黑龙江省大庆市大庆中学2025~2026学年高二上学期开学考试数学试卷

这是一份黑龙江省大庆市大庆中学2025~2026学年高二上学期开学考试数学试卷，共5页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上， 已知向量，，若，则， 已知复数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数对应的点为，则（ ）
A. 2B. 1C. D.
3. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. 3D. 5
4. 某人连续射击两次，事件“两次都没有命中目标”对立事件是（ ）
A. 至少有一次命中目标B. 至多有一次命中目标
C. 恰好两次都命中目标D. 恰好有一次命中目标
5. 已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A. B.
C. D.
6. 若非零向量,满足，则与的夹角为
A. B. C. D.
7. 某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中MA、NB均与水平面ABC垂直.并已测得可直接到达的两点间距离，在C处观测M的仰角为观测N的仰角为60°，且，则M与N之间的距离为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，点分别为的中点，则异面直线和所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
10. 已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A. z的虚部为1B. z的共轭复数为
C. D. z在复平面内对应的点位于第二象限
11. 甲袋中有2个黑球，2个白球，乙袋中有2个黑球，1个白球，这些小球除颜色外完全相同.从甲、乙两袋中各任取1个球，则下列结论正确的是（ ）
A. 2个球都是黑球的概率为B. 2个球都是白球的概率为
C. 1个黑球1个白球的概率为D. 2个球中最多有1个黑球的概率为
三、填空题
12. 某次体检，7位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.41，1.80，1.69，1.77，则这组数据的第75百分位数是______（米）
13. 如图所示，在正方体中，是中点，若，则点到平面的距离为___________.
14. 在立方体中放入9个球，一个与立方体6个面都相切，其余8个相等的球都与这个球及立方体的三个面相切，已知8个相等的球的半径都为，则立方体的体积为__________．
四、解答题
15. 某景点某天接待了1250名游客，老年625人，中青年500人，少年125人，景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访.将统计结果按照分成5组，制成如下频率分布直方图：

（1）求抽取样本老年、中青年、少年的人数；
（2）求频率分布直方图中a的值；
（3）估计当天游客满意度分值的分位数.
16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且_________．
在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面横线中，并解答下列问题．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
（1）求；
（2）若，求．
17. 已知棱长均相等的正三棱柱，M，N分别为棱，中点．
（1）证明：平面；
（2）证明：平面．
18. 为了鼓励社会力量参与科技创新拔尖人才贯通式培育工作，提高青少年对人工智能的整体认知和应用水平，某地区面向该区青少年举办了“算法设计”科普公益大赛．
（1）若A，B，C三个赛区进入决赛的分别有1人、2人、3人，现需从这6人中随机选择2人组成一队进行模拟测试，求这两人来自同一个赛区的概率；
（2）某个算法编程题，若甲同学能解决的概率为0.8，乙同学能解决的概率为0.9，且甲、乙能否解决问题相互独立，求甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决该题的概率；
（3）对甲、乙两位同学进行两轮测试，若每轮测试中甲、乙同学各解决一道题，每一轮中每一道题甲、乙能解决的概率分别为0.8和0.9，且在每轮测试中甲、乙能否解决问题互不影响，每一轮的结果也互相不影响，求两轮测试中甲、乙共能解决三道题的概率．
19. 在中，为角对应的边，S为的面积，且满足如下条件：.
（1）求角A；
（2）若，求面积最大值；
（3）为锐角三角形，且，若恒成立，求实数的取值范围.