初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）第十六章 整式的乘法16.3 乘法公式16.3.1 平方差公式集体备课ppt课件

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）第十六章 整式的乘法16.3 乘法公式16.3.1 平方差公式集体备课ppt课件，共32页。PPT课件主要包含了情境引入，x2－1，m2－4，a＋ba－b，a2－b2，a＋b，a－b，知识梳理，平方差，x2－9等内容，欢迎下载使用。
1.理解平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，了解公式的几何背景.(重点)2.能利用平方差公式进行简单的计算和推理.(重点、难点)
某同学在计算97×103时将其变成(100－3)×(100＋3)，并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？这节课，我们就来一起探讨上述计算的规律.
一、平方差公式的推导及结构特征
问题1　计算下列多项式的积，你能发现什么规律？(1)(x＋1)(x－1)＝　　　； (2)(m＋2)(m－2)＝　　 　； (3)(2x＋1)(2x－1)＝　　　 . 
提示　规律：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
问题2　根据下面的演示，你能通过求阴影部分的面积说明平方差公式吗？
(1)图1中阴影部分的面积为　　　 ； (2)将图1中阴影部分拼成图2所示的一个长方形，这个长方形的长是　　　，宽是　　　，面积是　　　　　　.
1.平方差公式：(a＋b)(a－b)＝ .两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的 .这个公式叫作(乘法的)平方差公式.2.结构特征：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式.
下列各式中，可以用平方差公式计算的是A.(x＋y)(x＋y)B.(－x＋y)(x－y)C.(－x－y)(y－x)D.(x＋y)(－x－y)
解析　A中含x，y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；B中(－x＋y)(x－y)＝－(x－y)(x－y)，含x，y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；C中(－x－y)(y－x)＝(x＋y)(x－y)，含x的项符号相同，含y的项符号相反，能用平方差公式计算，正确；D中(x＋y)(－x－y)＝－(x＋y)(x＋y)，含x，y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误.
如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能够验证平方差公式的是
A.①②B.①③C.①②③D.①②④
(课本P112例1)运用平方差公式计算：(1)(3x＋2)(3x－2)；
解　(3x＋2)(3x－2)＝(3x)2－22＝9x2－4.
(2)(－x＋2y)(－x－2y).
解　(－x＋2y)(－x－2y)＝(－x)2－(2y)2＝x2－4y2.
下列计算对不对？若不对，请在横线上写出正确结果.(1)(x－3)(x＋3)＝x2－3(　　　)，　 　　； (2)(2x－3)(2x＋3)＝2x2－9(　　　)， 　　　； (3)(－x－3)(x－3)＝x2－9(　　　)， 　　　； (4)(2xy－1)(2xy＋1)＝2xy2－1(　　　)，　　 　　. 
(课本P113例2)计算：(1)(x－1)(x＋1)(x2＋1)；
解　(x－1)(x＋1)(x2＋1)＝(x2－1)(x2＋1)＝x4－1.
(2)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)；
解　(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)＝y2－22－(y2＋4y－5) ＝y2－4－y2－4y＋5＝－4y＋1.
解　102×98＝(100＋2)(100－2) ＝1002－22＝10 000－4＝9 996.
只有符合公式条件的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按乘法法则进行.
运用平方差公式计算：(1)51×49； 
解　原式＝(50＋1)×(50－1)＝502－12＝2 500－1＝2 499.
(2)(3x＋4)(3x－4)－(2x＋3)(3x－2).
解　原式＝(3x)2－42－(6x2－4x＋9x－6)＝9x2－16－6x2＋4x－9x＋6＝3x2－5x－10.
先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
解　原式＝4x2－y2－(4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.
利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算.
先化简，再求值：(3a＋1)(3a－1)－9a(a－1)，其中a＝2.
解　(3a＋1)(3a－1)－9a(a－1)＝9a2－1－9a2＋9a＝9a－1.当a＝2时，原式＝9×2－1＝17.
对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整倍吗？
解　原式＝9n2－1－(9－n2)＝10n2－10.∵(10n2－10)÷10＝n2－1，n为正整数，∴n2－1为整数，即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍.
对于平方差公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，要注意这方面的问题.
1.下列多项式乘法中，运算结果为x2－y2的是A.(－x－y)(x－y)B.(－x＋y)(x－y)C.(－x－y)(－x＋y)D.(x＋y)(－x＋y)
解析　(－x－y)(x－y)＝(－y)2－x2＝y2－x2，A不符合题意；(－x＋y)(x－y)＝－x2＋2xy－y2，B不符合题意；(－x－y)(－x＋y)＝(－x)2－y2＝x2－y2，C符合题意；(x＋y)(－x＋y)＝y2－x2，D不符合题意.
2.计算(2x＋1)(2x－1)等于A.4x2－1B.2x2－1C.4x－1D.4x2＋1
3.计算(2m＋1)(2m－1)－4m2的结果为　　　.
解析　(2m＋1)(2m－1)－4m2＝4m2－1－4m2＝－1.
4.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是　 　.
5.利用平方差公式计算：(1)(a－2)(a＋2)(a2 ＋4)；
解　(a－2)(a＋2)(a2 ＋4)＝(a2－4)(a2＋4)＝a4－16.
(2)(x－y)(x＋y)(x2＋y2)(x4＋y4).
解　(x－y)(x＋y)(x2＋y2)(x4＋y4)＝(x2－y2)(x2＋y2)(x4＋y4)＝(x4－y4)(x4＋y4)＝x8－y8.