【中考数学】2025年四川省达州市中考适应性模拟试卷（含解析）

这是一份【中考数学】2025年四川省达州市中考适应性模拟试卷（含解析），共36页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）如果收入100元记作+100元，那么支出40元应记作（ ）
A．+60元B．+40元C．﹣40元D．﹣60元
2．（4分）如图是大竹“东汉醪糟”包装盒组成的立体图形．其主视图为（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）“悟空”号全海深AUV是中国哈尔滨工程大学自主研发的无人无缆潜水器．具备在11000米深海自主作业的能力．数据11000用科学记数法表示为（ ）
A．0.11×105B．1.1×104C．1.1×105D．11×103
4．（4分）如图，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点F．若∠1+∠2＝35°，则∠AFB的度数为（ ）
A．35°B．55°C．70°D．145°
5．（4分）下列各式运算结果为a6的是（ ）
A．a3+a3B．a3•a3C．a12÷a2D．（a3）3
6．（4分）小明随机抽查爱民小区6户家庭几均用水情况，分别是：3，4，5，7，6，5（单位：m3）．关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．众数是5B．中位数是6C．平均数是6D．极差是3
7．（4分）《九章算术》中记载了这样一道题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程组为（ ）
A．5x+2y=102x+5y=8B．2x+5y=105x+2y=8
C．5x+5y=102x+5y=8D．5x+2y=102x+2y=8
8．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．两点之间线段最短
B．平行四边形是轴对称图形
C．若x−1有意义，则x的取值范围是全体实数
D．三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分
9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长为（ ）
A．21B．14C．13D．9
10．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），下列结论：①abc＜0；②4a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每小题4分.共20分）
11．（4分）因式分解：m2+2m＝ ．
12．（4分）已知关于x的方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为 ．
13．（4分）如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知圆锥的底面半径为2，则扇形的弧长是 ．
14．（4分）化简：3xx−y−5−3xy−x= ．
15．（4分）定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的γ（a，θ）变换．现将斜边为1的等腰直角三角形ABC放置在如图的平面直角坐标系中，△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1为第一次变换，△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2为第二次变换，…，经γ（n，180°）变换得△AnBn∁n，则点C2025的坐标是 ．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）
16．（12分）（1）计算：（2025−1）0﹣（﹣1）2+|﹣2|；
（2）解不等式：3x−12≤2x+13，并把解集表示在数轴上．
17．（10分）项目调研
请阅读上述材料，解决下列问题：
（1）请将条形统计图补充完整，查向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数是 ；
（2）若该校共有2000名学生，请你估计全校参加A研学基地的学生人数；
（3）甲同学从B，C，D三个基地中随机选择一个参加研学，乙同学从C，D两个基地中随机选择一个参加研学，请用列表或画树状图的方法，求两位同学选择相同研学基地的概率．
18．（7分）开启作角平分线的智慧之窗
问题：作∠AOB的平分线OP
作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙间学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线；工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上，即得OP为∠AOB的平分线；
讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑，认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是 ；
对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，AAS，ASA或HI，②
对丙同学的作法陷入了沉思．
任务：（1）请你将上述讨论得出的依据补充完整；
（2）完成对丙同学作法的验证．
已知∠AED＝∠AOB，EP＝EO，求证：OP平分∠AOB．
19．（8分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y=mx（m≠0）交于点A（2，2），点B（﹣4，a）．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）点P在x轴上，S△AOP＝3，求点P的坐标．
20．（8分）
为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾，已知无人机悬停在湖面上的C处，工作人员所乘小船在A处测得无人机的仰角为30°，当工作人员沿正前方向划行30米到达B处，测得无人机的仰角为45°，求无人机离湖面的高度．（结果不取近似值）
21．（9分）归纳与应用
归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言．例如，我们看到图1是平行四边形，就会联想到：从边的角度，平行四边形对边平行且相等；从角的角度，平行四边形对角相等，邻角互补；从对角线的角度，平行四边形对角线互相平分；从对称性的角度，平行四边形是中心对称图形．通过如此归纳形成知识体系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙．
（1）尝试归纳：请你根据图2，写出3条直角三角形的性质
① ；
② ；
③ ．
（2）实践应用：小明同学在思考直角三角形的性质时，作出如图3，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，BE∥AC，AE∥BD，试帮他判断四边形ADBE的形状，并证明你的结论．
22．（8分）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件．经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．
（1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是 件；
（2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；
（3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
23．（8分）如图．在⊙O中，AB是弦，PA是⊙O的切线，PA＝PB，点C，D，E分别是线段AB，AP，BP上的动点．连接CD，CE，∠DCE＝∠P＝α．
（1）试判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若α＝60°，CD：CE＝1：2，试求4AD+BE与⊙O半径r的数量关系．
24．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于C点，B的坐标为（3，0），C的坐标为（0，3），顶点为M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，过第四象限内抛物线上一点作BC的平行线．交x轴于点E，交y轴于点F．
①连接AF，当∠AFE＝90°时，求Rt△AFE内切四半径r与外接圆半径R的比值；
②连接CA，CE，当点F在△AEC的内角平分线上，BC上的动点P满足MP+22BP的值最小时，求△BPE的面积．
25．（10分）综合与实践
问题提出：探究图形中线段之间的效量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系．
探究发现：如图1，在△ABC中，AC＝BC，P是AB边上一点，过点P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，过点A作AF⊥BC于F，连结CP，由图形面积分割法得：S△ABC＝S△APC+ ，则AF＝ + ；
实践应用：如图2，△ABC是等边三角形，AC＝3，点G是AB边上一点．连结CG，将线段CG绕点C逆时针旋转60°得CF，连结GF交BC于P，过点P作PD⊥GC于D，PE⊥CF于E，当AG＝1时，求PD+PE的值；
拓展延伸：如图3，已知AB是半圆O的直径，AC，BE是弦，AC＝BE，P是AB上一点，PD⊥AC，垂足为D，AB＝10，AD＝2，BD＝45，求S△PAC+S△PBE的值．
2025年四川省达州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、单项选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）如果收入100元记作+100元，那么支出40元应记作（ ）
A．+60元B．+40元C．﹣40元D．﹣60元
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果收入100元记作+100元，那么支出40元应记作﹣40元．
故选：C．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．
2．（4分）如图是大竹“东汉醪糟”包装盒组成的立体图形．其主视图为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形进行判断即可．
【解答】解：从正面看该组合体，底层是两个正方形，上层的右边是一个正方形．
故选：B．
【点评】本题考查简单组合体的主视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是正确判断的前提．
3．（4分）“悟空”号全海深AUV是中国哈尔滨工程大学自主研发的无人无缆潜水器．具备在11000米深海自主作业的能力．数据11000用科学记数法表示为（ ）
A．0.11×105B．1.1×104C．1.1×105D．11×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：11000＝1.1×104．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（4分）如图，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点F．若∠1+∠2＝35°，则∠AFB的度数为（ ）
A．35°B．55°C．70°D．145°
【分析】利用平行线的性质可得：∠1＝∠AFO，∠2＝∠BFO，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：∵AC∥OF，
∴∠1＝∠AFO，
∵BC∥OF，
∴∠2＝∠BFO，
∵∠1+∠2＝35°，
∴∠AFB＝∠AFO+∠BFO＝∠1+∠2＝35°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
5．（4分）下列各式运算结果为a6的是（ ）
A．a3+a3B．a3•a3C．a12÷a2D．（a3）3
【分析】分别计算每个选项的值，进而得出答案．
【解答】解：A．原式＝2a3，故本选项不符合题意；
B．原式＝a6，故本选项符合题意；
C．原式＝a10，故本选项不符合题意；
D．原式＝a9，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
6．（4分）小明随机抽查爱民小区6户家庭几均用水情况，分别是：3，4，5，7，6，5（单位：m3）．关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．众数是5B．中位数是6C．平均数是6D．极差是3
【分析】根据众数、中位数、平均数及极差的定义，结合数据进行分析即可．
【解答】解：将数据按照从小到大排列为：3，4，5，5，6，7，
A．众数是5，说法正确，符合题意；
B．中位数是5，原说法错误，不符合题意；
C．平均数是3+4+5+5+6+76=5，原说法错误，不符合题意；
D．极差是：7﹣3＝4，原说法错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了极差、中位数、众数及平均数的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握各部分的定义．
7．（4分）《九章算术》中记载了这样一道题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程组为（ ）
A．5x+2y=102x+5y=8B．2x+5y=105x+2y=8
C．5x+5y=102x+5y=8D．5x+2y=102x+2y=8
【分析】根据未知数，将今有牛5头，羊2头，共值10金；牛2头，羊5头，共值8金，两个等量关系具体化，联立即可．
【解答】解：设每头牛值x金，每头羊值y金，
∵牛5头，羊2头，共值10金；牛2头，羊5头，共值8金，
∴5x+2y=102x+5y=8，
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找到等量关系，列出方程．
8．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．两点之间线段最短
B．平行四边形是轴对称图形
C．若x−1有意义，则x的取值范围是全体实数
D．三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分
【分析】根据二次根式有意义的条件，线段的性质，三角形的面积，三角形中位线定理，轴对称图形定义，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、两点之间线段最短，故A符合题意；
B、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、若x−1有意义，则x的取值范围是x≥1，故C不符合题意；
D、三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，线段的性质，三角形的面积，三角形中位线定理，轴对称图形，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．
9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长为（ ）
A．21B．14C．13D．9
【分析】由线段垂直平分线的性质推出BD＝AD，得到△BDC的周长＝BC+AC＝13．
【解答】解：∵DE垂直平分线段AB，
∴BD＝AD，
∴△BDC的周长＝BC+DB+CD＝BC+AD+CD＝BC+AC＝8+5＝13．
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出BD＝AD．
10．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），下列结论：①abc＜0；②4a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，可得a＞0，c＞0，根据抛物线与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），当x＝﹣1时y＞0，即可逐一判断，进而求解．
【解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，
∴a＞0，c＞0，
∵抛物线与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），
当x＝﹣1时y＞0，
∴抛物线的对称轴是直线x＝2，b2﹣4ac＞0，a﹣b+c＞0，故结论③④正确；
∴−b2a=2，即b＝﹣4a＜0，b+4a＝0，故结论②正确；
∴abc＜0，故结论①正确，
综上，说法正确的有4个，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质以及二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
二、填空题（每小题4分.共20分）
11．（4分）因式分解：m2+2m＝ m（m+2） ．
【分析】根据因式分解的定义，用提公因式法得m2+2m＝m（m+2）．
【解答】解：m2+2m＝m（m+2）．
故答案为：m（m+2）．
【点评】本题主要考查提公因式法进行因式分解，熟练掌握公因式的找法是解题的关键．
12．（4分）已知关于x的方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为 2 ．
【分析】根据题意可得：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0中得：1+m﹣3＝0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0中得：1+m﹣3＝0，
解得：m＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
13．（4分）如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知圆锥的底面半径为2，则扇形的弧长是 4π ．
【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，所以只要计算出圆锥的底面圆的周长即可．
【解答】解：∵圆锥的底面半径为2，
∴扇形的弧长为2π×2＝4π．
故答案为：4π．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式．
14．（4分）化简：3xx−y−5−3xy−x= 5x−y ．
【分析】先把减数的分母写成x﹣y的形式，然后按照同分母分式相减法则进行计算即可．
【解答】解：∵3xx−y+5−3xx−y
=3x+5−3xx−y
=5x−y，
故答案为：5x−y．
【点评】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握同分母分式加减法则．
15．（4分）定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的γ（a，θ）变换．现将斜边为1的等腰直角三角形ABC放置在如图的平面直角坐标系中，△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1为第一次变换，△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2为第二次变换，…，经γ（n，180°）变换得△AnBn∁n，则点C2025的坐标是 (−20272，−12) ．
【分析】过点C作CD⊥x轴，根据斜边上的中线，得到CD=12AB=AD=12，进而得到C(12，12)，根据变化规则，得到C2(12+1−2，12)，C3(−12−1+2−3，−12)，C4(12+1−2+3−4，12)，C5(−12−1+2−3+4−5，−12)，…，进而得到C1(−12−1，−12)，C3(−12−2，−12)，C5(−12−3，−12)，…，推出C2n−1(−12−n，−12)，根据2025＝2×1013﹣1，求出点C2025的坐标即可．
【解答】解：过点C作CD⊥x轴，
∵△ABC为斜边为1的等腰直角三角形，
∴CD=12AB=AD=12，
∴C(12，12)，
∴C1是由C(12，12)先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转180°，即根据平移后的点关于原点对称得到的，
∴C1(−12−1，−12)，
同理：C2(12+1−2，12)，C3(−12−1+2−3，−12)，C4(12+1−2+3−4，12)，C5(−12−1+2−3+4−5，−12)，⋯，
∴C1(−12−1，−12)，C3(−12−2，−12)，C5(−12−3，−12)，…，
∴C2n−1(−12−n，−12)，
∵2025＝2×1013﹣1，
∴C2025(−12−1013，−12)，
即C2025(−20272，−12)，
故答案为：(−20272，−12)．
【点评】本题考查坐标旋转中的规律探究，正确找出规律是解题的关键．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）
16．（12分）（1）计算：（2025−1）0﹣（﹣1）2+|﹣2|；
（2）解不等式：3x−12≤2x+13，并把解集表示在数轴上．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）（2025−1）0﹣（﹣1）2+|﹣2|
＝1﹣1+2
＝2；
（2）3x−12≤2x+13，
3（3x﹣1）≤2（2x+1），
9x﹣3≤4x+2，
9x﹣4x≤2+3，
5x≤5，
x≤1，
∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
【点评】本题考查了解一元一次不等式，实数的运算，零指数幂，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17．（10分）项目调研
请阅读上述材料，解决下列问题：
（1）请将条形统计图补充完整，查向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数是 90° ；
（2）若该校共有2000名学生，请你估计全校参加A研学基地的学生人数；
（3）甲同学从B，C，D三个基地中随机选择一个参加研学，乙同学从C，D两个基地中随机选择一个参加研学，请用列表或画树状图的方法，求两位同学选择相同研学基地的概率．
【分析】（1）先用参加E研学基地人数除以它所占的百分比得到参加研学的总人数，再计算出参加D研学基地人数，接着计算出参加A研学基地人数，则可补全条形统计图，然后用360°乘以参加B研学基地人数所占的百分比得到参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数；
（2）用样本中参加A研学基地的学生人数所占的百分比乘以2000即可；
（3）先画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出两位同学选择相同研学基地的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）参加研学的总人数为20÷10%＝200（名），
参加D研学基地人数为200×15%＝30（名），
参加A研学基地人数为200﹣50﹣40﹣30﹣10＝60（名），
条形统计图补充为：
参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数为360°×50200=90°，
故答案为：90°；
（2）2000×50200=500（名），
所以估计全校参加A研学基地的学生人数为500名；
（3）画树状图为：
共有6种等可能的结果，两位同学选择相同研学基地的结果数为2，
所以两位同学选择相同研学基地的概率=26=13．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
18．（7分）开启作角平分线的智慧之窗
问题：作∠AOB的平分线OP
作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙间学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线；工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上，即得OP为∠AOB的平分线；
讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑，认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是 SSS ；
对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，AAS，ASA或HI，② 等腰三角形的三线合一
对丙同学的作法陷入了沉思．
任务：（1）请你将上述讨论得出的依据补充完整；
（2）完成对丙同学作法的验证．
已知∠AED＝∠AOB，EP＝EO，求证：OP平分∠AOB．
【分析】（1）利用全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质解决问题即可；
（2）利用平行线的判定和性质，等腰三角形的性质证明即可．
【解答】（1）解：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑，认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是SSS；
对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，AAS，ASA或HI，②等腰三角形的三线合一．
故答案为：SSS，等腰三角形的三线合一；
（2）证明：∵∠AED＝∠AOB，
∴ED∥OB，
∴∠EPO＝∠POB，
∵EO＝EP，
∴∠EOP＝∠EPO，
∴∠AOP＝∠BOP，
∴OP平分∠AOB．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
19．（8分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y=mx（m≠0）交于点A（2，2），点B（﹣4，a）．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）点P在x轴上，S△AOP＝3，求点P的坐标．
【分析】（1）先由待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点B坐标，再由待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据12OP×yA=3，即可求解．
【解答】解：（1）∵双曲线y=mx(m≠0)经过点A（2，2），B（﹣4，a），
∴m＝2×2＝4＝﹣4a，
∴a＝﹣1，
∴B（﹣4，﹣1），反比例函数解析式为：y=4x，
∵直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（2，2），点B（﹣4，﹣1），
∴−4k+b=−12k+b=2，
解得：k=12b=1，
∴一次函数解析式为：y=12x+1；
（2）∵点P在x轴上，S△AOP＝3，
∴12OP×yA=3，
∴12OP×2=3，
∴OP＝3，
∴点P的坐标为（3，0）或（﹣3，0）．
【点评】本题考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键．
20．（8分）
为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾，已知无人机悬停在湖面上的C处，工作人员所乘小船在A处测得无人机的仰角为30°，当工作人员沿正前方向划行30米到达B处，测得无人机的仰角为45°，求无人机离湖面的高度．（结果不取近似值）
【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，设BD＝x米，则AD＝（x+30）米，然后分别在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
设BD＝x米，
∵AB＝x米，
∴AD＝AB+BD＝（x+30）米，
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，
∴CD＝AD•tan30°=33（x+30）米，
在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，
∴CD＝BD•tan45°＝x（米），
∴x=33（x+30），
解得：x＝153+15，
∴CD＝（153+15）米，
∴无人机离湖面的高度为（153+15）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21．（9分）归纳与应用
归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言．例如，我们看到图1是平行四边形，就会联想到：从边的角度，平行四边形对边平行且相等；从角的角度，平行四边形对角相等，邻角互补；从对角线的角度，平行四边形对角线互相平分；从对称性的角度，平行四边形是中心对称图形．通过如此归纳形成知识体系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙．
（1）尝试归纳：请你根据图2，写出3条直角三角形的性质
① a2+b2＝c2 ；
② ∠A+∠B＝90° ；
③ sinA=ac，csA=bc，tanA=ab ．
（2）实践应用：小明同学在思考直角三角形的性质时，作出如图3，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，BE∥AC，AE∥BD，试帮他判断四边形ADBE的形状，并证明你的结论．
【分析】（1）根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）根据平行四边形的判定和性质以及菱形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：（1）①a2+b2＝c2，
②∠A+∠B＝90°；
③sinA=ac，csA=bc，tanA=ab；
故答案为：a2+b2＝c2；∠A+∠B＝90°；sinA=ac，csA=bc，tanA=ab；
（2）四边形ADBE是菱形，
证明：∵BE∥AC，AE∥BD，
∴四边形ADBE是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，点D是AC的中点，
∴BD＝AD=12AC，
∴四边形ADBE是菱形．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
22．（8分）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件．经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．
（1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是 （60+10x） 件；
（2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；
（3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案；
（2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润x销售数量＝销售利润即可列出方程，解方程即可得解；
（3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润x销售数量＝销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是 （60+10x） 件，
故答案为：（60+10x）；
（2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，
根据题意可得：（40﹣30﹣x）（60+10x）＝630，
整理可得：x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
由于要让利于游客，x＝1 舍去，
∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元；
（3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，
则W＝（40﹣30﹣x）（60+10x）
＝（10﹣x）（60+10x）
＝﹣10x2+40x+600
＝﹣10（x﹣2）2+640，
∵﹣10＜0，
∴当x＝2时，W取最大值为640元，此时销售价为38元，
答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键．
23．（8分）如图．在⊙O中，AB是弦，PA是⊙O的切线，PA＝PB，点C，D，E分别是线段AB，AP，BP上的动点．连接CD，CE，∠DCE＝∠P＝α．
（1）试判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若α＝60°，CD：CE＝1：2，试求4AD+BE与⊙O半径r的数量关系．
【分析】（1）连接OA，OB，则∠BAO＝∠ABO，根据PA＝PB，可得∠PAB＝∠PBA，根据PA是⊙O的切线，可得∠PAO＝90°，进而得出∠PBO＝90°，即可得证；
（2）根据已知条件，根据一线三等角证明△ADC﹣△BCE得出相似比为1：2，进而得出4AD+BE＝2BC+2AC＝2AB，过点O作OF⊥AB于点F，则AF=12AB，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得AF，进而得出AB=23r，即可得证．
【解答】解：（1）PB是⊙O的切线，理由如下：
如图，连接OA，OB，
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABO，
∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO＝∠BAO+∠PAB＝90°，
∴∠PBO＝∠ABO+∠PBA＝90°，
又∵OB是⊙O的半径，
∴PB是⊙O的切线；
（2）∵∠P＝60°，PA＝PB，
∴△ABP是等边三角形，
∴AB＝PA＝PB，∠PAB＝∠PBA＝60°，
∵∠DCE＝60°，
∴∠BCE+∠ACD＝180°﹣∠DCE＝120°，
∴∠ADC+∠ACD＝180°﹣∠PAB＝120°，
∴∠ADC＝∠BCE，
∴△ADC∽△BCE，
∴ADBC=ACBE=CDCE，
∵CDCE=12，
∴AD=12BC，AC=12BE，
∴4AD+BE＝2BC+2AC＝2AB，
如图，连接OA，OB，过点O作OF⊥AB于点F，则AF=12AB，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO＝90°，
∴∠OAF＝∠PAO﹣∠PAB＝90°﹣60°＝30°，
∴在Rt△AOF中，AO＝r，OF=12AO=12r，
∴AF=AO2−OF2=r2−(12r)2=32r，
∴AB=2AF=2×32r=3r，
∴4AD+BE=23r．
【点评】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，垂径定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
24．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于C点，B的坐标为（3，0），C的坐标为（0，3），顶点为M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，过第四象限内抛物线上一点作BC的平行线．交x轴于点E，交y轴于点F．
①连接AF，当∠AFE＝90°时，求Rt△AFE内切四半径r与外接圆半径R的比值；
②连接CA，CE，当点F在△AEC的内角平分线上，BC上的动点P满足MP+22BP的值最小时，求△BPE的面积．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先求出点A的坐标，进而可判断△OBC，△AEF是等腰直角三角形，然后根据△AEF的外接圆直径是AE＝2，可得其外接圆的半径R＝1，再利用等积法求出r，即可解决问题；
②先求得抛物线的顶点M的坐标和对称轴与x轴的交点T的坐标，作PQ⊥x轴于点P，可得PQ=22BP，继而可得MP+22BP=MP+PQ，于是可得当M、P、Q三点共线且MQ⊥x轴时，MP+22BP的值最小，此时Q、T重合，然后分点F在△ACE不同内角平分线上共三种情况，外加当点E，F重合于点O时，此时点F在∠AEC 的平分线上这种特殊情况，讨论求解即可．
【解答】解：（1）把B的坐标（3，0），C的坐标（0，3）代入抛物线的解析式，
得−9+3b+c=0c=3，
解得b=2c=3，
∴抛物线的解析式是y＝﹣x2+2x+3；
（2）①令y＝﹣x2+2x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝45°，
∵EF∥BC，
∴∠FEA＝∠CBO＝45°，
∴当∠AFE＝90°时，△AEF是等腰直角三角形，且FA＝FE，
∴EO＝AO＝FO＝1，
∴△AEF的外接圆直径是 AE＝2，
∴则其外接圆的半径 R＝1，
∵AE=EF=AE⋅sin45°=22×2=2，
∴12AF⋅r+12EF⋅r+12AE⋅r=12AE⋅FO，即(2+2+2)⋅r=2，
解得：r=2−1，
∴rR=2−1；
②∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
抛物线的对称轴是直线x＝1，顶点M的坐标是（1，4），
∴直线x＝1与x轴的交点T的坐标是（1，0），
作PQ⊥x轴于点P，
则在直角三角形BPQ中，PQ=BP⋅sin45°=22BP，
∴MP+22BP=MP+PQ，
∴当M、P、Q三点共线且MQ⊥x轴时，MP+22BP的值最小，此时Q、T重合，
当点F在△AEC的内角∠ACE的平分线上即∠ACO＝∠ECO时，如图，
∵∠COA＝∠COE＝90°，CO＝CO，
∴△ACO≌△ECO，
∴AO＝EO＝1，
∴E、T重合，
∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC的解析式是y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝2，
∴点P的坐标是（1，2），
∴BE＝PE＝2，
∴S△BPE=12×2×2=2，
当点F在△AEC的内角∠CAE的平分线上时，
如图，作FK⊥AC于点K，则OF＝KF，
设OF＝KF＝a，则CF＝3﹣a，
∵sir∠ACO=FKCF=OAAC，且AC=12+32=10，
∴a3−a=110，
解得a=10−13，
∴OF=10−13，
∵EF∥BC，
∴∠OEF＝∠OBC＝45°，
∴OE=OF=10−13，
∴BE=3−OE=3−10−13=10−103，
∴S△BPE=12×10−103×2=10−103，
由于∠OEF＝45°，∠OEC＜90°，
∴点F不可能在△AEC 的内角∠AEC 的平分线上，
当点E，F重合于点O时，此时OF平分∠AEC即点F在∠AEC的平分线上，
符合题意，则BE＝BO＝3，
∴S△BPE=12×3×2=3，
综上：△BPE 的面积为2或3或10−103．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、角平分线的性质、解直角三角形、三角形的内切圆和外接圆等知识，综合性强、难度较大，属于中考压轴题，熟练掌握函数、图形等相关知识的综合应用、灵活应用数形结合思想是解题的关键．
25．（10分）综合与实践
问题提出：探究图形中线段之间的效量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系．
探究发现：如图1，在△ABC中，AC＝BC，P是AB边上一点，过点P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，过点A作AF⊥BC于F，连结CP，由图形面积分割法得：S△ABC＝S△APC+ S△APB ，则AF＝ PD + PE ；
实践应用：如图2，△ABC是等边三角形，AC＝3，点G是AB边上一点．连结CG，将线段CG绕点C逆时针旋转60°得CF，连结GF交BC于P，过点P作PD⊥GC于D，PE⊥CF于E，当AG＝1时，求PD+PE的值；
拓展延伸：如图3，已知AB是半圆O的直径，AC，BE是弦，AC＝BE，P是AB上一点，PD⊥AC，垂足为D，AB＝10，AD＝2，BD＝45，求S△PAC+S△PBE的值．
【分析】探究发现：通过等面积即可得解；
实践应用：过G作GN⊥CF于点N，由（探究发现）可知PD+PE＝GN，所以求出GN即可，再由题意可知△CGF为等边三角形，所以求出CG即可，进而解△ACG即可；
拓展延伸：延长AC、BE交于点Q，连接BC，过P作PM⊥BE于点M，易证△ABQ为等腰三角形，所以BC＝PD+PM，利用双勾股可求出CD＝4，进而AC＝BE＝6，BC＝8，从而即可得解．
【解答】解：探究发现：由图可知S△ABC＝S△APC+S△APB
=12AC•PD+12BC•PE
=12BC•（PD+PE）
=12BC⋅AF，
∴AF＝PD+PE，
故答案为：S△APB，PD，PE；
实践应用：如图，过G作GM⊥AG于点M，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
在Rt△AMG中，AG＝1，
∴AM＝AG•cs30°=12，GM＝AG•sin60°=32，
∵AC＝3，
∴CM＝AC﹣AM=52，
在Rt△CGM中，CG=CM2+GM2=7，
∵线段CG绕点C逆时针旋转60°得CF，
∴CG＝CF，∠GCF＝60°，
∴△CGF为等边三角形，
∴GF＝CF＝CG=7，∠F＝60°，
过G作GN⊥CF于点N，
在Rt△GFN中，GN＝GF•sin60°=212，
由（探究发现）可知PD+PE＝GN=212；
拓展延伸：如图，延长AC、BE交于点Q，连接BC，过P作PM⊥BE于点M，
设CD＝x，则AC＝2+x，
∵AB为半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝10，BD＝45，
∴在Rt△ACB中，BC2＝AB2﹣AC2＝100﹣（2+x）2，
在Rt△BCD中，BC2＝BD2﹣CD2＝（45）2﹣x2，
∴100﹣（2+x）2＝（45）2﹣x2，
解得x＝4；
∵BE＝AC＝2+4＝6，
∴AC=BE，
∴AC+CE=BE+CE，即AE=BC，
∴∠ABE＝∠BAC，
∴△ABQ为等腰三角形，
∵AC⊥DP，BC⊥AC，PM⊥BE，
∴由（探究发现）可知BC＝PD+PM，
在Rt△ABC中，BC=102−62=8，
∴PD+PM＝8，
∴S△PAC+S△PBE
=12AC•PD+12BE•PM
=12×6×PD+12×6×PM
＝3（PD+PM）
＝3×8
＝24．
【点评】本题主要考查了三角形的面积公式、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
项目主题
阳光学校学生研学需求情况调查
调查人员
数学兴趣小组
调查方法
抽样调查
调研内容
阳光学校计划组织学生前往以下5个研学基地中的一个基地进行研学.5个研学基地分别为：A．张爱萍故居；B．王维舟纪念馆；C．万源保卫战纪念馆；D．广子村农业示范园；E．开江白宝塔．
数学兴趣小组对本校学生的意向目的地展开抽样调查，并为学校出具了调查报告（每位学生只能选1个研学基地）
统计数据

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C．
B
B．
A
B
A
A
A
C
D
项目主题
阳光学校学生研学需求情况调查
调查人员
数学兴趣小组
调查方法
抽样调查
调研内容
阳光学校计划组织学生前往以下5个研学基地中的一个基地进行研学.5个研学基地分别为：A．张爱萍故居；B．王维舟纪念馆；C．万源保卫战纪念馆；D．广子村农业示范园；E．开江白宝塔．
数学兴趣小组对本校学生的意向目的地展开抽样调查，并为学校出具了调查报告（每位学生只能选1个研学基地）
统计数据