【苏科】九年级上册数学第一次月考试题B卷（考试版+解析）

这是一份【苏科】九年级上册数学第一次月考试题B卷（考试版+解析），共37页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，测试范围等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：100分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第一章、第二章。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
1．关于x的一元二次方程x2+kx+k−1=0的根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．无实数根
2．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长，设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（ ）
A．x−1x−2=18B．x2−3x+16=0
C．x+1x+2=18D．x2+3x+16=0

第2题图 第3题图
3．如图所示正六边形ABCDEF的面积为6，点M是边EF的中点，连接AE、CM相交于N，若四边形AFMN的面积记作a，四边形CDEN的面积记作b，则b−a的值是（ ）
A．32B．1C．D．2
4．已知α，β是方程x2+2021x+1=0的两个根，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．如图，弓形ADB的跨度AB=8，高CD=3，则弓形所在圆的直径长为（ ）
A．5B．10C．253D．256

第5题图 第6题图 第7题图 第8题图
6．如图，在△ABC中，，以点A为圆心、2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（ ）.
A．4−49πB．4−89πC．8−πD．8−89π
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3．点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAC=∠PCB，则线段BP长的最小值是（ ）．
A．5B．13C．13−2D．13+2
8．如图，AB为⊙O直径，C为圆上一点，I为△ABC内心，AI交⊙O于D，OI⊥AD于I，若CD=4，则AC为（ ）
A．1255B．1655C．25D．5
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分．
9．若关于x的方程是一元二次方程，则m= ．
10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BC=3，则⊙O的直径为 ．

第10题图 第11题图 第15题图
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是(2,0)，(3,3)，⊙M是△OAB的外接圆，则点M的坐标为 ．
12．设α，β是方程x2−x−2021=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为 ．
13．在半径为25cm的⊙O中，弦AB=40cm，求此弦所对的弧的中点到这条弦之间的距离是 ．
14．已知实数x满足x2−x2−2x2−x−15=0，则代数式x2−x的值是 ．
15．如图，已知⊙O的直径AB，D为⊙O上一点（不与A、B重合），连接AD、BD．弦DC平分∠ADB，交AB于点E，过点A作于点F，交⊙O于点G，连接DG，若DG=AE，则∠G的度数为 °．
16．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为1cm的⊙P的圆心在直线AB上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cms的速度，沿由A向B的方向移动，那么
秒钟后⊙P与直线CD相切．

第16题图 第17题图 第18题图
17．如图在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A'MN，连接A'C，则A'C的最小值是 ．
18．如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，AB=2，AD=1，直线BD、CE相交于点P，把△ADE绕点A旋转一周，点P运动所形成的图形的长度为 ．
三、解答题：本题共8小题，共64分．
（12分）19．解方程：
(1)x−12−25=0；(2)5x−12=35x−1；
(3)x2−4x−3=0；(4)2x2+6x+2=0 ．
（6分）20．关于x的一元二次方程x2+2k+1x+k2+1=0有两个不相等实数根x1，x2．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若方程两实数根x1，x2满足x1+x2=−x1⋅x2，求k的值；
(3)已知方程的一个根为x=−3，求代数式2k3−9k2−4k+10的值．
（6分）21．不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F．

(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；
(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA=OB除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；
(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．
（6分）22．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，BD，

(1)求证：∠ADC=∠ABD；
(2)作于点F，若⊙O的半径为5，，求OF的长．
（6分）23．如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．

(1)求证：直线DE是⊙O的切线；
(2)求证：AB=AM；
（8分）24．如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．

(1)点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于？
(2)在（1）的运动情况下，线段能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
(3)若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？
（10分）25．请阅读下面材料，并完成相应的任务．
阿基米德（Arehimedes，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．

阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC>AB．M是ABC的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．

这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．
证明：如图2，过点M作MH⊥射线AB，垂足为点H，连接MA，MB，MC．
∵M是ABC的中点，
∴MA=MC．
任务：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)如图3，已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为AC上一点，∠ABD=15°．于点E，CE=3，连接AD，求△DAB的周长．
（10分）26．在平面直角坐标系xOy中，对于图形P，图形P'和直线l给出如下定义：图形P关于直线l的对称图形为P'．若图形P与图形P'均存在点在图形Q内部（包括边界），则称图形Q为图形P关于直线l的“弱相关图形”．

(1)如图，点A1,0，点B3，0．
①已知图形Q1是半径为2的⊙O，Q2是半径为1的⊙A，Q3是半径为32的⊙B，在Q1，Q2，Q3中，线段AB关于直线y=x的“弱相关图形”是： ；
②已知⊙O的半径为2，若⊙O是线段OA关于直线y=x+b的“弱相关图形”，求b的取值范围；
(2)在由第四象限、原点、x轴正半轴以及y轴负半轴组成的区域内，有一个半径为2的圆P．若存在点Ca−2,a+2，使得对于任意过点C的直线l，有圆P，满足半径r的⊙O是圆P关于l的“弱相关图形”，直接写出r的取值范围．
九年级数学上学期第一次月考
B卷·重点难点过关测
（考试时间：100分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第一章、第二章。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
1．关于x的一元二次方程x2+kx+k−1=0的根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．无实数根
【答案】A
【分析】先计算根的判别式得到Δ=k−22≥0，然后根据一元二次方程根的判别式的意义对各选项进行判断．
【详解】解：∵Δ=k2−4k−1
=k2−4k+4
=k−22≥0，
∴方程有两个实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ0，得出k的取值范围；
（2）由根与系数的关系，得x1+x2=−2k+1，x1⋅x2=k2+1，结合x1+x2=−x1⋅x2即可求解；
（3）将x=−3代入原方程，化简整理可得k2−6k=−7，利用整体代入法求解即可．
【详解】（1）解：∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=2k+12−4k2+1=4k−3>0，
解得：；
（2）由根与系数的关系，得x1+x2=−2k+1，x1⋅x2=k2+1 ．
∵x1+x2=−x1⋅x2，
∴−2k+1=−k2+1，
解得：k=0或k=2，
又∵，
∴k=2；
（3）∵方程的一个根为x=−3，
∴9−32k+1+k2+1=0，
整理可得：k2−6k=−7，
2k3−9k2−4k+10
=2k3−12k2+3k2−4k+10
=2kk2−6k+3k2−4k+10
=−14k+3k2−4k+10
=3k2−18k+10
=3k2−6k+10
=−21+10
=−11
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程中根的判别式、根与系数的关系的应用，方程的解的定义，熟练掌握其基础知识是解题的关键．
（6分）21．不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F．

(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；
(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA=OB除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；
(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据题意构造出垂径定理的基本图形，使得AE⊥l于E，BF⊥l于F．
（2）根据图形得出结论
（3）选择图①，过O作OG⊥l于G．由垂径定理知CG=GD．进而得出 EG=GF，则．
【详解】（1）解：如图所示，
在图①中AB、CD延长线交于⊙O外一点；
在图②中AB、CD交于⊙O内一点；
在图③中AB∥CD．

（2）在三个图形中均有结论：线段EC=DF．
（3）证明：如图①，过O作OG⊥l于G．由垂径定理知CG=GD．
∵AE⊥l于E，BF⊥l于F，
∴AE∥OG∥BF，
∴EGGF=AOOB，
∵AB为直径，
∴AO=OB，
∴EG=GF，
∴EC=EG−CG=GF−GD=DF．
【点睛】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形.
（6分）22．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，BD，

(1)求证：∠ADC=∠ABD；
(2)作于点F，若⊙O的半径为5，，求OF的长．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）利用等角的余角相等证明即可；
（2）利用勾股定理求出DE，AD，再利用∠A的正弦函数求解即可．
【详解】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠DEB=90°，
∴∠ADC+∠CDB=90°，∠CDB+∠ABD=90°，
∴∠ADC=∠ABD；
解法二：∵AB⊥CD，AB是直径，
∴AC=AD，
∴∠ADC=∠ABD．
（2）如图，连接OD，

在Rt△OED中，DE=OD2−OE2=52−32=4，
在Rt△ADE中，AD=AE2+DE2=83+42=45，
∵sin∠A=OFOA=DEAD，
，
∴．
【点睛】此题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（6分）23．如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．

(1)求证：直线DE是⊙O的切线；
(2)求证：AB=AM；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到∠OAD=∠DAC，证明OD∥AC，根据平行线的性质得到DE⊥OD，根据切线的判定定理证明即可；
（2）根据题意证得∠M=∠ABM，再根据等边对等角即可证明．
【详解】（1）解：证明：连接OD，

∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD=∠DAC，
，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线DE是⊙O的切线；
（2）∵线段AB是⊙O的直径，
∠ADB=90°，
∠ADM=180°−∠ADB=90°，
∠M+∠DAM=90°，
，
，
，
∴AB=AM．
【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、圆周角定理、直角三角形的性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
（8分）24．如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．

(1)点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于？
(2)在（1）的运动情况下，线段能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
(3)若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？
【答案】(1)经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2
(2)线段不能将△ABC分成面积相等的两部分，理由见解析
(3)经过5−2秒或5秒或5+2秒后，△PBQ的面积为1cm2
【分析】(1) 设经过x秒，使△PBQ的面积等于，解方程126−x⋅2x=8即可．
(2) 设经过y秒，线段将△ABC分成面积相等的两部分，判断方程y2−6y+12＝0根的情况即可．
(3) 分类求解即可．
【详解】（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于，
依题意得：126−x⋅2x=8，
解得：x1＝2，x2＝4，
经检验，x1,x2均符合题意．
即经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于．
（2）设经过y秒，线段将△ABC分成面积相等的两部分，
依题意得：△ABC的面积=12×6×8=24cm2，
∴△PBQ的面积=12×6−y×2y=12cm2，
整理得：y2−6y+12=0，
∵△=b2−4ac=36−4×12=−12＜0，
∴此方程无实数根，
∴线段不能将△ABC分成面积相等的两部分．
（3）①点P在线段AB上，点Q在线段CB上0AB．M是ABC的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．

这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．
证明：如图2，过点M作MH⊥射线AB，垂足为点H，连接MA，MB，MC．
∵M是ABC的中点，
∴MA=MC．
任务：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)如图3，已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为AC上一点，∠ABD=15°．于点E，CE=3，连接AD，求△DAB的周长．
【答案】(1)见解析
(2)6+32
【分析】（1）先证△AHM≌△CDMAAS，推出MH=DM，AH=CD．再证Rt△BMH≌Rt△BMDHL，推出BH=BD，等量代换可得CD=AH=AB+BH=AB+BD；
（2）先利用等边三角形的性质证明∠CBE=∠ABC−∠ABD=45°，进而证明∠ECB=∠CBE=45°，CE=BE=3，求出AB=BC=32，再利用（1）中结论可得BE=DE+AD=3，通过等量代换可得AD+BD+AB=AD+DE+BE+AB=2BE+AB．
【详解】（1）证明：如图，MA=MC，

∵MH⊥AH，，
∴∠H=∠CDM=90°．
又∵∠A=∠C，
∴△AHM≌△CDMAAS，
∴MH=DM，AH=CD．
∵∠H=∠BDM=90°，BM=BM，
∴Rt△BMH≌Rt△BMDHL．
∴BH=BD．
∴CD=AH=AB+BH=AB+BD．
（2）解：如图，

∵△ABC是等边三角形，
∴，∠ABC=60°．
∵∠ABD=15°．
∴∠CBE=∠ABC−∠ABD=45°．
∵，
∴∠ECB=∠CBE=45°，
∴CE=BE=3，
∴AB=BC=32，
∵BC=AC，
∴BC=AC，
∴点C是ACB的中点．
∴由（1）的结论得，BE=DE+AD=3，
∴△DAB的周长是AD+BD+AB=AD+DE+BE+AB=6+32．
【点睛】本题考查圆的基本性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质等，解题的关键是熟练运用等量代换思想．
（10分）26．在平面直角坐标系xOy中，对于图形P，图形P'和直线l给出如下定义：图形P关于直线l的对称图形为P'．若图形P与图形P'均存在点在图形Q内部（包括边界），则称图形Q为图形P关于直线l的“弱相关图形”．

(1)如图，点A1,0，点B3，0．
①已知图形Q1是半径为2的⊙O，Q2是半径为1的⊙A，Q3是半径为32的⊙B，在Q1，Q2，Q3中，线段AB关于直线y=x的“弱相关图形”是： ；
②已知⊙O的半径为2，若⊙O是线段OA关于直线y=x+b的“弱相关图形”，求b的取值范围；
(2)在由第四象限、原点、x轴正半轴以及y轴负半轴组成的区域内，有一个半径为2的圆P．若存在点Ca−2,a+2，使得对于任意过点C的直线l，有圆P，满足半径r的⊙O是圆P关于l的“弱相关图形”，直接写出r的取值范围．
【答案】(1)①Q3，②−22≤b≤7−12
(2)r≥22+2
【分析】（1）①根据定义新图形的规律，分别求出点A1,0，点B3，0对称点的坐标，结合图形即可求解；
②分当b>0时和b0时，点A离对称轴直线y=x+b较远，如图：当A'在⊙O上时，

同理可得DA=DA'，
连接OA'，在Rt△DOA'中，设DO=a，则DO'=a，A'O'=AO=1，
∵A'O2=DO2+A'D2，
∴22=x2+x+12，
解得：x1=7−12，x2=−7+12（舍去），
∴DO=7−12，
∴D1−72,0，
代入y=x+b，
解得：b=7−12，
综上所述：−22≤b≤7−12．
（2）解：∵Ca−2，a+2，
∴a+2=a−2+4，
即C在直线y=x+4上，
如图所示：过点O作OS⊥y=x+4于点S，

由y=x+4，令x=0,y=4，
令y=0,x=4，
∴OS=4×442=22，
依题意，点C在直线y=x+4上运动，过点C的直线为对称轴，将⊙Q与⊙P对称，
∵半径r的⊙O是圆P关于l的“弱相关图形”，
∴r≥OP+2，
∴当⊙O与坐标轴相切时，r取得最小值，
此时点P2,−2，则OP=22，
又∵点C在直线y=x+4上运动，CO不能与y=x平行，
∴Q点只能接近点S，
∴⊙Q的最外端一点与O的距离小于OP+2，
∴即r的最小值为：OP+2，
即r≥22+2．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中图形的轴对称，圆与直线的关系，掌握对称的性质，几何图形变换的规律，结合点坐标，线段长度关系是解题的关键．