贵州省遵义市第四中学2025~2026学年高二上学期开学检测数学试卷

这是一份贵州省遵义市第四中学2025~2026学年高二上学期开学检测数学试卷，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数（是虚数单位）的虚部为（ ）
A 3B. C. D.
3. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 一组数据满足，若去掉后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（ ）
A. 极差变大B. 平均数变大
C. 方差变小D. 第25百分位数变小
5. 已知正方体的棱长为1，为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 平面与平面平行的充分条件可以是（ ）
A. 内有无穷多条直线都与平行；
B. 直线，直线，且；
C. 直线，且直线不在内，也不在内；
D. 内任何一条直线都与平行.
7. 已知是夹角为的两个非零向量，且，若向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A. B. C. D. 2
8. 已知函数的定义域为，为偶函数，若对任意的，，都有，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共3小题）
9. 下列各式最小值为2是（ ）
A. B. （且）
C. D. 为第一象限角）
10. 已知函数，恰好存在4个不同的正数，使得，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵中，AC⊥BC，且．下列说法正确的是（ ）
A. 四棱锥为“阳马”
B. 四面体的顶点都在同一个球面上，且球的表面积为
C. 四棱锥体积最大值为
D. 四面体为“鳖臑”
三、填空题（本大题共3小题）
12. 若不等式对一切恒成立，则a的取值范围是______．
13. 在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．

14. 在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和．过作于，于，则________．
四、解答题（本大题共5小题）
15. 已知，，与的夹角为．
（1）求，的值；
（2）若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围．
16. 为庆祝“五四”青年节，广州市有关单位举行了“五四”青年节团知识竞赛活动，为了解全市参赛者成绩的情况，从所有参赛者中随机抽样抽取100名，将其成绩整理后分为6组，画出频率分布直方图如图所示（最低90分，最高150分），但是第一、二两组数据丢失，只知道第二组的频率是第一组的2倍．
（1）求第一组、第二组的频率各是多少？并补齐频率分布直方图；
（2）现划定成绩大于或等于上四分位数即第75百分位数为“良好”以上等级，根据直方图，估计全市“良好”以上等级的成绩范围（保留1位小数）；
（3）现知道直方图中成绩在内的平均数为136，方差为8，在内的平均数为144，方差为4，求成绩在内的平均数和方差．
17. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别是的中点．
（1）求证：平面；
（2）在上取一点（不与重合），设过点和平面交平面于，求证：．
18. 中，.
（1）当时，求的最大值；
（2）当时，求周长的最小值.
19. 已知函数，.
（1）求的值；
（2）若方程在区间上有唯一的实数解，求实数的取值范围；
（3）对任意，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.