤ 30 且x 为整数），为减少库存，该商场将此头盔的价格不断下调，其销售单价z （元） 与第x 天成一次函数关系，当x =1 时，z = 98 ，当 x =2 时，z = 96 ．已知该头盔进价为40 元／件．
(1)求z 与x 之同的函数关系式；
(2)求这30 天中第几天销售利润最大，并求出最大利润；
(3)在实际销售的前15 天，为配合“骑乘人员佩戴头盔专题周”活动的开展，商场决定将每个 头盔的单价在原来价格变化的基上再降价a 元（a > 2 ）销售，通过销售记录发现，前 8 天 中，每天的利润随时间x （天）的增大而增大，试求a 的取值范围．
23 ．如图，一小球从斜坡 O 点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数
y1 = ax2 + bx(a < 0) 刻画，斜坡可以用一次函数 刻画，小球飞行的水平距离 x（米） 与小球飞行的高度y1 （米）变化规律如下表：
x
0
3
6
9
…
y
0
9
m
9
…
(1)①直接写出 a ，b 的值：a = ______ ，b = ______； @小球在斜坡上的落点是 A，求点 A 的坐标．
(2)小球飞行高度y1 （米）与飞行时间 t（秒）满足关系 y1 = -5t2 + vt ．
①小球飞行的最大高度为_____米； @求 v 的值．
24 ．已知抛物线 的顶点(0,1) ．
(1)该抛物线的解析式为___________；
(2)如图 1，直线y = kx + kt 交 x 轴于 A，交抛物线于 B 、C ，BE⊥x 轴于 E ， CF 丄 x 轴于 F， 试比较AE . AF 与t2 的大小关系；
(3)如图 2 所示，平移抛物线使其顶点在原点 O 处，过y 轴正半轴 F 点的直线与抛物线相交 于 C、D 两点（直线CD 不平行 x 轴），分别过 C、D 向直线y= -1轴作垂线，垂足分别为
M、N，连接FM 、FN ．记 △CMF 的面积为S1 ， △MNF 的面积为S2 ， △DNF 的面积为S3 ，
若S = 4S1 . S3 ，求 F 点的坐标．
1 ．A
【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解 题的关键．
根据配方法解一元二次方程的步骤计算即可． 【详解】解：x2 -10x + 24 = 0
x2 -10x = -24
x2 -10x + 25 = -24 + 25 (x - 5)2 = 1．
故选：A．
2 ．D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
根据一元二次方程的定义，可得m -1 ≠ 0 ，即可求解．
【详解】解：:方程(m -1)x2 + x - 2 = 0 是关于 x 的一元二次方程，
: m -1 ≠ 0 ， : m ≠ 1，
故选：D．
3 ．A
【分析】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征， 二次函数的对称性，熟练掌握二次函数 的性质是解题的关键．
求出抛物线的对称轴，得到抛物线的开口向和增减性，然后根据距离对称轴越远，函数值越 小即可求出答案．
【详解】解：: y = ax2 - 6ax + c (a < 0)，
:图象的开口向下，对称轴是直线 :距离对称轴越远，函数值越小
: 3 - 2 = 1 ， ， : a < 0
: y2 < y3 < y1 ．
故选：A．
4 ．B
【分析】根据( - 2, n) 和(4, n) 可以确定函数的对称轴x=1，再由对称轴的 即可求解； 【详解】解：抛物线 y = -x2 + bx + 4 经过( - 2, n) 和(4, n) 两点，
可知函数的对称轴x=1，
:b = 2 ；
:y = -x2 + 2x + 4 ，
将点( - 2, n) 代入函数解析式，可得n=-4 ；
故选 B．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的 关键．
5 ．B
【详解】解：将 y= x2 的图象向左平移 2 个单位后得函数y = (x + 2)2 的函数图象， 将y = (x + 2)2 的图象向下平移 3 个单位得到y = (x + 2)2 - 3 的函数图象，
:平移过程为：先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位．
故选：B．
6 ．B
【分析】根据一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：①当等腰三角形的底边为 2 时，
此时关于 x 的一元二次方程 x2-6x＋k＝0 的有两个相等实数根， :△ =36-4k＝0，
:k＝9，
此时两腰长为 3， :2＋3＞3，
:k＝9 满足题意，
②当等腰三角形的腰长为 2 时，
此时 x ＝2 是方程 x2-6x＋k＝0 的其中一根， 代入得 4-12＋k＝0，
:k＝8，
:x2-6x＋8 ＝0
求出另外一根为：x ＝4， :2＋2 ＝4，
:不能组成三角形， 综上所述，k＝9 ， 故选:B．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角 形的性质．
7 ．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用：增长率问题，增长率问题中的一般公式为 a (1+ x )n = b ，其中 n 为共增长了几年，a 为第一年的原始数据，b 是增长后的数据，x 是增 长率．
【详解】解:根据题意得：
前年平均每公顷产7200kg ， 去年水稻产量7200(1 + x ) ，
今年水稻产量：7200 (1+ x)(1+ x)，
进而可得方程：7200 (1+ x )2 = 8450 ．
故选:A．
8 ．C
【分析】因为 x1和 x2为方程的两根，所以满足方程（x-a）（x-b）=1，再由已知条件 x1< x2 、a＜b 结合图象，可得到 x1 ，x2 ，a ，b 的大小关系．
【详解】用作图法比较简单， 首先作出（x -a）（x -b）=0 图象，任意画一个（开口向上的， 与 x 轴有两个交点），再向下平移一个单位，就是（x -a）（x -b）=1，这时与 x 轴的交点就 是 x1 ，x2，画在同一坐标系下，很容易发现：答案是：x1＜a＜b＜x2．
故选 C．
9 ．A
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特点， 熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函 数与方程之间的关系是解题的关键．
由题意可得 m ，n 是方程x2 - 4x = 1的两个根，则有mn= -1 ，m + n = 4 ，即 又由 m2 - 4m = 1 ，将所求式子变形为 然后再求值即可． 【详解】解：∵函数y = x2 - 4x 的图象上有两点A(m，1) 和B(n，1) ，
:m2 - 4m = 1，
把y = 1代入y = x2 - 4x 得，x2 - 4x -1 = 0 ，
∵函数y = x2 - 4x 的图象上有两点A(m，1) 和B(n，1) ， :m ，n 是方程x2 - 4x = 1 的两个根，
:mn = -1 ，m + n = 4 ，
= 2m2 - 3m + 5n
= 2 (m2 - 4m)+ 5(m + n)
= 2 × 1+ 5 × 4
= 22 ．
故选：A．
10 ．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，先根据一 元二次方程解的定义得到m2 - 2023m + 2024 = 0 ，n2 - 2023n + 2024 = 0 ，再由根与系数的关
系得到mn = 2024 ，进而得到 m2 - 2022m = m - 2024 ，n2 - 2022n = n - 2024 ，据此代值计算 即可．
【详解】解：∵m ，n 是方程x2 - 2023x + 2024 = 0 的两根，
: m2 - 2023m + 2024 = 0 ，n2 - 2023n + 2024 = 0 ，mn = 2024 ， : m2 - 2022m = m - 2024 ，n2 - 2022n = n - 2024 ，
: (m2 - 2022m + 2024)(n2 - 2022n + 2024)
= (m - 2024 + 2024) (n - 2024 + 2024)
= mn
= 2024 ，
故选；C．
11 ．(-2,1)
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟知对于二次函数y= a (x - h)2 + k(a ≠ 0) ， 其顶点坐标为(h, k ) 是解题的关键．根据二次函数y= a (x - h)2 + k(a ≠ 0) 的性质求解即可． 【详解】解：由二次函数的性质可得，
二次函数y = 3 (x + 2)2 +1 的图象的顶点坐标是(-2,1)．
故答案为：(-2,1)．
12 ．4500 (1- x )2 = 3645
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设该楼盘这两年房价平均降低率为 x， 则 2014 年房价为4500(1- x)元，2015 年房价为4500(1- x )2 元，据此列出方程求解即可．
【详解】解：由题意得，4500 (1- x )2 = 3645 ， 故答案为：4500 (1- x )2 = 3645 ．
13 ．16
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的根与 Δ = b2 - 4ac 有 如下关系：当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ < 0 时，方程无实数根．先根据根的判别式的意义得到 Δ = 82 - 4c = 0 ，然后解一次方程 即可．
【详解】解：根据题意得 Δ = 82 - 4c = 0 ，
解得c = 16 ，
即c 的值为 16．
故答案为：16．
14 ．10
【分析】根据铅球落地时，高度 y = 0 ，实际问题可理解为当 y = 0 时，求x 的值即可；
当y = 0 时，得：
解得：x1 = 10 ，x2 = -2 （舍去）
即铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是10m 故答案为：10
【点睛】本题考查了二次函数的应用，利用 y = 0 时求出x 的值是解题关键．
15 ．48
【分析】本题主要考查了二次函数的应用， 解题的关键是明确题意，数形结合．先建立直角 坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点A(-40, 0) 在抛物线上，可求出抛物线 的解析式，最后将y = 128 代入求出x 的值，即可得到CD 的值．
【详解】解：以底部所在的直线为x 轴，以线段AB 的垂直平分线所在的直线为y 轴建立平 面直角坐标系，
: A(-40, 0) ，E (0, 200) ，
设内侧抛物线的解析式为y = ax2 + 200 ，
将A(-40, 0) 代入，
得：0 = a × (-40)2 + 200 ， 解得： ，
: 内侧抛物线的解析式为 将y = 128 代入得
解得：x = ±24 ，
: C(-20,128) ，D (20,128) ， : CD = 24 - (-24) = 48 （米）， 故答案为：48．
16 ．①③④
【分析】利用二次函数图象结合点 A(-1, 0) ，B(3, 0) ，得对称轴为直线 则 b = -2a > 0 ，然后抛物线交y 轴的正半轴，得c > 0 ，即可判断①；结合开口向上，在 x = 1 时，y 有最大值，越靠近对称轴的x 所对应的函数值越大，即可判断②③；因为
= 0 ， 则 , 结合二次函数的图象性质，即可作答．本题考查了二次函数图象与 系数的关系，根的判别式，解决本题的关键是综合运用二次函数图象上点的坐标特征、抛物 线与x 轴的交点进行计算．
【详解】解：Q抛物线开口向下，
:a < 0 ，
Q抛物线y = ax2 + bx + c 与x 轴交于点A(-1, 0) ，B(3, 0) ， :对称轴为直线
:b = -2a > 0 ，
Q抛物线交y 轴的正半轴， :c > 0 ，
:b + 2c > 0 ，故①正确；
Q抛物线开口向下，对称轴为直线x = 1 ， :把x = 1 代入y = ax2 + bx + c ，
得 y = a + b + c ，
此时函数有最大值，且为y = a + b + c ， 把x = m 代入y = ax2 + bx + c ，
: y = am2 + bm + c ，
则a + b + c ≥ am2 + bm + c （m 为任意实数）； : a + b ≥ am2 + bm （m 为任意实数），
故②是错误的；
Q抛物线开口向下，对称轴为直线x = 1 ， : 当x > 1 时，y 随x 的增大而减小，
Q1 < k2 + 1 < k2 + 2 ，
把x = k2 +1, x = k2 + 2 分别代入y = ax2 + bx + c ，
得y1 = a (k +1)2 + b(k +1) + c, y2 = a (k + 2)2 + b(k + 2) + c, 则y1 > y2 ，
即a (k +1)2 + b(k +1) + c > a (k + 2)2 + b(k + 2) + c,
: a(k2 + 1)2 + b(k2 + 1) > a(k2 + 2)2 + b(k2 + 2) ，故③正确； = 0 ，
又:抛物线y = ax2 + bx + c 与x 轴交于点A(-1, 0) ，B(3, 0) ， : Δ = b2 - 4ac > 0, b = -2a ，a - b + c = 0 ，
:c = -3a ，
1 2 2
:对于任意实数 一定都大于 0 ， :一元二次方程 = 0 有两个不相等的实数根， 故④是正确的，
故答案为：①③④.
17 ．
(2) x1 = -4, x2 = 2
【分析】（1）利用配方法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得． 【详解】（1）解：: x2 - 2x = 1，
: x2 - 2x +1 = 1+1 ，即(x -1)2 = 2 ， 则
（2）: x (x + 4) - 2(x + 4) = 0 ，
: (x + 4)(x - 2) = 0 ，
则 x + 4 = 0 或 x - 2 = 0 ， 解得x1 = -4, x2 = 2 ．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法： 直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法， 结合方程的特点选择合适、简便的方法是解 题的关键．
(2)存在，k = -3
【分析】（1）根据关于 x 的方程 x2 -2（k -1）x+k2 ＝0 有两个实数根，Δ≥0，代入计算求 出 k 的取值范围．
（2）根据根与系数的关系 根据题意列出等式，求出 k 的值，根 据 k 的值是否在取值范围内做出判断．
【详解】（1）解：∵关于 x 的方程 x2 -2（k -1）x+k2 ＝0 有两个实数根 根据题意得 Δ = 4(k -1)2 - 4k2 = 4 - 8k ≥ 0 ，
解得
（2）解：存在．
根据根与系数关系x1 + x2 = 2(k -1) ，x1x2 = k2 ， ∵x1+x2 ＝1 -x1x2，
: 2(k -1) = 1- k2 ，
解得k1 = -3，k2 = 1，
:存在实数 k=-3，使得 x1+x2 ＝1 -x1x2．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解一元二次方程，要注意根 据 k 的取值范围来进取舍．
19 ．(1) x1 = 1，x2 = 3
(2) x < 1或x >
(3) k < 2
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与不等式之间的关 系，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）二次函数与 x 轴的交点的横坐标，即为二次函数对应的一元二次方程的解，据此可得 答案；
（2）把解析式设为顶点式，利用待定系数法求出解析式，再联立二次函数解析式和直线 y = x -1 的解析式，求出对应的交点坐标即可得到答案；
（3）根据题意可得二次函数 y = ax2 + bx + c 与直线y = k 有两个不同的交点，据此结合函数
图象即可得到答案．
【详解】（1）解：∵二次函数y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 与 x 轴的两个交点坐标为(1, 0)，(3, 0) ，
:方程ax2 + bx + c = 0的两个根为x1 = 1，x2 = 3 ；
（2）解：二次函数解析式为 y = a (x - 2)2 + 2 ，
把(1, 0) 代入y = a (x - 2)2 + 2 中得：0 = a (1- 2)2 + 2 ，解得 a = -2 ， :二次函数解析式为y = -2(x - 2)2 + 2 = -2x2 + 8x - 6 ，
:当ax2 + bx + c < x -1时， x < 1或x > ；
（3）解：:方程ax2 + bx + c = k 有两个不相等的实数根， :二次函数y = ax2 + bx + c 与直线y = k 有两个不同的交点， : k < 2 ．
（2）球能越过网；球会过界
【详解】试题分析：（1）利用 h=2.6 将点（0 ，2），代入解析式求出即可；
（2）利用当 x=9 时 当 y=0 时 分别 得出即可；
（3）根据当球正好过点（18 ，0）时，抛物线 y=a（x -6）2+h 还过点（0 ，2），以及当球刚 能过网，此时函数解析式过（9 ，2.43），抛物线 y=a（x -6）2+h 还过点（0 ，2）时分别得 出 h 的取值范围，即可得出答案．
试题解析：解：（1）:h=2.6，球从 O 点正上方 2m 的 A 处发出， :抛物线 y=a（x -6）2+h 过点（0 ，2），
:2=a（0 -6）2+2.6， 解得：
所以球能过球网；
当 y=0 时
解得：x1=6+2 ＞18 ，x2=6 -2 、 （舍去）
故会出界；
（3）当球正好过点（18 ，0）时，抛物线 y=a（x -6）2+h 还过点（0 ，2），代入解析式得：
2 = 36a + h
{ ，
0 = 144a + h
解得：
此时二次函数解析式为 此时球若不出边界 h≥ ,
当球刚能过网，此时函数解析式过（9 ，2.43），抛物线 y=a（x -6）2+h 还过点（0 ，2），代 入解析式得：
解得： ， 此时球要过网 h≥
故若球一定能越过球网，又不出边界，h 的取值范围是：h≥ .
考点：二次函数的应用
(2) k = -1-
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式直接进行求解即可；
（2）首先根据一元二次方程根与系数的关系得到x1 + x2 = 2k - 3 < 0 ，x1 . x2 = k2 + 3 > 0 ，然
后得到x1 < 0 ，x2 < 0 ，然后得到OA = -x1 ，OB = -x2 ，代入OA + OB = OA × OB -1 ，得到
- (x1 + x2 ) = x1x2 -1，然后代入x1 + x2 和x1 . x 解方程即可求解；
（3）将x1 代入x2 - (2k - 3)x + k2 + 3 = 0 ，整理得到 x12 + 3x1 = 2kx1 - k2 - 3，然后代入
m = x + 3x1 + 2kx2 得到= 3 (k -1)2 - 6 ，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）∵关于 x 的方程x2 - (2k - 3)x + k2 + 3 = 0 有实数根 x1 ，x2 ． : Δ = b2 - 4ac = (2k - 3)2 - 4× 1 × (k2 + 3) ≥ 0
解得k ≤ - ；
（2）∵关于 x 的方程x2 - (2k - 3)x + k2 + 3 = 0 有实数根 x1 ，x2 ，k ≤ - : x1 + x2 = 2k - 3 < 0 ，x1 . x2 = k2 + 3 > 0
: x1 < 0 ，x2 < 0
∵ A (x1 , 0) 、B (x2 , 0)， : OA = -x1 ，OB = -x2
∵ OA + OB = OA × OB -1
:-x1 + (-x2 ) = -x1 . (-x2 ) -1 :- (x1 + x2 ) = x1x2 -1
- (2k - 3) = k2 + 3 -1 整理得，k2 + 2k -1 = 0
解得k = -1+ 或k = -1- ∵k ≤ -
: k = -1+ 应舍去
: k = -1- ；
（3）将x1 代入x2 - (2k - 3)x + k2 + 3 = 0 得，x12 - (2k - 3)x1 + k2 + 3 = 0 : x12 + 3x1 - 2kx1 + k2 + 3 = 0
: x12 + 3x1 = 2kx1 - k2 - 3
: m = x + 3x1 + 2kx2
= 2kx1 - k2 - 3 + 2kx2
= 2k (x1 + x2 ) - k2 - 3
= 2k(2k - 3) - k2 - 3
= 3k2 - 6k - 3
= 3 (k -1)2 - 6
: m = 3 (k -1)2 - 6 :对称轴为k = 1 : 3 > 0
:抛物线开心向上
:当k < 1 时，y 随 x 的增大而减小
:当 有最小值，此时
21
:m 的最小值为 ．
【点睛】此题考查了二次函数的性质， 一元二次方程的判别式，根与系数的关系，解一元二 次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
22 ．(1)z 与x 之间的函数关系式为z = -2x +100 （ 1 ≤ x ≤ 30 ）
(2)第10 天利润最大，最大值为16000 元
(3)a 的取值范围为2 < a < 10
【分析】（1）根据待定系数法即可求解；
（2）根据题意，设总利润为 w 元，可得出总利润与第x 天的函数关系，根据二次函数顶点 式即可求解；
（3）根据数量关系，二次函数图像的性质即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，设 z = mx + n ，当 x =1 时，z = 98 ，当 x =2 时，z = 96 ，
解得
∴ z 与x 之间的函数关系式为z = -2x +100 （ 1 ≤ x ≤ 30 ）．
（2）解：设总利润为 w 元，则
w = y (z - 40) = (20x + 200)(-2x + 60) = -40(x -10)2 +16000 ， 当x =10 时，w 取得最大值，
∴第10 天利润最大，最大值为：w = 16000 （元）．
（3）解：由题意可设第x 天的销售利润为w1 元，则 w1 = (20x + 200)(-20x + 60 - a )
= -40x2 + (800 - 20a )x + 200 (60 - a )， ∴对称轴为
又知前8 天中，每天的利润随时间x （天）的增大而增大， 即a < 10 ，
又 a > 2 ，
∴ 2 < a < 10 ．
【点睛】本题主要考查销售问题，理解题目中数量关系，二次函数图像的性质是解题的关键．
【分析】本题主要考查二次函数的应用，从图象和表格中获取数据是解题的关键．
（1）①由抛物线经过(3, 9) ，(9,9) 可建立关于a ，b 的二元一次方程组，求出a ，b 的值即 可；
②联立两函数解析式求解，可求出交点A 的坐标；
（2）①根据第一问可知最大高度为 12 米；
②将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求得v 值．
【详解】（1）解：（1）①根据小球飞行的水平距离x （米) 与小球飞行的高度y （米) 的变 化规律表可知，
由抛物线经过店(3, 9) ，(9,9)
ì9a + 3b = 9
l81a + 9b = 9
í ,
解得：
:二次函数解析式为 故答案为
②联立得
解得： 或
: 点A 的坐标是(11，) ．
①由 可得
:小球飞行最大高度为 12 米， 故答案为：12．
则
解得v = 4 （负值舍去）．
24 ．
(2) AE . AF > t2
(3)F(0,1)
【分析】（1）根据顶点(0,1) 设顶点式求解即可；
（2）设 A 的横坐标为 x1 ，B 的横坐标为x2 ，C 的横坐标为x3 ，联立 得 x2 - 4kx + 4 - 4kt = 0，再根据根与系数的关系x2 + x3 = 4k ，x2x3 = 4 - 4kt ，再令y = kx + kt 的 纵坐标为0 ，得x1 =-t ，最后根据 AE. AF = x2x3 - x1 (x2 + x3 ) + x12 进行解答即可得；
（3）求出平移后解析式为 ，设CD : y = k1x + b1 ，M (m, -1) ，N (n, -1)，则
分别求出S1 ，S2 ，S3 ，再根据S = 4S1 . S3 即可求
b ．
【详解】（1）解：∵抛物线y = x2 + bx + c 的顶点(0,1) ， :抛物线解析式为
:抛物线的解析式为 故答案为
（2）解：设 A 的横坐标为 x1 ，B 的横坐标为x2 ，C 的横坐标为x3 ， Q BE⊥x 轴，CF 丄 x 轴，
:B 、E 横坐标相同且均为x2 ，C、F 横坐标相同且均为x3 ， 联立 得x2 - 4kx + 4 - 4kt = 0 ，
: x2 + x3 = 4k ，x2x3 = 4 - 4kt ， 令y = kx + kt = 0 ，解得 x = -t ， : x1 =-t ，
: AE = x2 - x1 = x2 + t ，AF = x3 - x1 = x3 + t ，
: AE . AF = (x2 + t)(x3 + t)
= x2x3 + t(x2 + x3 ) + t2
= 4 - 4kt + t . 4k + t2
= 4 + t 2 ，
∵ 4 + t2 > t2 ，
: AE . AF > t2 ；
（3）解：∵平移抛物线使其顶点在原点 O 处， :平移后解析式为
设CD : y = k1x + b1 ，M (m, -1) ，N (n, -1)，则C(m, k1m + b1 ) ，D (n, k1n + b1 ) ，F (0, b1 )， : CM = k1m + b1 +1 ，DN = k1n + b1 +1 ，MN = n - m ，EF = b1 +1 ，EM = -m ，EN = n ， :记 △CMF 的面积为S1 ， △MNF 的面积为S2 ， △DNF 的面积为S3 ，
: S = 4S1 . S3 ，
整理得(n - m)2 . (b1 +1)2 = -4mn(k1m + b1 +1)(k1n + b1 +1)，
: (n - m)2 . (b1 +1)2 = -4mnk12mn + k1 (b1 +1)(m + n) + (b1 +1)2 ， 联立 得 x2 + k1x + b1 = 0 ，
:m + n = -4k1 ，mn = 4b1 ，
: (n - m)2 = (m + n)2 - 4mn = 16k12 -16b1 ，
整理得4k12 (b1 -1)2 = 0
QCD 不与x 轴平行， : k1 ≠ 0
:b1 = 1 ，
:F(0,1) ．
【点睛】本题考查二次函数的综合； 熟练掌握二次函数的图象及性质，会用待定系数法求函 数解析式，结合一次函数的图象及性质，利用点的坐标求三角形面积是解题的关键．