【中考数学】2025年四川省内江市中考适应性模拟试卷（含解析）

这是一份【中考数学】2025年四川省内江市中考适应性模拟试卷（含解析），共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）中国是世界上最早使用负数的国家，负数早已广泛应用到生产和生活中．例如，零上3℃记作+3℃，则零下3℃记作（ ）
A．−13℃B．13℃C．﹣3℃D．3℃
2．（3分）古钱币是我国珍贵的历史文化遗产．下列选项是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）2025年5月14日12时12分，全球首个太空计算星座在酒泉卫星发射中心成功发射，此次发射的太空计算星座共有12颗卫星，其中10颗为“内江城市卫星星群”成员，若每颗卫星每天处理的数据量为3500000000字节，则“内江城市卫星星群”每天处理的总数据量可达到35000000000字节，将数据35000000000用科学记数法表示为（ ）
A．35×109B．3.5×109C．3.5×1010D．0.35×1010
4．（3分）在函数y=x−2中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2B．x≤2C．x＞2D．x＜2
5．（3分）某体育用品专卖店在一段时间内销售了20双运动鞋，其中几种尺码运动鞋的销售量如表所示：
这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．24.5，25B．25，25C．25，25.5D．25.5，26
6．（3分）如图是正方体的表面展开图，与“共”字相对的字是（ ）
A．安B．全C．校D．园
7．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x2•x4＝x8B．（x﹣y）2＝x2﹣y2
C．x+2x2＝3x2D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
8．（3分）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA＝150cm，阻力臂OB＝50cm，BD＝20cm，则AC的长度是（ ）
A．80cmB．60cmC．50cmD．40cm
9．（3分）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（ ）
A．72（100﹣x）＝60（100+3﹣x）
B．60（100﹣x）＝72（100﹣3﹣x）
C．60（100+x）＝72（100﹣3+x）
D．100−x60=100−3−x72
10．（3分）按如下步骤作四边形ABCD：（1）画∠EAF；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AE、AF于点B、D；（3）分别以点B和点D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接BC、DC、BD．若∠A＝40°，则∠BDC的度数是（ ）
A．64°B．66°C．68°D．70°
11．（3分）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤2B．a＜2C．a≤2且a≠1D．a＜2且a≠1
12．（3分）对于正整数x，规定函数f(x)=3x+1(x为奇数)12x(x为偶数)．在平面直角坐标系中，将点（m，n）中的m，n分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中m，n均为正整数）．例如，点（8，5）经过第1次运算得到点（4，16），经过第2次运算得到点（2，8），经过第3次运算得到点（1，4），经过有限次运算后，必进入循环圈．按上述规定，将点（2，1）经过第2025次运算后得到点是（ ）
A．（2，1）B．（4，2）C．（1，2）D．（1，4）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）
13．（4分）分解因式：a2﹣1＝ ．
14．（4分）在英文单词“banana”中任选一个字母，字母“a”被选中的概率是 ．
15．（4分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8，OC＝5．则DC的长是 ．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E、F分别是边AD、CD上的动点，连接BE、EF，点G为BE的中点，点H为EF的中点，连接GH，则GH的最大值是 ．
三、解答题（本大题共5小题，共48分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．）
17．（10分）（1）计算：(π−1)0+|−3|+16−tan45°；
（2）化简：3x+4x+1−1x+1．
18．（9分）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AC＝DF，∠A＝∠D，AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BF＝4，FC＝3，求BE的长．
19．（10分）内江，东汉建县，古称汉安，是一座依江而生、因水得名的城市．“成渝之心、大千故里、甜蜜之城”是新时代内江的三张靓丽名片，也是“心里甜”的由来．为弘扬内江传统文化，我市将举办中小学生“知内江、爱内江、兴内江”知识竞赛活动．某校举办选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，成绩按百分制分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表．
根据统计图表中的信息解答下列问题：
（1）表中m＝ ；扇形统计图中，表示成绩等级为D的扇形圆心角为 度．
（2）若全校有3000人参加了此次选拔赛，其中成绩等级为A的学生大约有多少人？
（3）现从成绩等级为A的甲、乙、丙、丁4人中随机选出2人参加市级比赛，请通过列表或画树状图的方法求出甲、乙两人同时被选中的概率．
20．（9分）在综合与实践活动中，某学习小组计划测量内江麻柳坝大桥桥塔AD的高度（如图甲）．他们设计了如下方案：如图乙，点B、D、C依次在同一条水平直线上，在B处测得桥塔顶部A的仰角（∠ABD）为45°，在C处测得桥塔顶部A的仰角（∠ACD）为30°，又测得BC＝80m，AD⊥BC，垂足为D，求桥塔AD的高度（结果保留根号）．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=k1x的图象与一次函数y＝k2x+b的图象相交于A（a，6）、B（﹣6，1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）当x＜0时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式k2x+b−k1x≥0的解集；
（3）过直线AB上的点C作CD∥x轴，交反比例函数的图象于点D．若点C横坐标为﹣4，求△BOD的面积．
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．）
22．（6分）已知实数a，b满足a+b＝2，则a2﹣b2+4b＝ ．
23．（6分）对于x、y定义了一种新运算G，规定G（x，y）＝x+3y．若关于a的不等式组G(a，1−2a)≥−2G(−2a，1+4a)＞P恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 ．
24．（6分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为（1，0），点E在边CD上．将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为（0，3），则点E的坐标为 ．
25．（6分）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AB=22，点D、E、F分别是边BC、AB、AC上的动点，则△DEF周长的最小值是 ．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．)
26．（12分）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．
（1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？
（2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？
（3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价a（60≤a≤100）元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值．
27．（12分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，点O是边AB上一点，以点O为圆心、OB长为半径作圆，⊙O恰好经过点D，交AB于点E．
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）若点E为AO的中点，AD＝3，求阴影部分的面积；
（3）连接DE，若sin∠DBA=55，求csA的值．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，过点B的直线l：y＝x﹣1与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接MB、MD，设点M的纵坐标为n，当MB＝MD时，求n的值；
（3）如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转90°后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
2025年四川省内江市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3分）中国是世界上最早使用负数的国家，负数早已广泛应用到生产和生活中．例如，零上3℃记作+3℃，则零下3℃记作（ ）
A．−13℃B．13℃C．﹣3℃D．3℃
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：“正”和“负”相对，所以，中国是世界上最早使用负数的国家，负数早已广泛应用到生产和生活中．例如，零上3℃记作+3℃，则零下3℃记作﹣3℃．
故选：C．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．
2．（3分）古钱币是我国珍贵的历史文化遗产．下列选项是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此进行判断即可．
【解答】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，
B不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意，
C不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意，
D是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查中心对称图形，轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．
3．（3分）2025年5月14日12时12分，全球首个太空计算星座在酒泉卫星发射中心成功发射，此次发射的太空计算星座共有12颗卫星，其中10颗为“内江城市卫星星群”成员，若每颗卫星每天处理的数据量为3500000000字节，则“内江城市卫星星群”每天处理的总数据量可达到35000000000字节，将数据35000000000用科学记数法表示为（ ）
A．35×109B．3.5×109C．3.5×1010D．0.35×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：35000000000＝3.5×1010．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）在函数y=x−2中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2B．x≤2C．x＞2D．x＜2
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求得答案．
【解答】解：已知函数y=x−2，
则x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故选：A．
【点评】本题考查函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
5．（3分）某体育用品专卖店在一段时间内销售了20双运动鞋，其中几种尺码运动鞋的销售量如表所示：
这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．24.5，25B．25，25C．25，25.5D．25.5，26
【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：由表知，这组数据中25出现次数最多，有10次，
所以这组数据的众数为25；
中位数是数据排列后，第10个和第11数据的平均数，
所以这组数据的中位数为25+252=25．
故选：B．
【点评】本题考查了众数和中位数，解题的关键是根据它们的定义来解答．
6．（3分）如图是正方体的表面展开图，与“共”字相对的字是（ ）
A．安B．全C．校D．园
【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．
【解答】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，
∴在此正方体上与“共”字相对的面上的字是“全”．
故选：B．
【点评】本题考查了正方体的展开图，解题关键是从相对面入手进行分析及解答问题．
7．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x2•x4＝x8B．（x﹣y）2＝x2﹣y2
C．x+2x2＝3x2D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
【分析】利用平方差公式，完全平方公式，合并同类项，同底数幂乘法法则逐项判断即可．
【解答】解：x2•x4＝x6，则A不符合题意，
（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，则B不符合题意，
x与2x2不是同类项，无法合并，则C不符合题意，
（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，则D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查平方差公式，完全平方公式，合并同类项，同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
8．（3分）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA＝150cm，阻力臂OB＝50cm，BD＝20cm，则AC的长度是（ ）
A．80cmB．60cmC．50cmD．40cm
【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得AC的长度．
【解答】解：∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴AC∥BD，
∴△AOC∽△BOD，
∴ACBD=OAOB，
∵OA＝150cm，OB＝50cm，BD＝20cm，
∴AC20=15050，
∴AC＝60，
∴AC的长为60cm．
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式．
9．（3分）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（ ）
A．72（100﹣x）＝60（100+3﹣x）
B．60（100﹣x）＝72（100﹣3﹣x）
C．60（100+x）＝72（100﹣3+x）
D．100−x60=100−3−x72
【分析】利用总利润＝每套的销售利润×销售数量，结合总利润不变，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：60（100﹣x）＝72（100﹣3﹣x）．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
10．（3分）按如下步骤作四边形ABCD：（1）画∠EAF；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AE、AF于点B、D；（3）分别以点B和点D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接BC、DC、BD．若∠A＝40°，则∠BDC的度数是（ ）
A．64°B．66°C．68°D．70°
【分析】由尺规作图可知AB＝AD＝BC＝DC，则四边形ABCD是菱形，根据菱形性质得AB∥CD，∠BDC=12∠ADC，再根据∠A＝40°得∠ADC＝140°，由此可得出∠BDC的度数．
【解答】解：由尺规作图可知：AB＝AD＝BC＝DC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，∠BDC＝∠ADB=12∠ADC，
∴∠A+ADC＝180°，
∵∠A＝40°，
∴∠ADC＝180°﹣∠A＝140°，
∴∠BDC=12∠ADC＝70°．
故选：D．
【点评】此题主要考查了尺规作图，菱形的性质，熟练掌握尺规作图，菱形的性质是解决问题的关键．
11．（3分）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤2B．a＜2C．a≤2且a≠1D．a＜2且a≠1
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，可列出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出实数a的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，
∴a−1≠0Δ=22−4×(a−1)×1≥0，
解得：a≤2且a≠1，
∴实数a的取值范围是a≤2且a≠1．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，找出关于a的一元一次不等式组是解题的关键．
12．（3分）对于正整数x，规定函数f(x)=3x+1(x为奇数)12x(x为偶数)．在平面直角坐标系中，将点（m，n）中的m，n分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中m，n均为正整数）．例如，点（8，5）经过第1次运算得到点（4，16），经过第2次运算得到点（2，8），经过第3次运算得到点（1，4），经过有限次运算后，必进入循环圈．按上述规定，将点（2，1）经过第2025次运算后得到点是（ ）
A．（2，1）B．（4，2）C．（1，2）D．（1，4）
【分析】求函数值，通过计算点（2，1）每次运算后的结果，发现其变化呈现周期性循环，周期为3次．利用周期性规律，确定第2025次运算后的结果．
【解答】解：初始点：（2，1）（第0次运算）．
第1次：横坐标2为偶数，f(2)=22=1，纵坐标1为奇数，f（1）＝3×1+1＝4；，得到点（1，4）．
第2次：横坐标1为奇数，f（1）＝3×1+1＝4，纵坐标4为偶数，f(4)=42=2，得到点（4，2）．
第3次：横坐标4为偶数，f(4)=42=2，纵坐标2为偶数，f(2)=22=1，得到点（2，1），与初始点相同，即三次一循环，
∴2025÷3＝675，
∴第2025次运算后对应点与第3次运算后的点相同，即（2，1）．
故选：A．
【点评】本题考查了数字类规律探究，点的坐标规律，正确找出规律是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）
13．（4分）分解因式：a2﹣1＝ （a+1）（a﹣1） ．
【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）．
故答案为：（a+1）（a﹣1）．
【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．
14．（4分）在英文单词“banana”中任选一个字母，字母“a”被选中的概率是 12 ．
【分析】让“a”的个数除以所有字母的个数即为所求的概率．
【解答】解：在英文单词“banana”中共6个字母，其中字母“a”有3个；
则字母为“c”的概率是：36=12．
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了概率公式，解题的关键掌握如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）= mn．
15．（4分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8，OC＝5．则DC的长是 2 ．
【分析】根据垂径定理由OC⊥AB得到AD=12AB＝4，再根据勾股定理开始出OD，然后用OC﹣OD即可得到DC．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD＝BD=12AB=12×8＝4，
在Rt△OAD中，OA＝5，AD＝4，
∴OD=OA2−AD2=3，
∴DC＝OC﹣OD＝5﹣3＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E、F分别是边AD、CD上的动点，连接BE、EF，点G为BE的中点，点H为EF的中点，连接GH，则GH的最大值是 5 ．
【分析】由勾股定理可求BD的长，由三角形中位线定理可得BF＝2GH，当BF有最大值时，GH有最大值，即当点F与点D重合时，BF有最大值为10，即可求解．
【解答】解：如图，连接BD，BF，
∵AB＝8，AD＝6，
∴BD=AB2+AD2=10，
∵点G为BE的中点，点H为EF的中点，
∴BF＝2GH，
∴当BF有最大值时，GH有最大值，
∵点F是CD的点，
∴当点F与点D重合时，BF有最大值为10，
∴GH的最大值为5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共5小题，共48分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．）
17．（10分）（1）计算：(π−1)0+|−3|+16−tan45°；
（2）化简：3x+4x+1−1x+1．
【分析】（1）利用零指数幂，绝对值的性质，算术平方根的定义，特殊锐角三角函数值计算后再算加减即可；
（2）先将分子相减，然后进行约分即可．
【解答】解：（1）原式＝1+3+4﹣1
＝7；
（2）原式=3x+3x+1
=3(x+1)x+1
＝3．
【点评】本题考查分式的加减法，实数的运算，零指数幂，特殊锐角三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．（9分）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AC＝DF，∠A＝∠D，AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BF＝4，FC＝3，求BE的长．
【分析】（1）根据AB∥DE得∠A＝∠E，由此可依据“AAS”判定△ABC和△DEF全等；
（2）根据△ABC和△DEF全等得BC＝EF，进而得BF＝EC＝4，由此即可得出BE的长．
【解答】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠E，
在△ABC和△DEF中，
∠A=∠E∠A=∠DAC=DF，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（2）解：由（1）可知：△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BF+CF＝EC+CF，
∴BF＝EC，
∵BF＝4，FC＝3，
∴EC＝4，
∴BE＝BF+EF+EC＝4+3+4＝11．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键．
19．（10分）内江，东汉建县，古称汉安，是一座依江而生、因水得名的城市．“成渝之心、大千故里、甜蜜之城”是新时代内江的三张靓丽名片，也是“心里甜”的由来．为弘扬内江传统文化，我市将举办中小学生“知内江、爱内江、兴内江”知识竞赛活动．某校举办选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，成绩按百分制分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表．
根据统计图表中的信息解答下列问题：
（1）表中m＝ 60 ；扇形统计图中，表示成绩等级为D的扇形圆心角为 60 度．
（2）若全校有3000人参加了此次选拔赛，其中成绩等级为A的学生大约有多少人？
（3）现从成绩等级为A的甲、乙、丙、丁4人中随机选出2人参加市级比赛，请通过列表或画树状图的方法求出甲、乙两人同时被选中的概率．
【分析】（1）由B的人数除以所占百分比得出抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）由全校参赛学生人数乘以成绩等级为A的学生所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人被同时选中的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）随机抽取的学生共有：24÷40%＝60（人），
∴m＝60﹣24﹣14﹣10＝12，人），
扇形统计图中，表示成绩等级为D的扇形圆心角为：360°×1060=60°，
故答案为：60，60；
（2）3000×1260=600（人），
答：若全校有3000人参加了此次选拔赛，其中成绩等级为A的学生大约有600人；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人被同时选中的结果有2种，
∴甲、乙两人被同时选中的概率为212=16．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（9分）在综合与实践活动中，某学习小组计划测量内江麻柳坝大桥桥塔AD的高度（如图甲）．他们设计了如下方案：如图乙，点B、D、C依次在同一条水平直线上，在B处测得桥塔顶部A的仰角（∠ABD）为45°，在C处测得桥塔顶部A的仰角（∠ACD）为30°，又测得BC＝80m，AD⊥BC，垂足为D，求桥塔AD的高度（结果保留根号）．
【分析】设AD＝x m，解Rt△ABD得到BD＝x m，解Rt△ACD得到CD=3x m，再由BC＝BD+CD＝80m，得到x+3x＝80，解方程即可得到答案．
【解答】解：设AD＝x m，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，
∴BD=ADtan∠ABD=xtan45°=x（m），
在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，
∴CD=ADtan∠ACD=xtan30°=3x（m），
∵BC＝BD+CD＝80m，
∴x+3x＝80，
解得x＝403−40，
∴AD＝（403−40）m，
答：桥塔AD的高度为（403−40）m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=k1x的图象与一次函数y＝k2x+b的图象相交于A（a，6）、B（﹣6，1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）当x＜0时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式k2x+b−k1x≥0的解集；
（3）过直线AB上的点C作CD∥x轴，交反比例函数的图象于点D．若点C横坐标为﹣4，求△BOD的面积．
【分析】（1）先根据点B（﹣6，1）利用待定系数法可求出反比例函数的表达式；再通过反比例函数的表达式求出点A的坐标，最后利用待定系数法即可求出一次函数的表达式；
（2）所求不等式的解集即为求一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方时，x的取值范围；
（3）根据题意得出B（﹣6，1），D（﹣2，3），根据反比例函数k的几何意义得出S△BFO＝S△DEO＝3，则S△BOD＝S梯形BFED＝8，即可求解．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=k1x的图象过点B（﹣6，1），
∴k1＝﹣6×1＝﹣6，
故反比例函数的表达式为y=−6x，
把点A（a，6）代入反比例函数y=−6x得，6=−6a，
解得a＝﹣1，
∴点A的坐标为（﹣1，6），
∵一次函数的图象经过A（﹣1，6）、B（﹣6，1）两点，
∴−k+b=6−6k+b=1，解得k=1b=7，
故一次函数的表达式为y＝x+7；
（2）∵k2x+b−k1x≥0，
∴k2x+b≥k1x，即一次函数图象在反比例函数图象的上方，
∴﹣6≤x≤﹣1；
（3）∵点C横坐标为﹣4，代入y＝x+7，
解得：y＝﹣4+7＝3，
∴C（﹣4，3），
当y＝3时，代入y=−6x，得3=−6x，
解得：x＝﹣2，
∴D（﹣2，3），
如图，过点B，D分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，
∵B（﹣6，1），D（﹣2，3），
∴DE＝3，BF＝1，EF＝﹣2﹣（﹣6）＝4，
∵S△BOD+S△BFO＝S梯形BFED+S△DEO，S△BFO＝S△DEO＝3，
∴S△BOD＝S梯形BFED=12（DE+BF）EF=12×（3+1）×4＝8．
【点评】本题考查了利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数k的几何意义、函数图象的特点，掌握理解函数图象的特点是解题关键．
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．）
22．（6分）已知实数a，b满足a+b＝2，则a2﹣b2+4b＝ 4 ．
【分析】利用平方差公式将原式变形后代入数值计算，然后将其整理后再代入数值计算即可．
【解答】解：∵a+b＝2，
∴a2﹣b2+4b
＝（a+b）（a﹣b）+4b
＝2（a﹣b）+4b
＝2a﹣2b+4b
＝2a+2b
＝2（a+b）
＝2×2
＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查平方差公式，将原式进行正确地变形是解题的关键．
23．（6分）对于x、y定义了一种新运算G，规定G（x，y）＝x+3y．若关于a的不等式组G(a，1−2a)≥−2G(−2a，1+4a)＞P恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 ﹣17≤P＜﹣7 ．
【分析】依据题意，先根据新定义化简关于a的不等式，根据不等式组有3个整数解，得出−2≤P−310＜−1进而解不等式组，即可求解．
【解答】解：由题意，∵G（x，y）＝x+3y，
∴关于a的不等式组G(a，1−2a)≥−2G(−2a，1+4a)＞P，即为a+3(1−2a)≥−2①−2a+3(1+4a)＞P②，
∴解不等式①得：a≤1，解不等式②得：a＞P−310．
∵不等式组有3个整数解，
∴整数解为﹣1，0，1，
∴−2≤P−310＜−1．
∴﹣17≤P＜﹣7．
故答案为：﹣17≤P＜﹣7．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能根据找不等式的解集和已知得出关于P的不等式组是解此题的关键．
24．（6分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为（1，0），点E在边CD上．将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为（0，3），则点E的坐标为 （﹣1.5，5） ．
【分析】设正方形ABCD的边长为a，CD与y轴相交于G，则四边形BOGC 矩形，推出OG＝BC＝a，CG＝ BO，∠EGF＝90°．由折叠的性质，得AD＝AF＝a，DE＝FE．根据点B的坐标为 （1，0），点F的坐标为（0，3），得出BO＝1，FO＝ 3，所以AO＝AB﹣BO＝a﹣1．在Rt△AOF 中，AO2+FO2＝AF2，解得 a＝5，则FG＝OG﹣OF＝2，GE＝CD﹣CG﹣DE＝4﹣DE．在Rt△EGF中，GE2+FG2＝EF2，解得DE＝2.5，所以GE＝1.5，则点E的坐标为 （﹣1.5，5）．
【解答】解：如图，设正方形ABCD的边长为a，CD与y轴相交于G，
则四边形BOGC是矩形，
∴OG＝BC＝a，CG＝ BO，∠EGF＝90°．
由折叠的性质，得AD＝AF＝a，DE＝FE．
∵点B的坐标为 （1，0），点F的坐标为（0，3），
∴BO＝1，FO＝ 3，
∴AO＝AB﹣BO＝a﹣1．
在Rt△AOF 中，AO2+FO2＝AF2，
∴（a﹣1）2+32＝a2，
解得a＝5，
∴FG＝OG﹣OF＝2，GE＝CD﹣CG﹣DE＝4﹣DE．
在Rt△EGF中，GE2+FG2＝EF2，
∴（4一 DE）2+22＝DE2，
解得DE＝2.5，
∴GE＝1.5，
∴点E的坐标为 （﹣1.5，5）．
故答案为：（﹣1.5，5）．
【点评】本题考查翻折变换，正方形的性质，坐标与图形变化—对称，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
25．（6分）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AB=22，点D、E、F分别是边BC、AB、AC上的动点，则△DEF周长的最小值是 23 ．
【分析】作点D关于AB，AC的对称点N，M，连接AM，AN，EN，FN，MN，AD，得出△AMN是等腰直角三角形，当AD⊥BC时，AD取得最小值，即△DEF周长最小，进而求得AD，即可求解．
【解答】解：如图，作点D关于AB，AC的对称点N，M，连接AM，AN，EN，FN，MN，AD，
∴△DEF周长为DE+EF+FD＝NE+EF+FM≥MN，
当N，E，F，M四点共线时取得最小值，
∵N，M是D关于AB，AC的对称点，
∴∠NAE＝∠EAD，∠FAD＝∠FAM，AN＝AD＝AM，
又∵∠EAD+∠FAD＝45°，
∴∠NAM＝∠NAE+∠EAD+∠FAD+∠FAM＝90°，
∴△AMN是等腰直角三角形，
∴MN=2AN=2AD，
∴当AD⊥BC时，AD取得最小值，即△DEF周长最小，
又∵∠B＝60°，AB=22，
∴ADmin=ABsin60°=22×32=6，
∴△DEF周长最小为2AD=2×6=23，
故答案为：23．
【点评】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，垂线段最短，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键，
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．)
26．（12分）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．
（1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？
（2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？
（3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价a（60≤a≤100）元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值．
【分析】（1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可；
（2）设需要购进B款纪念品 m个，则需要购进A款纪念品 （400﹣m） 个，根据购买资金不超过 12000元建立不等式求解即可；
（3）根据题意可得每个A款纪念品的利润为 （a﹣40）元，销售量为[200﹣5（a﹣60）]个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可．
【解答】解：（1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，
由题意得200x+300y=14000100x+200y=8000，
解得x=40y=20，
答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；
（2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品 （400﹣m）个，
由题意得，40（400﹣m）+20m≤12000，
解得m≥200，
∴m的最小值为200，
答：至少需要购进B款纪念品200个；
（3）由题意得，W＝（a﹣40）[200﹣5（a﹣60）]
＝（a﹣40）（200﹣5a+300）
＝（a﹣40）（500﹣5a）
＝500a﹣20000﹣5a2+200a
＝﹣5（a﹣70）2+4500，
∵﹣5＜0，60≤a≤100，
∴当a﹣70＝0，即a＝70时，W最大，最大值为4500．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式和不等式是解题的关键．
27．（12分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，点O是边AB上一点，以点O为圆心、OB长为半径作圆，⊙O恰好经过点D，交AB于点E．
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）若点E为AO的中点，AD＝3，求阴影部分的面积；
（3）连接DE，若sin∠DBA=55，求csA的值．
【分析】（1）连接OD，根据角平分线定义得∠OBD＝∠CBD，根据OD＝OB得∠ODB＝∠OBD＝∠CBD得OD∥BC，由此得OD⊥AC，然后根据切线的判定即可得出结论；
（2）设⊙O的半径为R，则OD＝OE＝OB＝R，根据点E是AO的中点得AO＝2R，由此得∠A＝30°，∠AOD＝60°，再求出OD=3，进而得S△AOD=332，S扇形EOD=π2，据此可得阴影部分的面积；
（3）在Rt△BDE中，根据sin∠DBA=DEBE=55，设DE=5a，BE＝5a，则BD=25a，OD＝2.5a，证明△BDE和△BCD全等得CD＝2a，BC＝4a，再证明△AOD和△ABC相似得AD=10a3，则AO=25a6，由此根据余弦函数的定义即可得出csA的值．
【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：

∵∠C＝90°，
∴BC⊥AC，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠OBD＝∠CBD，
∵OB是⊙O的半径，⊙O恰好经过点D，交AB于点E，
∴OE＝OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BC，
∴OD⊥AC，
又∵OD是⊙O半径，
∴直线AC是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为R，
∴OD＝OE＝OB＝R，
∵点E是AO的中点，
∴AE＝OE＝R，
∴AO＝2R，
由（1）可知：OD⊥AC，
∴在Rt△AOD中，sinA=ODAO=R2R=12，
∴∠A＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∵AD＝3，
∴tanA=ODAD，
∴OD＝AD•tanA＝3×tan30°=3，
∴S△AOD=12AD•OD=12×3×3=332，S扇形EOD=60π×(3)2360=π2，
∴阴影部分的面积为：S△AOD﹣S扇形EOD=33−π2；
（3）∵BE是⊙O直径，
∴∠BDE＝90°，
在Rt△BDE中，sin∠DBA=DEBE=55，
设DE=5a，BE＝5a，
由勾股定理得：BD=BE2−DE2=(5a)2−(5a)2=25a，
∴OD=12BE＝2.5a，
∵∠OBD＝∠CBD，∠BDE＝∠C＝90°，
∴△BDE∽△BCD，
∴DECD=BDBC=BEBD，
∴5aCD=25aBC=5a25a，
∴CD＝2a，BC＝4a，
∵由（1）可知：OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴ADAC=ODBC，
∴ADAD+2a=2.5a4a，
∴AD=10a3，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO=AD2+OD2=(10a3)2+(2.5a)2=25a6，
∴csA=ADAO=10a325a6=45．
【点评】此题主要考查了切线的判定与性质，圆周角定理，扇形面积的计算，解直角三角形，理解圆周角定理，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质，扇形的面积计算公式，灵活运用锐角三角函数的定义及勾股定理进行计算是是解决问题关键．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，过点B的直线l：y＝x﹣1与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接MB、MD，设点M的纵坐标为n，当MB＝MD时，求n的值；
（3）如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转90°后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
【分析】（1）直接由待定系数法即可求解；
（2）先联立抛物线与直线l：y＝x﹣1求出交点D的坐标，再求出对称轴，则得到点M的坐标表示，再由两点间距离公式建立方程求解即可；
（3）顶点N（﹣1，4），设 P（m，0），由旋转得∠NPH＝90°，PN＝PH，当m＜﹣1时，过点P作y轴的平行线，过点H，N分别作平行线的垂线，垂足为点F，E，证明△PEN≌△HFP（AAS），表示出H（4+m，1+m），将点H（4+m，1+m）代入y＝﹣x2﹣2x+3，得﹣（4+m）2﹣2（4+m）+3＝1+m，解方程即可；当m＞﹣1时，作出同样的辅助线，同理可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），
∴9a−3b+c=0a+b+c=0c=3，
解得：a=−1b=−2c=3，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）联立y=−x2−2x+3y=x−1，
解得：x1＝1，x2＝﹣4，
∴D（﹣4，﹣5），
∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴对称轴为直线x＝﹣1，顶点为 （﹣1，4），
∴M（﹣1，n），
∵MB＝MD，
∴MB2＝MD2，
∴（﹣1﹣1）2+（n﹣0）2＝（﹣1+4）2+（n+5）2，
解得：n＝﹣3，
∴n的值为﹣3；
（3）由（2）得顶点N（﹣1，4），设P（m，0），
由旋转得∠NPH＝90°，PN＝PH，
当m＜﹣1时，
过点P作y轴的平行线，过点H，N分别作平行线的垂线，垂足为点F，E，
∴∠E＝∠F＝∠NPH＝90°，
∴∠1＝∠2＝90°﹣∠3，
∴△PEN≌△HFP（AAS），
∴EN＝PF＝﹣1﹣m，PE＝FH＝4，
∴H（4+m，1+m），
将点 H（4+m，1+m）代入y＝﹣x2﹣2x+3，
得﹣（4+m）2﹣2（4+m）+3＝1+m，
整理得：m2+11m+22＝0，
解得：m=−11±332，
∴P(−11+332，0)或P(−11−332，0)，
当m＞﹣1时，
过点P作y轴的平行线，过点H，N分别作平行线的垂线，垂足为点F，E，
∴∠E＝∠F＝∠NPH＝90°，
∴∠1＝∠2＝90°﹣∠3，
∴△PEN≌△HFP（AAS），
∴EN＝PF＝1+m，PE＝FH＝4，
∴H（m﹣4，﹣1﹣m），
将点H（m﹣4，﹣1﹣m） 代入y＝﹣x2﹣2x+3，
得﹣（m﹣4）2﹣2（m﹣4）+3＝﹣1﹣m，
整理得：m2﹣7m+4＝0，
解得：m=7±332，
∴P(7+332，0)或P(7−332，0)，
综上所述：所有符合条件的点P的坐标为：(−11+332，0)或(−11−332，0)或(7+332，0)或(7−332，0)．
【点评】本题考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，两点间距离公式等知识点，难度较 大，解题的关键在于构造“三垂直”全等模型．
尺码/cm
24
24.5
25
25.5
26
销售量/双
1
3
10
4
2
等级
成绩（x）
人数
A
95＜x≤100
m
B
85＜x≤95
24
C
75＜x≤85
14
D
x≤75
10
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C．
D
C．
A
B
B
D
B
B
D
C
题号
12
答案
A
尺码/cm
24
24.5
25
25.5
26
销售量/双
1
3
10
4
2
等级
成绩（x）
人数
A
95＜x≤100
m
B
85＜x≤95
24
C
75＜x≤85
14
D
x≤75
10