2025-2026学年北京市西城区育才学校高三上学期9月月考数学试卷

这是一份2025-2026学年北京市西城区育才学校高三上学期9月月考数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若集合? = {?|−3 < ? < 3}，? = {?|(? + 4)(?−2) > 0}，则? ∩ ? = ()
A. {?|−3 < ? < 2}B. {?|2 < ? < 3}
C. {?|−3 < ? < −2}D. {?|? < −4或? > −3}
2.已知等差数列{??},?5 = 10,?9 = 20，则?1等于()
A. −1B. 0C. 2D. 5
3.下列函数中，是偶函数且在区间(0, + ∞)上为增函数的是()
A. ? = 3?B. ? = ??? |?|C. ? = 1
D. ? = −?2 +1
3?
41
.函数?(?) = ln(? + 1)−?的一个零点所在的区间是()
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
1
3
5.设? =
0.2
1
,? = 23,? = ???12，则()
3
A. ? < ? < ?B. ? < ? < ?C. ? < ? < ?D. ? < ? < ?
6.“?2 = ?2”是“?2 + ?2 = 2??”的()
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数?(?) = 3?−(1)?，则?(?)
3
A. 是奇函数，且在?上是增函数B. 是偶函数，且在?上是增函数
C. 是奇函数，且在?上是减函数D. 是偶函数，且在?上是减函数
8.把函数? = 2?的图象向左平移?个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为? = 3 ⋅ 2?，则?的值为()
2
3
A. ???23B. ???32C.D.
9.已知定义在?上的函数? = ?(?)满足?(? + 2) = ?(?)，当−1 < ? ≤ 1时，?(?) = ?3，若函数
?(?) = ?(?)−????|?|至少有6个零点，则?的取值范围是
(0,) ∪
A. (0,5)B.1[5, + ∞)C. 0, 1 ∪ [5, + ∞) D. 1 ,1 ∪ (1,5]
555
1
?
10.已知集合? = {(?,?)∣? = ?(?)}，若对于任意(?1,?1) ∈ ?，存在(?2,?2) ∈ ?，使得?1?2 + ?1?2 = 0成立，则称集合?是“好集合”.给出下列4个集合：
①? = (?,?)|? =
②? = {(?,?)∣? = ??−2}
③? = {(?,?)∣? = cs?}④? = {(?,?)∣? = ln?}
其中所有“好集合”的序号是()
A. ②③B. ①②④C. ③④D. ①③④
二、填空题：本大题共 5 小题，共 25 分。
11.已知幂函数? = ?(?)的图象经过点(2,4)，则?(?) = ．
12.命题?：“∃? ∈ ?，??2 +2??−4 ≥ 0”为假命题，则?的取值范围是．
? + 1
13.函数?(?) =
14.设函数?(?) =
+ lg(4−?)的定义域是．
??,? ≤ 0
−?2 + ? + 1 ,? > 0则?[?(0)] =；若方程?(?) = ?有且仅有3个不同的实数根，则
4
实数?的取值范围是．
1+?2
15.已知直线?:? = ?? + ?和曲线?:? = 1 ，给出下列四个结论：
①存在实数?和?，使直线?和曲线?没有交点；
②存在实数?，对任意实数?，直线?和曲线?恰有1个交点；
③存在实数?，对任意实数?，直线?和曲线?不会恰有2个交点；
④对任意实数?和?，直线?和曲线?不会恰有3个交点．其中所有正确结论的序号是．
三、解答题：本题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知函数?(?) = −?3−3?2 +9? + ?．
求?(?)的单调区间：
若?(?)在区间[−1,2]上的最小值为15，求?(?)在该区间上的最大值．
求下列函数的导数．
(1)?(?) = ?cs?−sin?；
(2)?(?) =
3? ；
?−1
1+?
(3)?(?) = ln1−?．
科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障，下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：
其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值(单位：十亿元)．
(?)从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；
(??)从2010年至2019年中随机选取两个年份，设?表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求?的分布列和数学期望；
(???)根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由．
19.设函数?(?) = ??2−(4? + 1)? + 4? + 3??．
(1)若曲线? = ?(?)在点1,?(1)处的切线与?轴平行，求?；
(2)求?(?)的单调区间．
?
20.已知函数?(?) = ln?．
(1)求函数? = ?(?)在点1,?(1)处的切线方程；
(2)设实数?使得?(?) < ??恒成立，求?的取值范围；
?
(3)设?(?) = ?(?)−??(? ∈ ?)，求函数?(?)在区间1 ,?2 上的零点个数．
21.已知集合?? = {1,2,3,⋯,2?}(? ∈ ? ∗ ,? ≥ 4)，对于集合??的非空子集?.若??中存在三个互不相同的元素
?，?，?，使得? + ?，? + ?，? + ?均属于?，则称集合?是集合??的“期待子集”．
(1)试判断集合?1 = {3,4,5}，?2 = {3,5,7}是否为集合?4的“期待子集”；(直接写出答案，不必说明理由) (2)如果一个集合中含有三个元素?，?，?，同时满足①? < ? < ?，②? + ? > ?，③? + ? + ?为偶数．那么称该集合具有性质?.对于集合??的非空子集?，证明：集合?是集合??的“期待子集”的充要条件是集合
?具有性质?；
(3)若??(? ≥ 4)的任意含有?个元素的子集都是集合??的“期待子集”，求?的最小值．
参考答案
?B
?B
?B
?B
?A
?B
?A
?A
?B
?A
?x2
12.(−4,0]
13.[−1,4)
14.1；(1,1)
44 2
15.① ② ③
16.(1)由题意?′(?) = −3?2−6? + 9 = −3(? + 3)(?−1)，令?′(?) = 0，解得?1 = −3，?2 = 1，当? < −3，? > 1时，?′(?) < 0，当−3 < ? < 1时，?′(?) > 0，
所以?(?)在区间(−∞,−3)，(1, + ∞)上单调递减，在区间(−3,1)上单调递增．
综上所述：?(?)在区间(−∞,−3)，(1, + ∞)上单调递减，在区间(−3,1)上单调递增．
(2)由(1)可得当? ∈ [−1,1)时，?(?)单调递增，当? ∈ (1,2)时，?(?)单调递减，所以当? = 1时取到极大值，也是最大值?(1) = −1−3 + 9 + ? = 5 + ?，
又?(−1) = 1−3−9 + ? = −11 + ?，?(2) = −8−12 + 18 + ? = −2 + ?，所以当? = −1时取到最小值?(−1) = −11 + ? = 15，解得? = 26，
此时?(1) = 5 + 26 = 31．
所以?(?)在区间[−1,2]上的最大值为31．
17.(1)由?(?) = ?cs?−sin?可得?′(?) = cs? + ?(−sin?)−cs? = −?sin?；
；
(2)由?(?) = 3? 可得?′(?) = 3(?−1)−3? = − 3
?−1
(?−1)2
(?−1)2
1−?
(3)由?(?) = ln1+?可得?(?) = ln(1 + ?)−ln(1−?)，
−
所以?′(?) = 1 −1 = 1−?+1+? = 2 ；
1+? 1−?
(1+?)(1−?)1−?2
18.(?)由题知，2010年到2019年共10年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，设从2010年
至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%为事件?， ∴ ?(?) = 9 ．
10
(??)由题意得?的取值可能为0，1，2
?(? = 0) =5
=
，
?22
?
9
2
10
?(? = 1) = 5 5 =
，
?1⋅?15
?
9
2
10
?(? = 2) =5
=
．
?22
?
9
2
10
?的分布列为
?(?) = 0 × 2 +1 × 5 +2 × 2 = 1．
999
(???)2010年到2019年共10年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，每年基本上都在增加，因此公司在发展的过程中重视研发．
19.(1)因为?(?) = ??2−(4? + 1)? + 4? + 3??，
所以?′(?) = 2??−(4? + 1)?? + ??2−(4? + 1)? + 4? + 3??(? ∈ ?)
= ??2−(2? + 1)? + 2??．
?′(1) = (1−?)?．
由题设知?′(1) = 0，即(1−?)? = 0，解得? = 1．此时?(1) = 3? ≠ 0．
所以?的值为1．
(2)由(1)得?′(?) = ??2−(2? + 1)? + 2?? = (??−1)(?−2)??．
1)当? = 0时，令?′(?) = 0，得? = 2，所以?,?′(?),?(?)的变化情况如下表：
?
0
1
2
?(?)
2
5
2
9
9
9
1
2)当? ≠ 0，令?′(?) = 0，得? = ?或2
1
①当? < 0时，? < 2，所以?,?′(?),?(?)的变化情况如下表：
1
? ,2
2
(2, + ∞)
单调递减
极大值
单调递增
极小值
单调递减
?(?)
−
0
+
0
−
?′(?)
?
1
1
−∞, ?
?
②当? > 0时，
当0 < 11
? < 2即? > 2时，
1
? ,2
2
(2, + ∞)
单调递增
极小值
单调递减
极大值
单调递增
?(?)
+
0
−
0
+
?′(?)
?
1
1
−∞, ?
?
11
当? = 2即? = 2时，?′(?) ≥ 0恒成立，所以?(?)在?上单调递增；
11
当? > 2即0 < ? < 2时，
?
(−∞,2)
2
(2, + ∞)
?′(?)
+
0
−
?(?)
单调递增
极大值
单调递减
?
(−∞,2)
2
1
2, ?
1
1
?
? , + ∞
?′(?)
+
0
−
0
+
?(?)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
综上，
1
?
当? < 0时，?(?)的单调递增区间是 1 ,2 ，单调递减区间是 −∞,
?
和(2, + ∞)；
当? = 0时，?(?)的单调递增区间是(−∞,2)，单调递减区间是(2, + ∞)；
1
当0 < ? < 2时，?(?)的单调递增区间是(−∞,2)和
1 , + ∞
?
，单调递减区间为
2,；
1
?
1
1
?
?
1 ,2
当? = 2时，?(?)的单调递增区间是?，无单调递减区间；
1
当? > 2时，?(?)的单调递增区间是
−∞,
和(2, + ∞)，单调递减区间是．
?2
20.(1)由题可得函数?(?)的定义域为(0, + ∞)，且?′(?) = 1−ln?，
则?′(1) = 1−ln1 = 1，因?(1) = 0，
1
所以?(?)在点(1,0)处的切线方程为?−0 = 1 × (?−1)，化简为? = ?−1．故函数? = ?(?)在点1,?(1)处的切线方程为? = ?−1．
(2)由题意知得?(?) < ??恒成立，即ln? < ??恒成立，等价于ln? < ?恒成立，
??2
设ℎ(?) = ln?(? > 0)，则ℎ′(?) = 1−2ln?，令ℎ′(?) = 0，解得? =?，
?2
?3
当0 < ?