山西省部分学校2025届高三上学期期末数学试卷（含答案）

这是一份山西省部分学校2025届高三上学期期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设全集U=x∈N∣x≤6，集合A=1,2,3,4，B=2,3,4,5，则∁U(A∪B)=( )
A. 0,1,5,6B. 1,5,6C. 0,6D. 6
2.已知复数z满足zz+i=−2i，则|z|=( )
A. 209B. 2 53C. 45D. 2 55
3.已知p:角α的终边过点P(1,2)，q:sinα=2 55，则p是q的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.(x4−2)(1x2−1)5的展开式中的常数项为( )
A. 8B. 2C. −8D. −12
5.已知正实数x，y满足x+2y=3，则x2+3yxy的最小值为( )
A. 2 2+1B. 4C. 4 2+1D. 6
6.已知函数f(x)=sinωx+π6(ω>0)在区间0,π2内有最大值，但无最小值，则ω的取值范围是( )
A. 23,103B. 43,103C. 23,83D. 43,83
7.已知椭圆C:x2a2+y22=1a> 2的离心率为 63，过点P32,12的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足|PA|=|PB|，则直线AB的方程为( )
A. 3x+y−5=0B. 3x−y−4=0C. x+y−2=0D. x−y−1=0
8.已知两条曲线y=a⋅3x−ln3与y=lnxx恰好存在两个公共点，则a的取值范围为( )
A. 0,1eB. −∞,1eC. 0,1eln3D. −∞,1eln3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，且对任意的x1，x2∈(1,2)，x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0，则( )
A. f(x)是奇函数B. f(2023)=0
C. f(x)的图象关于(1,0)对称D. f(π)>f(e)
10.甲、乙、丙、丁四人玩报数游戏：第一轮，甲报数字1，乙报数字2，3，丙报数字4，5，6，丁报数字7，8，9，10；第二轮，甲报数字11，12，13，14，15，依次循环，直到报出数字10000，游戏结束，则( )
A. 10000是乙报的B. 2024是丁报的
C. 甲共报了36轮D. 甲在前四轮所报数字之和大于1600
11.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，P，Q分别为线段A1B1，AC的中点，BA=BC=BB1=2，AB⊥BC，则( )
A. 异面直线AP与BQ所成的正弦值为 1010
B. 平面PAQ截三棱柱所得截面的面积为92
C. 二面角P−AQ−B的余弦值为13
D. 多面体ABQPB1的体积为1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在▵ABC中，AB=(2,3)，AC=(1,k)，若B为直角，则实数k= ．
13.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖、八角攒尖.如图是圆形攒尖，可近似看作圆锥与圆柱的组合体(圆锥与圆柱的底面重合且半径相等)，已知此组合体中圆柱底面的半径为4，圆锥与圆柱的高相等，若圆锥的顶点与圆柱的上、下底面圆周都在同一个球面上，则该球的体积为 ．
14.已知双曲线Γ:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，点A在Γ上，且AF1⋅AF2=0，射线AO,AF2分别交Γ于B,C两点(O为坐标原点)，若F2B=F2C，则Γ的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA5=sinB8=sinC7．
(1)求角C的大小；
(2)延长CB到D，使得BD=5，cs∠ADC= 217，求▵ABC的面积．
16.(本小题15分)
如图1，在平面四边形ABCD中，AB=5，AD=3，BC=CD=4，∠BCD=π3.将▵BCD沿BD折叠至▵PBD处，使平面PBD⊥平面ABD(如图2)，O为BD的中点，E为PO的中点，F是AB靠近点A的四等分点．
(1)求证：平面PAD⊥平面PBD；
(2)求直线EF与平面PAB所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
随着国内人均消费水平的提高，居民的运动健身意识不断增强，加之健康与解压需求的增长，使得健身器材行业发展趋势强劲，下表为2019～2023年中国健身器材市场规模(单位：百亿元)，其中2019年∼2023年对应的代码依次为1∼5．
(1)由上表数据可知，可用指数型函数模型y=abx拟合y与x的关系，请建立y关于x的归方程(a,b的值精确到0.01)；
(2)数据显示2023年购买过体育用品类的中国消费者中购买过运动防护类的占比为23，用频率估计概率，现从2023年购买过体育用品类的中国消费者中随机抽取4人，记购买过运动防护类的消费者人数为X，求X的分布列及数学期望．
参考数据：
其中vi=lnyi，v=15∑i=15vi．
参考公式：对于一组数据u1,v1,u2,v2,⋯,un,vn，其回归直线v=a+βu的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为β=i=1nuivi−nuvi=1nui2−nu2，a=v−βu．
18.(本小题17分)
已知抛物线E:x2=2py(p>0)，过点P(0,8)的直线l与E交于不同的A,B两点，且OA⊥OB，其中O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)若垂直于直线l的直线l1与E交于不同的C,D两点，且以AB为直径的圆过C,D两点，求直线l的斜率．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)的定义域为D，若存在实常数λ及a(a≠0)，对任意x∈D，当x+a∈D且x−a∈D时，都有f(x+a)+f(x−a)=λf(x)成立，则称函数f(x)具有性质M(λ,a)．
(1)判断函数f(x)=x3是否具有性质M(λ,a)，并说明理由；
(2)若函数g(x)=sin2x+sinx具有性质M(λ,a)，求λ和a的值；
(3)已知函数y=ℎ(x)不存在零点，且当x∈R时具有性质M52,1，若数列an满足a1=2，a2=4，且an=ℎ(n)n∈N∗，求an的通项公式．
参考答案
1.C
2.B
3.A
4.C
5.A
6.D
7.C
8.A
9.BC
10.BC
11.BCD
12.113
13.72 2π
14. 102
15.【详解】(1)因为sinA5=sinB8=sinC7，由正弦定理得a5=b8=c7．
所以设a=5t，t>0，则b=8t，c=7t，
由余弦定理得csC=a2+b2−c22ab=(5t)2+(8t)2−(7t)22×5t×8t=12，
又C∈0,π，所以C=π3．
(2)由(1)知cs∠ABC=BA2+BC2−AC22BA⋅BC=(7t)2+(5t)2−(8t)22×7t×5t=17，
所以sin∠ABC= 1−cs2∠ABC=4 37，又cs∠ADC= 217，
所以sin∠ADC= 1−cs2∠ADC=2 77，
所以sin∠BAD=sin(∠ABC−∠ADB)=sin(∠ABC−∠ADC)=sin∠ABCcs∠ADC−
cs∠ABCsin∠ADC=4 37× 217−17×2 77=10 749．
在▵ABD中，由正弦定理得ABsin∠ADB=BDsin∠BAD，
所以AB=BDsin∠ADBsin∠BAD=5×2 7710 749=7，
所以b=8，a=5，所以▵ABC的面积S=12absinC=12×5×8sinπ3=10 3．

16.【详解】(1)因为PB=PD，点O为BD的中点，所以PO⊥BD，
因为平面PBD⊥平面ABD，平面PBD∩平面ABD=BD，PO⊂平面PBD，
所以PO⊥平面ABD，
又AD⊂平面ABD，所以PO⊥AD．
因为PB=PD=4，∠BPD=π3，所以▵PBD是等边三角形，所以BD=4，
所以BD2+AD2=AB2，所以∠BDA=90∘，即AD⊥BD，
又BD⊂平面PBD，PO⊂平面PBD，BD∩PO=O，所以AD⊥平面PBD，
又AD⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面PBD．
(2)取AB的中点M，连接OM，则OM//AD，
又因为AD⊥平面PBD，则OM⊥平面PBD，
因为PO⊥BD，以点O为坐标原点，分别以OM、OB、OP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O−xyz，
则P0,0,2 3、E0,0, 3，M32,0,0、A(3,−2,0)、B(0,2,0)、F94,−1,0，
所以EF=94,−1,− 3，AP=−3,2,2 3，AB=(−3,4,0)．
设平面ABP的一个法向量为n=(x,y,z)，则n⋅AP=−3x+2y+2 3z=0n⋅AB=−3x+4y=0,
令x=4，得y=3，z= 3，所以n=4,3, 3，
设直线EF与平面PAB所成角为θ，
则sinθ=csn,EF=n⋅EFn⋅EF=32 7× 1454=6 10151015，
故直线EF与平面PAB所成角的正弦值为6 10151015．

17.【详解】(1)y=a⋅bx两边同时取自然对数得lny=lna⋅bx=lna+xlnb．
设lny=v，所以v=lna+xlnb，
因为x=3，v=1.602，∑i=15xi2=55，
所以lnb=i=15xivi−5xvi=15xi2−5x2=25.107−5×3×1.60255−5×32=0.1077≈0.108．
把(3,1.602)代入v=lna+xlnb，得lna=1.278，
可得a=e1.278=3.590，b=e0.108=1.114≈1.11．
所以y=3.59×1.11x，
即y关于x的回归方程为y=3.59×1.11x．
(2)由题意，得X的所有可能取值依次为0，1，2，3，4，且X∼B4,23，
P(X=0)=1−234=181，P(X=1)=C41×23×1−233=881，
P(X=2)=C42×232×1−232=827，P(X=3)=C43×233×1−23=3281，
P(X=4)=C43×234=1681，
所以X的分布列为
E(X)=4×23=83．

18.解：(1)依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+8，
由x2=2pyy=kx+8，消去y得：x2−2pkx−16p=0，显然Δ>0，
设A(x1,y1),B(x2,y2)，
则x1+x2=2pk，x1x2=−16p，则y1y2=x12x224p2=64，
由OA⊥OB，得OA⋅OB=x1x2+y1y2=−16p+64=0，解得p=4，
所以抛物线E的方程为x2=8y；
(2)由(1)知，抛物线E：x2=8y，显然直线l的斜率k≠0，
否则直线l1与抛物线只有一个交点，
设C(x3,y3),D(x4,y4)，直线l1的斜率y4−y3x4−x3=x428−x328x4−x3=x3+x48=−1k，
则x3+x4=−8k，
而C,D在以AB为直径的圆上，则CA⊥CB，DA⊥DB，
即CA⋅CB=0，DA⋅DB=0，
则(x3−x1)(x3−x2)+(x32−x12)(x32−x22)64=0(x4−x1)(x4−x2)+(x42−x12)(x42−x22)64=0,
整理得64+(x3+x1)(x3+x2)=064+(x4+x1)(x4+x2)=0,
由(1)知，x1+x2=8k，x1x2=−64，于是x32+8kx3=0x42+8kx4=0,
两式相减得：x3+x4=−8k，
又x3+x4=−8k，因此−8k=−8k，解得k=±1，
所以直线l的斜率为1或−1．

19.【详解】(1)若函数f(x)=x3具有性质M(λ,a)，则存在实常数λ及a(a≠0)，
使得(x+a)3+(x−a)3=λx3对任意的x都成立，
即2x3+6a2x=λx3，
所以λ=2，a=0，不合题意，舍去.所以函数f(x)=x3不具有性质M(λ,a)．
(2)由题意存在实常数λ及a(a≠0)，使得g(x+a)+g(x−a)=λg(x)对任意的x都成立，
即sin2(x+a)+sin(x+a)+sin2(x−a)+sin(x−a)=λsin2x+sinx，
化简得2cs2a−λsin2x+2csa−λsinx=0对任意的x都成立，
所以2csa−λ=0,2cs2a−λ=0,
解得λ=2,csa=1或λ=−1,csa=−12,
所以λ=2,a=2k1π,k1∈Z,k1≠0,或λ=−1,a=2k2π±2π3,k2∈Z.
(3)由函数y=ℎ(x)不存在零点，且具有性质M52,1得，
对任意的n≥2，n∈N∗，都有ℎ(n+1)+ℎ(n−1)=52ℎ(n)，
即an+1+an−1=52an，所以an+1−2an=12an−2an−1，
所以an+1−2an=12an−2an−1=122an−1−2an−2=⋯=12n−1a2−2a1，
又a1=2，a2=4，所以an+1−2an=0，所以an+1an=2，
所以an是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an=2n．
年份代码x
1
2
3
4
5
中国健身器材市场规模y
4.1
4.4
4.8
5.5
6.3
v
∑i=15xivi
e1.278
e0.108
1.602
25.107
3.590
1.114
X
0
1
2
3
4
P
181
881
827
3281
1681