河南省驻马店市上蔡县第一初级中学2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试卷题

这是一份河南省驻马店市上蔡县第一初级中学2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试卷题，共15页。
A．x＞2B．x＜2C．x≥2D．x≤2
2．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．﹣＝B．＝2
C．＝2﹣D．＝3a2
4．（3分）一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
5．（3分）x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则﹣a﹣2b＝（ ）
A．﹣1B．1C．2D．﹣2
6．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A（1，2），B（2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标是（ ）
A．（2，5）B．（，5）C．（3，5）D．（3，6）
7．（3分）把等式7x＝9y，写成比例式，其中错误的是（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为（ ）
A．1B．C．D．
9．（3分）如图，△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列等式
①＝ ②＝ ③＝ ④＝
其中正确的是（ ）
A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③④
10．（3分）如图，Rt△ABO中，∠AOB＝90°，AO＝3BO，点B在反比例函数y＝的图象上，OA交反比例函数y＝（k≠0）的图象于点C，且OC＝2CA，则k的值为（ ）
A．﹣2B．﹣4C．﹣6D．﹣8
二．填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）已知，则a：b＝ ．
12．（3分）已知关于x的方程（m﹣1）x|m|+1﹣x﹣2021＝0是一元二次方程，则m的值为 ．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则sinB的值是 ．
14．（3分）计算4cs230°+tan45°﹣tan60°+2sin30°＝ ．
15．（3分）如图，在直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，4），在x轴上找到点C（1，0）和y轴的正半轴上找到点D，使△AOB与△DOC相似，则D点的坐标是 ．
三．解答题（共75分）
16．（8分）计算：
（1）﹣+（+1）（﹣1）；
（2）．
17．（10分）解下列方程：
（1）x（x﹣2）+x﹣2＝0；
（2）（x﹣2）（x﹣4）＝12．
18．（9分）已知：x＝1﹣，y＝1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．
19．（9分）已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣4＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，且该方程的两个根都是整数，求m的值．
20．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16cm，AC＝12cm，点P从B出发沿BC以2cm/s的速度向C移动，点Q从C出发，以1cm/s的速度向A移动，若P、Q分别从B、C同时出发，设运动时间为ts，当为何值时，△CPQ与△CBA相似？
21．（10分）某商店经销一批季节性小家电，每台成本40元，经市场预测，定价为52元时，可销售180台，定价每增加（或减少）1元，销售量将减少（或增加）10台．
（1）如果每台家电定价增加2元，则商店每天可销售的件数是多少？
（2）商店销售该家电获利2000元，那么每台家电应定价多少元？
（3）商店能否获利2400元，如果能那么每台家电应定价多少元？如果不能，请说明理由．
22．（10分）如图，点B、C、E在一条直线上，△ABC和△CDE是等边三角形，且BC＝10cm，CE＝4cm，R是DE的中点，连结BR交AC于点P，交CD于点Q．求PC、CQ的长．
23．（10分）如图，已知正方形ABCD，∠BAE＝60°，AB＝AE，DF⊥BE的延长线于点F．
（1）求证：△DEF是等腰直角三角形；
（2）若AB＝1，求CF的值．
参考答案
一．选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）要使二次根式有意义，那么x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x≥2D．x≤2
【解答】解：根据题意，得
2x﹣4≥0，
解得，x≥2．
故选：C．
2．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵＝，＝2，＝，＝3，
∴与是同类二次根式．
故选：C．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．﹣＝B．＝2
C．＝2﹣D．＝3a2
【解答】解：A、与﹣不能合并，所以A选项错误；
B、原式＝＝，所以B选项错误；
C、原式＝﹣2，所以C选项错误；
D、原式＝3a2，所以D选项正确．
故选：D．
4．（3分）一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【解答】解：由题意可知：Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
故选：B．
5．（3分）x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则﹣a﹣2b＝（ ）
A．﹣1B．1C．2D．﹣2
【解答】解：将x＝1代入原方程可得：12+a+2b＝0，
∴a+2b＝﹣1，
∴﹣a﹣2b＝﹣（a+2b）＝1，
故选：B．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A（1，2），B（2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标是（ ）
A．（2，5）B．（，5）C．（3，5）D．（3，6）
【解答】解：∵以原点O为位似中心，把线段 AB放大后得到线段CD，且B（2，0），D（5，0），
∴＝，
∵A（1，2），
∴C（，5）．
故选：B．
7．（3分）把等式7x＝9y，写成比例式，其中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵7x＝9y，
∴＝或＝或＝．
故选：C．
8．（3分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为（ ）
A．1B．C．D．
【解答】解：在Rt△ABD中，BD＝4，AD＝3，
∴tan∠ABC＝＝，
故选：D．
9．（3分）如图，△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列等式
①＝ ②＝ ③＝ ④＝
其中正确的是（ ）
A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③④
【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴△ADE∽△ABC，△CEF∽△CAB，
∴，
故选：D．
10．（3分）如图，Rt△ABO中，∠AOB＝90°，AO＝3BO，点B在反比例函数y＝的图象上，OA交反比例函数y＝（k≠0）的图象于点C，且OC＝2CA，则k的值为（ ）
A．﹣2B．﹣4C．﹣6D．﹣8
【解答】解：如图，作CH⊥x轴于H，作BE⊥x轴于E．设B（m，n）．
∵∠BOC＝∠CHO＝∠BEO＝90°，
∴∠COH+∠HCO＝90°，∠COH+∠BOE＝90°，
∴∠BOE＝∠COH，
∴△COH∽△OBE，
∴＝＝，
∵AO＝3OB，OC＝2CA，
∴CO＝2OB，
∴OH＝2n，CH＝2m，
∴C（﹣2n，2m），
∵mn＝2，
∴k＝﹣4mn＝﹣8，
故选：D．
二．填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）已知，则a：b＝ 2：3 ．
【解答】解：∵，
∴＝，
∴＝，
∴a：b＝2：3．
12．（3分）已知关于x的方程（m﹣1）x|m|+1﹣x﹣2021＝0是一元二次方程，则m的值为 ﹣1 ．
【解答】解：根据题意得
m﹣1≠0且|m|+1＝2，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则sinB的值是 ．
【解答】解：∵Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD＝2，
∴AB＝2CD＝4，
则sinB＝＝．
故答案为：．
14．（3分）计算4cs230°+tan45°﹣tan60°+2sin30°＝ 2 ．
【解答】解：4cs230°+tan45°﹣tan60°+2sin30°
＝4×+1﹣+2×
＝4×+1﹣+2×
＝3+1﹣3+1
＝2，
故答案为：2．
15．（3分）如图，在直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，4），在x轴上找到点C（1，0）和y轴的正半轴上找到点D，使△AOB与△DOC相似，则D点的坐标是 （0，）或（0，2） ．
【解答】解：若△AOB∽△DOC，点D在x轴上方：∠B＝∠OCD，
∴＝，即＝．
∴OD＝．
∴D（0，），
若△AOB∽△COD，点D在x轴上方：可得D（0，2）．
综上所述，D点的坐标是（0，）或（0，2）．
故答案为：（0，）或（0，2）．
三．解答题（共75分）
16．（8分）计算：
（1）﹣+（+1）（﹣1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝3﹣2+3﹣1
＝+2；
（2）原式＝1+﹣﹣2+
＝1﹣．
17．（10分）解下列方程：
（1）x（x﹣2）+x﹣2＝0；
（2）（x﹣2）（x﹣4）＝12．
【解答】解：（1）x（x﹣2）+x﹣2＝0，
（x﹣2）（x+1）＝0，
∴x﹣2＝0或x+1＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣1；
（2）（x﹣2）（x﹣4）＝12，
x2﹣6x＝4，
x2﹣6x+9＝4+9，即（x﹣3）2＝13，
∴x﹣3＝±，
∴x1＝3+，x2＝3﹣．
18．（9分）已知：x＝1﹣，y＝1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．
【解答】解：∵x＝1﹣，y＝1+，
∴x﹣y＝（1﹣）﹣（1+）＝﹣2，
xy＝（1﹣）（1+）＝﹣1，
∴x2+y2﹣xy﹣2x+2y＝（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+xy
＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）+（﹣1）
＝7+4．
19．（9分）已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣4＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，且该方程的两个根都是整数，求m的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣4＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝[2（m﹣1）]2﹣4（m2﹣4）＝﹣8m+20＞0，
解得：m＜．
（2）∵m为正整数，
∴m＝1，2．
当m＝1时，原方程为x2﹣3＝0，
解得：m＝±（舍去）；
当m＝2时，原方程为x2+2x＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣2．
∴m＝2．
20．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16cm，AC＝12cm，点P从B出发沿BC以2cm/s的速度向C移动，点Q从C出发，以1cm/s的速度向A移动，若P、Q分别从B、C同时出发，设运动时间为ts，当为何值时，△CPQ与△CBA相似？
【解答】解：CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，
所以，＝，
即＝，
解得t＝4.8；
CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，
所以，＝，
即＝，
解得t＝．
综上所述，当t＝4.8秒或秒时，△CPQ与△CBA相似．
21．（10分）某商店经销一批季节性小家电，每台成本40元，经市场预测，定价为52元时，可销售180台，定价每增加（或减少）1元，销售量将减少（或增加）10台．
（1）如果每台家电定价增加2元，则商店每天可销售的件数是多少？
（2）商店销售该家电获利2000元，那么每台家电应定价多少元？
（3）商店能否获利2400元，如果能那么每台家电应定价多少元？如果不能，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得：180﹣10×2＝160（台），
答：如果每台家电定价增加2元，则商店每天可销售的件数是160台；
（2）①定价增加时，设每台家电应定价x元，
则（x﹣40）[180﹣10（x﹣52）]＝2000，
解得：x1＝50（不符合题意，舍去），x2＝60，
即每台家电应定价为60元；
②定价减少时，设每台家电应定价x元，
则（x﹣40）[180﹣10（52﹣x）]＝2000，
解得：x1＝60（不符合题意，舍去），x2＝50，
即每台家电应定价为50元；
综上所述，每台家电应定价为50元或60元；
（3）商店不能获利2400元，理由如下：
①定价增加时，设每台家电应定价x元，
则（x﹣40）[180﹣10（x﹣52）]＝2400，
整理得：x2﹣110x+3040＝0，
∵Δ＝（﹣110）2﹣4×1×3040＜0，
∴此方程无实数根，
∴商店不能获利2400元；
②定价减少时，设每台家电应定价x元，
则（x﹣40）[180﹣10（52﹣x）]＝2400，
整理得：x2﹣110x+3040＝0，
∵Δ＝（﹣110）2﹣4×1×3040＜0，
∴此方程无实数根，
∴商店不能获利2400元；
综上所述，商店不能获利2400元．
22．（10分）如图，点B、C、E在一条直线上，△ABC和△CDE是等边三角形，且BC＝10cm，CE＝4cm，R是DE的中点，连结BR交AC于点P，交CD于点Q．求PC、CQ的长．
【解答】解：∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴∠ACB＝∠DEC＝60°，BC＝AD＝CE＝10cm，CD＝DE＝CE＝4cm，
∴AC∥DE，
∵R是DE的中点，
∴DR＝ER＝2cm，
∵AC∥DE，
∴，
∴，
解得PC＝（cm），
∵AC∥DE，
∴△PCQ∽△RDQ，
∴，
∴
解得CQ＝（cm）．
23．（10分）如图，已知正方形ABCD，∠BAE＝60°，AB＝AE，DF⊥BE的延长线于点F．
（1）求证：△DEF是等腰直角三角形；
（2）若AB＝1，求CF的值．
【解答】（1）证明：∵∠BAE＝60°，AB＝AE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠ABE＝∠AEB＝60°，BE＝AE＝AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∴∠EAD＝90°﹣60°＝30°．
∵AD＝AE＝AB，
∴∠AED＝∠ADE＝75°，
∴∠DEF＝180°﹣∠AEB﹣∠AED＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
∵DF⊥BF，
∴∠EDF＝∠DEF＝45°．
∴△DEF是等腰直角三角形，
（2）∵BD是正方形ABCD的对角线，DC＝AB＝1，
∴．
由（1）知，△DEF是等腰直角三角形，∠DFE＝90°，
∴．
∴，
∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠BDC＝45°．
∴∠BDE＝∠BDC﹣∠EDC＝45°﹣∠EDC．
由（1）知，∠EDF＝45°，
∴∠CDF＝∠EDF﹣∠EDC＝45°﹣∠EDC．
∴∠BDE＝∠CDF，
∴△BDE∽△CDF，
∴，
∵BE＝AB＝1，
∴．
∴CF＝．