2024^2025学年江苏省无锡市八年级上学期期中数学试卷（2套）附解析

这是一份2024^2025学年江苏省无锡市八年级上学期期中数学试卷（2套）附解析，共68页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列航空公司的标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．贵州航空 B．江西航空
C．春秋航空 D．香港航空
2．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．72°B．60°C．58°D．50°
3．（3分）如图，已知AB＝DC，下列条件中，不能使△ABC≌△DCB的是（ ）
A．AC＝DBB．∠A＝∠D＝90°C．∠ABC＝∠DCBD．∠ACB＝∠DBC
4．（3分）已知△ABC的三条边分别为a、b、c，三个内角分别为∠A、∠B、∠C，则满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．a＝6，b＝8，c＝10B．a2﹣c2＝b2
C．∠A＝2∠B＝3∠CD．∠A﹣∠B＝∠C
5．（3分）下列命题：①到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；②角是轴对称图形，对称轴是角平分线；③有两个内角相等的三角形是等腰三角形；④两边分别相等且其中一边的对角也相等的两个三角形全等；其中真命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（ ）
A．1B．C．2D．
7．（3分）在△ABC中，AC＝3，△ABC的周长为12，设AB的长为x，下列说法不正确的是（ ）
A．△ABC为等腰三角形时，x＝4.5
B．△ABC不可能是等边三角形
C．△ABC为直角三角形时，x＝4
D．3＜x＜6
8．（3分）如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．随x，m，n的值而定
9．（3分）如图，△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝4，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（ ）
A．2B．3C．3.5D．4
10．（3分）直三棱柱的表面展开图如图所示，AC＝3，BC＝4，AB＝5，四边形AMNB是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点C距离最大的是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为 ．
12．（3分）如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，连接AC．若AB＝AC，CE＝5，BC＝6，则△ABC的周长等于 ．
13．（3分）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝ 度．
14．（3分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，若∠A＝∠ABE，AC＝10，BC＝6，则BD的长为 ．
15．（3分）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是 ．
16．（3分）机场入口处的铭牌上说明，飞机行李架是一个50cm×40cm×20cm的长方体空间，有位旅客想购买一件画卷随身携带，现有4种长度的画卷①38cm；②40cm；③60cm；④68cm，请问这位旅客可以购买的尺寸是 ．（填写序号）
17．（3分）如图，以AB为斜边的Rt△ABC的每条边为边作三个正方形，分别是正方形ABMN，正方形BCPQ，正方形ACEF，且边EF恰好经过点N．若S3＝S4＝6，则S1+S5＝ ．（注：图中所示面积S表示相应封闭区域的面积，如S3表示△ABC的面积）
18．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜75°），与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A′CD处，射线CA′与射线AB相交于点E．若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
19．（8分）如图，点C、E、F、B在同一直线上，AB∥CD，AE＝DF，∠AEB＝∠DFC．
（1）求证：△ABE≌△DCF；
（2）若∠A＝55°，∠C＝30°，求∠BFD的度数．
20．（8分）如图，是由小正方形组成的6×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A、B、C三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中根据要求完成画图．
（1）在图1中，画出△ABC关于直线l对称的图形△DEF；△ABC的面积为 ；
（2）在图2中，画出∠ABC的角平分线．
21．（8分）某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，AD＝13m．若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？
22．（10分）已知△ABC中，AB＝AC．
（1）如图1，在△ADE中，若AD＝AE，且∠DAE＝∠BAC，求证：CD＝BE；
（2）如图2，在△ADE中，若∠DAE＝∠BAC＝60°，且CD垂直平分AE，AD＝3，CD＝4，求BD的长．
23．（10分）如图：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t秒．
（1）当t＝ 时，AP平分△ABC的面积．
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
（3）若点E、F分别为BC、AB上的动点，请直接写出AE+EF的最小值．
24．（12分）【了解概念】
如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接CE，连接BD并延长与CE交于点F，那么将∠BFC叫做△ABC和△ADE的底联角．
【探究归纳】
（1）两个等腰三角形的底联角与这两个等腰三角形的顶角有怎样的数量关系？请用文字语言写出结论．
【拓展提升】
运用（1）中的结论解决问题：
（2）如图2，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝DAE＝90°，∠DCE＝62°，求∠BDC的度数；
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，CD＝5，点O为四边形ABCD内一点．且OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，求AD的长．
25．（10分）课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．
若两直角边为a，b（a＜b），斜边为c．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、 、 ；
（2）当a＝n（n为奇数，且n≥3）时，若b＝ ，c＝ 时可以构造出勾股数（用含n的代数式表示）；并证明你的猜想；
（3）当a＝n（n为偶数，且n＞4）时，若b＝ ，c＝ 时可以构造出勾股数（用含n的代数式表示）；
（4）构造勾股数的方法很多，请你寻找当a＝20时，c＝ ．
2024-2025学年江苏省无锡市八年级上学期期中数学检测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列航空公司的标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．贵州航空B．江西航空
C．春秋航空D．香港航空
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．72°B．60°C．58°D．50°
【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角进而得出答案．
解：∵图中的两个三角形全等，
∴∠α＝50°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，正确找出对应角是解题关键．
3．（3分）如图，已知AB＝DC，下列条件中，不能使△ABC≌△DCB的是（ ）
A．AC＝DBB．∠A＝∠D＝90°C．∠ABC＝∠DCBD．∠ACB＝∠DBC
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
解：A．AB＝DC，BC＝CB，AC＝DB，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
B．∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，BC＝CB，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
C．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DCB，故本选不项符合题意；
D．AB＝DC，BC＝CB，∠ACB＝∠DBC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DCB，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
4．（3分）已知△ABC的三条边分别为a、b、c，三个内角分别为∠A、∠B、∠C，则满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．a＝6，b＝8，c＝10B．a2﹣c2＝b2
C．∠A＝2∠B＝3∠CD．∠A﹣∠B＝∠C
【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理逐一判断即可．
解：A、∵202＝62+82，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
B、∵a2﹣c2＝b2，
∴a2＝b2+c2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、设∠A＝x°，则∠B＝（）°，∠C＝（）°，
则x++＝180，
∴x＝，
即∠A＝（）°，
∴△ABC不是直角三角形，符合题意；
D、∵∠A﹣∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理是解题的关键．
5．（3分）下列命题：①到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；②角是轴对称图形，对称轴是角平分线；③有两个内角相等的三角形是等腰三角形；④两边分别相等且其中一边的对角也相等的两个三角形全等；其中真命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用线段的垂直平分线的判定方法、角的对称性、等腰三角形的定义、全等三角形等知识点逐项判断即可．灵活运用相关定义是解题的关键．
解：①到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题，符合题意；
②角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
③有两个内角相等的三角形是等腰三角形，正确，是真命题，符合题意；
④两边分别相等且其夹角也相等的两个三角形全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
综上，真命题有2个．
故选：B．
【点评】本题考查命题与定理，全等三角形的判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，轴对称图形，灵活运用相关定义是解题的关键．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（ ）
A．1B．C．2D．
【分析】点D到AB的距离，指的是过点D作AB的垂线段DE的长度，根据角平分线的性质，可以得到DE＝CD，利用AC＝4，DC＝AD，可以求出线段CD的长度，问题即可解决．
解：如图，过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，
∴CD⊥BC，
∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，
∴DE＝CD，
∵CD＝，AC＝4，
∴，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质，点D到AB的距离指的是过点D作AB的垂线段的长度，是解决此题的突破口．
7．（3分）在△ABC中，AC＝3，△ABC的周长为12，设AB的长为x，下列说法不正确的是（ ）
A．△ABC为等腰三角形时，x＝4.5
B．△ABC不可能是等边三角形
C．△ABC为直角三角形时，x＝4
D．3＜x＜6
【分析】根据等腰三角形、等边三角形、直角三角形的定义以及三角形的三边关系分析解答即可．
解：A、当AB＝BC＝4.5，即x＝4.5时，△ABC是等腰三角形，说法正确，故选项不符合题意；
B、周长为12的等边三角形，边长为4，而AC＝3，故△ABC不可能是等边三角形，说法正确，故选项不符合题意；
C、△ABC是直角三角形时，根据勾股定理的逆定理可知AC＝3，AB＝x＝4时，BC＝5或AC＝3，AB＝x＝5，BC＝4都可以，原说法错误，故选项符合题意；
D、根据三角形的三边关系可知3＜x＜6，说法正确，故选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形、等边三角形、直角三角形的定义以及三角形的三边，解题的关键是熟练掌握各种三角形的判定方法．
8．（3分）如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．随x，m，n的值而定
【分析】将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．想办法证明∠HCN＝120°，HN＝MN＝x即可解决问题；
解：将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，
∵∠MBN＝30°，
∴∠ABM+∠CBN＝30°，
∴∠NBH＝∠CBH+∠CBN＝30°，
∴∠NBM＝∠NBH，
∵BM＝BH，BN＝BN，
∴△NBM≌△NBH，
∴MN＝NH＝x，
∵∠BCH＝∠A＝60°，CH＝AM＝m，
∴∠NCH＝120°，
∴x，m，n为边长的三角形△NCH是钝角三角形，
故选：C．
【点评】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
9．（3分）如图，△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝4，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（ ）
A．2B．3C．3.5D．4
【分析】根据三角形斜边中线的性质求得CN＝AB＝5，CM＝＝2，由当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，即可求得MN的最小值为3．
解：如图，连接CM、CN，
△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∵DE＝4，点M、N分别是DE、AB的中点，
∴CN＝AB＝5，CM＝DE＝2，
当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，
∴MN的最小值为：5﹣2＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，明确C、M、N在同一直线上时，MN取最小值是解题的关键．
10．（3分）直三棱柱的表面展开图如图所示，AC＝3，BC＝4，AB＝5，四边形AMNB是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点C距离最大的是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
【分析】根据直三棱柱的特征结合勾股定理求出各线段的距离，再比较大小即可求解．
解：∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，四边形AMNB是正方形，立方体是直三棱柱，
∴CQ＝5，
∴折叠成直三棱柱后CM＝＝，
折叠成直三棱柱后CP＝＝，
折叠成直三棱柱后CN＝＝，
∵＞＞5，
∴与点C距离最大的是点N．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，展开图折叠成几何体，关键是求出各线段的距离．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为 15 ．
【分析】由三角形的三边关系可知，其两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
解：由三角形的三边关系可知，由于等腰三角形两边长分别是3和6，
所以其另一边只能是6，
故其周长为6+6+3＝15．
故答案为15．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系问题，能够利用三角形的三边关系求解一些简单的计算、证明问题．
12．（3分）如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，连接AC．若AB＝AC，CE＝5，BC＝6，则△ABC的周长等于 16 ．
【分析】根据线段垂直平分线得到AC＝CE＝5，直接根据周长公式计算即可．
解：∵MN垂直平分AE，
∴AC＝CE＝5，
∴AB＝AC＝5，
又∵BC＝6，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝5+5+6＝16，
故16．
【点评】此题考查线段垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等是解题的关键．
13．（3分）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝ 15 度．
【分析】根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB＝60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，∠ACD＝120°，
∵CG＝CD，
∴∠CDG＝30°，∠FDE＝150°，
∵DF＝DE，
∴∠E＝15°．
故15．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中．
14．（3分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，若∠A＝∠ABE，AC＝10，BC＝6，则BD的长为 2 ．
【分析】由已知条件判定△BEC的等腰三角形，且BC＝CE；由等角对等边判定AE＝BE，则易求BD＝2．
解：如图，∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，
则∠BCD＝∠ECD，∠BDC＝∠EDC＝90°，
在△BCD和△ECD中，
，
∴△BCD≌△ECD（ASA），
∴BC＝CE．
又∵∠A＝∠ABE，
∴AE＝BE．
∴．
∵AC＝10，BC＝6，
∴，
故答案是：2．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定及性质，熟悉相关性质是解题的关键．
15．（3分）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是 1.4m ．
【分析】由直角三角形的性质得出∠COE＝∠OBD，根据AAS可证明△COE≌△OBD，由全等三角形的性质得出CE＝OD、OE＝BD，求出DE的长即可解答．
解：由题意可知：∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，
∵∠BOC＝90°，
∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°．
∴∠COE＝∠OBD，
在△COE和△OBD中，
，
∴△COE≌△OBD（AAS），
∴CE＝OD，OE＝BD，
∵BD、CE分别为1.4m和1.8m，
∴DE＝OD﹣OE＝CE﹣BD＝1.8﹣1.4＝0.4（m），
∵AD＝1m，
∴AE＝AD+DE＝1+0.4＝1.4（m）．
故1.4m．
【点评】本题考查勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，证明△COE≌△OBD（AAS）是解题的关键．
16．（3分）机场入口处的铭牌上说明，飞机行李架是一个50cm×40cm×20cm的长方体空间，有位旅客想购买一件画卷随身携带，现有4种长度的画卷①38cm；②40cm；③60cm；④68cm，请问这位旅客可以购买的尺寸是 ①②③ ．（填写序号）
【分析】先根据勾股定理求得长方体的体对角线的长度，然后与画卷的长度进行比较即可解答．
解：如图，连接AC，CE．
由题意知：AD＝20cm，CD＝50cm，AE＝40cm．
在直角△ACD中，由勾股定理知：AC2＝AD2+CD2＝202+502．
在直角△ACE中，CE2＝AE2+AC2．
∴CE2＝402+202+502＝4500．
因为382＝1444＜4500，402＝1600＜4500，602＝3600＜4500，682＝4624＞4500，
所以这位旅客可以购买的尺寸是①②③．
故①②③．
【点评】本题考查勾股定理，求得长方体的体对角线的长度是解题的关键．
17．（3分）如图，以AB为斜边的Rt△ABC的每条边为边作三个正方形，分别是正方形ABMN，正方形BCPQ，正方形ACEF，且边EF恰好经过点N．若S3＝S4＝6，则S1+S5＝ 6 ．（注：图中所示面积S表示相应封闭区域的面积，如S3表示△ABC的面积）
【分析】如图，连接MQ，作MG⊥EC于G，设PC交BM于T，MN交EC于W．证明△ABC≌△MBQ（SAS），推出∠ACB＝∠BQM＝90°，由∠PQB＝90°，推出M，P，Q共线，由四边形CGMP是矩形，推出MG＝PC＝BC，证明△MGW≌△BCT（AAS），推出MW＝BT，由MN＝BM，NW＝MT，可证△NWE≌MTP，推出S1+S5＝S3＝6，
解：如图，连接MQ，作MG⊥EC于G，设PC交BM于T，MN交EC于W．
∵∠ABM＝∠CBQ＝90°，
∴∠ABC＝∠MBQ，
∵BA＝BM，BC＝BQ，
∴△ABC≌△MBQ（SAS），
∴∠ACB＝∠BQM＝90°，
∵∠PQB＝90°，
∴M，P，Q共线，
∵四边形CGMP是矩形，
∴MG＝PC＝BC，
∵∠BCT＝∠MGB＝90°，∠BTC+∠CBT＝90°，∠BQM+∠CBT＝90°，
∴∠MQG＝∠BTC，
∴△MGW≌△BCT（AAS），
∴MW＝BT，
∵MN＝BM，
∴NW＝MT，可证△NWE≌MTP，
∴S1+S5＝S3＝6，
解法二：∵AC2+BC2＝AB2，
∴S1+S2+S左空+S右空+S5＝S3+S4+S左空+S右空，
∴S1+S5＝S4＝6
故答案为6．
【点评】本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．
18．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜75°），与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A′CD处，射线CA′与射线AB相交于点E．若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为 22.5°或67.5°或45° ．
【分析】根据折叠的性质可得：∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACA′，∠A＝∠DA′C＝30°，然后分三种情况：当A′D＝A′E时；当DA′＝DE时；当ED＝EA′时；分别进行计算即可解答．
解：由折叠得：∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACA′，∠A＝∠DA′C＝30°，
分三种情况：
当A′D＝A′E时，如图：
∴∠A′DE＝∠A′ED＝（180°﹣∠A′）＝75°，
∵∠A′ED是△ACE的一个外角，
∴∠ACE＝∠A′ED﹣∠A＝45°，
∴∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACE＝22.5°；
当A′D＝A′E时，当△ADC和△A′DC位于射线AB的同侧时，如图：
∴∠A′DE＝∠A′ED＝∠CA′D＝15°，
∴∠ACA′＝180°﹣∠A﹣∠A′EA＝135°，
∴∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACA′＝67.5°；
当DA′＝DE时，
∴∠A′＝∠DEA′＝30°，
∵∠DEA′是△ACE的一个外角，
∴∠DEA′＞30°，
∴此种情况不成立；
当ED＝EA′时，如图：
∴∠EDA′＝∠A′＝30°，
∴∠DEA′＝180°﹣∠EDA′﹣∠A′＝120°，
∵∠A′ED是△ACE的一个外角，
∴∠ACE＝∠A′ED﹣∠A＝90°，
∴∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACE＝45°；
综上所述：若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为22.5°或67.5°或45°，
故22.5°或67.5°或45°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，翻折变换（折叠问题），分三种情况讨论是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
19．（8分）如图，点C、E、F、B在同一直线上，AB∥CD，AE＝DF，∠AEB＝∠DFC．
（1）求证：△ABE≌△DCF；
（2）若∠A＝55°，∠C＝30°，求∠BFD的度数．
【分析】（1）利用平行线的性质得∠B＝∠C，再利用AAS证明△ABE≌△DCF；
（2）利用全等三角形的性质得∠D＝∠A＝45°，再利用三角形外角的性质可得答案．
（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△DCF，
∴∠D＝∠A＝55°，
∴∠BFD＝∠C+∠D＝30°+55°＝85°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质等知识，证明△ABE≌△DCF是解题的关键．
20．（8分）如图，是由小正方形组成的6×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A、B、C三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中根据要求完成画图．
（1）在图1中，画出△ABC关于直线l对称的图形△DEF；△ABC的面积为 4 ；
（2）在图2中，画出∠ABC的角平分线．
【分析】（1）根据轴对称的性质确定A，B，C的对应点D，E，F，然后再顺次连接即可，再运用割补法求△ABC的面积即可；
（2）先构造等腰直角三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质作图即可．
解：（1）如图1：△DEF即为所求．
△ABC的面积为．
（2）如图2：线段BD即为所求．
．
【点评】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，三角形的面积，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．
21．（8分）某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，AD＝13m．若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？
【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出∠ACD＝90°，再利用直角三角形的性质得出答案．
解：连接AC
∵∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，BC＝12m，
AC2＝AB2+BC2＝32+42＝25，则AC＝5m，
∴AC2+CD2＝25+144＝169＝132
又∵AD2＝132，
∴AC2+CD2＝CD2
∴∠ACD＝90°，
∴△ACD是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积＝6+30＝36（m2），
∴学校要投入资金为：200×36＝7200（元）；
答：学校需要投入7200元买草皮．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确得出△ACD是直角三角形是解题关键．
22．（10分）已知△ABC中，AB＝AC．
（1）如图1，在△ADE中，若AD＝AE，且∠DAE＝∠BAC，求证：CD＝BE；
（2）如图2，在△ADE中，若∠DAE＝∠BAC＝60°，且CD垂直平分AE，AD＝3，CD＝4，求BD的长．
【分析】（1）由角的和差可得∠DAC＝∠BAE，进而证得△ACD≌△ABE，再根据全等三角形的性质即可证明结论；
（2）如图2：连接BE，由垂直平分线的性质可得AD＝DE，进而得到△ADE是等边三角形，即；再运用全等三角形的性质可得BE＝CD＝4，∠BEA＝∠CDA＝30°，最后运用勾股定理即可解答．
（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠CAE＝∠BAC+∠CAE，即∠DAC＝∠BAE．
在△ACD与△ABE中，
，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE．
（2）解：如图2：连接BE，
∵CD垂直平分AE
∴AD＝DE，
∵∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴，
∵△ABE≌△ACD，
∴BE＝CD＝4，∠BEA＝∠CDA＝30°，
∴BE⊥DE，DE＝AD＝3，
∴．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23．（10分）如图：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t秒．
（1）当t＝ 1 时，AP平分△ABC的面积．
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
（3）若点E、F分别为BC、AB上的动点，请直接写出AE+EF的最小值．
【分析】（1）先由勾股定理可得BC的长，当AP是中线时，AP平分△ABC的面积，即2t＝2，可得结论；
（2）当△ABP为等腰三角形时，存在三种情况：AP＝BP或AB＝AP或AB＝BP，根据BP＝2t和等量关系列方程可解答；
（3）如图4中，如图4，延长AC至A'，连接BA'，过点A作AF'⊥A'B于F'，在AB上取BF＝BF'，根据对称可知：AE+EF的最小值就是AF'的长，根据面积法可得结论．
解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，
∴BC＝＝＝4，
当BP＝CP时，AP平分△ABC的面积，
即BP＝2t＝2，
∴t＝1，
则当t＝1时，AP平分△ABC的面积；
故1；
（2）分三种情况：
①如图1，AP＝PB，
由题意得：AP＝BP＝2t，
∴CP＝4﹣2t，
由勾股定理得：AP2＝AC2+PC2，
∴（2t）2＝32+（4﹣2t）2，
∴t＝；
②如图2，AB＝BP＝5，
∴2t＝5，
∴t＝；
③如图3，AB＝AP，
∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BP，
∴BP＝2BC＝8，
∴2t＝8，
∴t＝4；
综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t的值是或或4；
（3）如图4，延长AC至A'，连接BA'，过点A作AF'⊥A'B于F'，在AB上取BF＝BF'，
则AB与A'B关于BC对称，
∴EF＝EF'，
∴AE+EF＝AE+EF'＝AF'，即此时AE+EF的值最小，且最小值是AF'的长，
∵AC＝A'C＝3，AB＝A'B＝5，
∴△ABA'的面积＝×6×4＝×5AF'，
∴AF'＝，
∴AE+EF的最小值是．
【点评】本题考查三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定，轴对称的性质，三角形中线的性质，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称把问题转化为垂线段最短，属于中考常考题型．
24．（12分）【了解概念】
如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接CE，连接BD并延长与CE交于点F，那么将∠BFC叫做△ABC和△ADE的底联角．
【探究归纳】
（1）两个等腰三角形的底联角与这两个等腰三角形的顶角有怎样的数量关系？请用文字语言写出结论．
【拓展提升】
运用（1）中的结论解决问题：
（2）如图2，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝DAE＝90°，∠DCE＝62°，求∠BDC的度数；
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，CD＝5，点O为四边形ABCD内一点．且OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，求AD的长．
【分析】（1）由题中的条件结合图1可知，两个等腰三角形的底联角等于这两个等腰三角形的顶角，说明理由的方法是，先证明△BAD≌△CAE，推得∠ADB＝∠AEC，再由∠DAE+∠DFE＝180°，∠BFC+∠DFE＝180°得∠BFC＝∠DAE＝∠BAC；
（2）当点D在△ABC的内部时，延长BD交CE于点F，由（1）中的结论直接推得∠BFC＝∠DAE＝90°，再由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BDC的度数；当点D在△ABC的外部时，设BD交CE于点F，交AC于点G，先证明△BAD≌△CAE，得∠ABD＝∠ACE，则∠ACE+∠CGD＝∠ABD+∠AGB＝90°，由此推得∠AFC＝90°，再由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BDC的度数；
（3）连接AC、BD交于点F，则∠BFC＝∠AFB＝∠AFD＝∠CFD＝90°，由勾股定理可推得AD2+BC2＝AB2+CD2＝FA2+FB2+FC2+FD2，则AD2+42＝62+52，可求出AD长．
解：（1）两个等腰三角形的底联角等于这两个等腰三角形的顶角．
理由：如图1，∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ADB＝∠AEC，
∴∠ADF+∠AEC＝∠ADF+∠ADB＝180°，
∴∠DAE+∠DFE＝180°，
∵∠BFC+∠DFE＝180°，
∴∠BFC＝∠DAE＝∠BAC．
（2）当点D在△ABC的内部时，如图2甲，延长BD交CE于点F，
∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝DAE＝90°，
∴∠BFC＝∠DAE＝90°，
∵∠DCE＝62°，
∴∠BDC＝∠BFC+∠DCE＝90°+62°＝152°；
当点D在△ABC的外部时，如图2乙，BD交CE于点F，交AC于点G，
∵∠BAC＝DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE＝90°+∠CAD，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠CGD＝∠AGB，
∴∠ACE+∠CGD＝∠ABD+∠AGB＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴∠BDC＝∠BFC﹣∠DCE＝90°﹣62°＝28°，
综上所述，∠BDC＝152°或∠BDC＝28°.
（3）如图3，连接AC、BD交于点F，
∵OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠BFC＝∠COD＝90°，
∴∠AFB＝∠AFD＝∠CFD＝90°，
∴AD2＝FA2+FD2，BC2＝FB2+FC2，AB2＝FA2+FB2，CD2＝FC2+FD2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2＝FA2+FB2+FC2+FD2，
∵AB＝6，BC＝4，CD＝5，
∴AD2+42＝62+52，
∴AD＝3，
∴AD的长为3．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及其推论、勾股定理、新定义问题的求解等知识与方法，解题的关键是通过作辅助线创造条件，用在一般情况下得出的结论解决特殊情况下的问题．
25．（10分）课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．
若两直角边为a，b（a＜b），斜边为c．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、 60 、 61 ；
（2）当a＝n（n为奇数，且n≥3）时，若b＝ ，c＝ 时可以构造出勾股数（用含n的代数式表示）；并证明你的猜想；
（3）当a＝n（n为偶数，且n＞4）时，若b＝ ，c＝ ； 时可以构造出勾股数（用含n的代数式表示）；
（4）构造勾股数的方法很多，请你寻找当a＝20时，c＝ 25或52或101或29 ．
【分析】（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11，60，61；
（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一可得b、c，然后计算验证即可；
（3）根据所提供的例子发现股是勾的平方的四分之一减一，弦是勾的平方的四分之一加一可得b、c，然后计算验证即可；
（4）由勾股定理可得：a2+b2＝c2，再根据勾股定理可得（c﹣b）（c+b）＝400；然后根据列举法即可解答．
解：（1）∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，
∴11，60，61；
故60，61．
（2）观察发现：当a＝n（n为奇数，且n≥3）时，则股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；则用含n的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为：；
证明如下：
∵，
∴，
又∵n为奇数，且n≥3，
∴n，三个数组成的数是勾股数．
（3）观察发现：当a＝n（n为偶数，且n≥5）时，则股是勾的平方的四分之一减一，弦是勾的平方的四分之一加一；则用含n的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为：，；
证明如下：
∵，
∴，
又∵n为偶数，且n≥5，
∴n，，三个数组成的数是勾股数．
故，；
（4）由勾股定理可得：a2+b2＝c2，
当a＝n＝20，则有：c2﹣b2＝202，即（c﹣b）（c+b）＝400，
当，
解得：c＝25；
当，
解得：c＝52；
当，
解得：c＝101；
当，
解得：c＝29．
综上，c的值为25或52或101或29．
故25或52或101或29．
【点评】本题考查了勾股数，列代数式，规律型：图形的变化类，发现规律是解题的关键．
2024-2025学年江苏省无锡市八年级上学期期中数学检测试卷（二）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确答案填到答题卡对应处）
1．（3分）下面四个企业的标志是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）在实数，﹣，﹣3.14，0，π，2.61611611161……，中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（3分）已知，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长为（ ）
A．12B．15C．18D．12或15
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝20，则CD的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．9的立方根是3
B．算术平方根等于它本身的数一定是1
C．﹣2是4的平方根
D．的算术平方根是4
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝32，AD⊥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，且DE＝8．将∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合．①BD＝16；②点E到AC的距离为8；③EM＝10；④AB＝2AE．以上结论正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请将答案填到答题纸上对应处）
7．（3分）近似数4.20精确到 位．
8．（3分）比较大小： 4．
9．（3分）若x、y都是实数，且+y+7＝0，则xy2的平方根为 ．
10．（3分）已知2a﹣1与﹣a+2是一个正数m的平方根，则m＝ ．
11．（3分）将精确到1000，用科学记数法表示为 ．
12．（3分）已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c满足a2﹣2a+1++|c﹣|＝0，则△ABC的面积为 ．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是 ．
14．（3分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为 ．
15．（3分）已知：如图，等边△ABC中，∠BDC＝30°，BD＝1，DC＝4，则AD的长为 ．
16．（3分）如图，△ABC中∠CAB＝60°，AC+AB＝3+，AD平分∠CAB交BC于点D，当△ABD为等腰三角形时，线段AC的值为 ．
三．解答题（本大题共有10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤）
17．（12分）计算：
（1）；
（2）π0﹣|；
（3）﹣12024+|1﹣|﹣．
18．（8分）求下列各式中x的值：
（1）（x﹣1）3+64＝0；
（2）（3x+2）2﹣49＝0．
19．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）在边AC上找一个D点，使得D点到边AB的距离等于DC（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若BC＝6，AC＝8，求线段CD的长．
20．（9分）如图，在网格中每个小正方形的边长都为1，直线DE与网格线重合，△ABC的顶点都在格点上，边BC与竖直的网格线交于点M．
（1）请在网格中画出△ABC关于直线DE对称的△A′B′C′；
（2）△ABC的面积是 ；
（3）AM的长度是 ．
21．（8分）如图，在△ABC中，D是AC边上一点，将△BCD沿BD翻折，点C的对应点E落在边AB上，连接EC交BD于点F，点G在线段BF上，且FG＝FD，连接GE，
（1）写出图中所有的等腰三角形；
（2）求证：∠A＝∠BEG．
22．（10分）已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF＝PG，DF＝EG．
（1）求证：OC是∠AOB的平分线．
（2）若PF∥OB，且PF＝4，∠AOB＝30°，求PE的长．
23．（10分）如图，等边△ABC的边长为6cm，现有两动点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动t秒，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达点B时，点M、N同时停止运动．
（1）当t＝ 秒，M、N两点重合．
（2）当t＝ 秒，以△AMN是等边三角形．
（3）当t为何值时，连接AM、AN，△AMN是以MN为底边的等腰三角形．
24．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB＝BC，点E为BC上一点，且CD＝CE．
（1）求证：AE⊥BC；
（2）若AD＝6，DC＝3，求AB的长．
25．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，点D是边BC延长线上一动点，点E是AB边上一点，DE交AC于点G．连接AD，且F是AD的中点．
（1）如图1，若FE＝FC，求证：DE⊥AB．
（2）如图1，若DE⊥AB，则FE＝FC成立吗？直接写出结果 ．
（3）如图2，连接CE，在（2）的条件下，猜想△FEC的形状，并证明．
26．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点A作AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，且AE＝AB，过点E作EF⊥AD于点F．
（1）求证：△ABD≌△EAF；
（2）连接BE，若G为线段BE的中点，连接GF，GD．
（i）试判断△DFG的形状，并说明理由；
（ii）连接BF，记△DFG，△BEF的面积分别为S1，S2，若∠BFD＝∠BEF，求的值．
答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确答案填到答题卡对应处）
1．（3分）下面四个企业的标志是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可．
解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了轴对称图形，熟记定义是解答本题的关键．
2．（3分）在实数，﹣，﹣3.14，0，π，2.61611611161……，中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】先将能计算的进行计算，再根据无理数的定义进行判断即可．
解：，
∴无理数有，π，2.61611611161•••共3个，
故选：C．
【点评】本题考查了无理数及立方根的计算，熟记无理数的定义是解题的关键．
3．（3分）已知，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长为（ ）
A．12B．15C．18D．12或15
【分析】利用非负数的性质求出x，y的值，可得结论．
解：∵，
又∵|x﹣3|≥0，≥0，
∴x＝3，y＝6，
∴等腰三角形的三边分别为：6，6，3．
∴等腰三角形的周长为15．
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形三边关系等知识，解题的关键是掌握非负数的性质．
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝20，则CD的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．
解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴CD＝DE，
∵S△ABD＝20，AB＝10，
∴，
∴DE＝4，
∴CD＝DE＝4，
∴CD的长为4．
故选：C．
【点评】本题考查角平分线的性质、三角形的面积公式的运用．解题的关键是作辅助线，利用角平分线的性质进行计算．
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．9的立方根是3
B．算术平方根等于它本身的数一定是1
C．﹣2是4的平方根
D．的算术平方根是4
【分析】利用立方根及平方根定义判断即可得到结果．
解：A、9的立方根为，错误；
B、算术平方根等于本身的数是0和1，错误；
C、﹣2是4的平方根，正确；
D、＝4，4的算术平方根为2，错误，
故选：C．
【点评】此题考查了立方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝32，AD⊥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，且DE＝8．将∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合．①BD＝16；②点E到AC的距离为8；③EM＝10；④AB＝2AE．以上结论正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据等腰三角形的性质即可判断①；根据角平分线的性质即可判断②；设DM＝x，则CM＝EM＝16﹣x，Rt△EDM中，EM2＝DM2+DE2，DE＝6，继而求得EM；根据，求得，可得AB＝2AE，即可判断④．
解：∵△ABC中，AB＝AC，BC＝32，AD⊥BC，
∴，故①正确；
如图，过点E作EF⊥AB于F，EH⊥AC于H，
∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴AE平分∠BAC，
∴EH＝EF，
∵BE是∠ABD的角平分线，
∵ED⊥BC，EF⊥AB，
∴EF＝ED，
∴EH＝ED＝8，故②正确；
∵将∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合，
∴EM＝MC，DM+MC＝DM+EM＝CD＝16，
设DM＝x，则EM＝16﹣x，
Rt△EDM中，EM2＝DM2+DE2，DE＝8．
（16﹣x）2＝82+x2，
解得x＝6，
∴EM＝MC＝10，故③正确；
∵，且EF＝ED
∴，即，
∴AB＝2AE，故④正确；
∴结论正确的个数是4，
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质，勾股定理的应用，高相等的两个三角形面积的比等于底边的比，掌握以上知识是解题的关键．
二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请将答案填到答题纸上对应处）
7．（3分）近似数4.20精确到 百分 位．
【分析】根据近似数的定义解答即可：一个近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．
解：近似数4.20精确到百分位．
故百分．
【点评】本题考查了近似数的定义，熟练掌握近似数的规定是关键．
8．（3分）比较大小： ＜ 4．
【分析】将两个数平方后比较即可．
解：，，
∵32＞31，
∴，
故＜．
【点评】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是将两个数平方后比较．
9．（3分）若x、y都是实数，且+y+7＝0，则xy2的平方根为 ±14 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求出x的值，得到y的值，根据平方根的定义解答即可．
解：由题意得，x﹣4≥0，4﹣x≥0，
解得x＝4，
则y＝﹣7，
∴xy2＝4×（﹣7）2＝196，
196的平方根是±14，
故±14．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件和平方根的定义，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
10．（3分）已知2a﹣1与﹣a+2是一个正数m的平方根，则m＝ 9 ．
【分析】直接利用平方根的定义分析得出答案．
解：∵2a﹣1与﹣a+2是一个正数m的平方根，
∴2a﹣1﹣a+2＝0，
∴a＝﹣1，
∴m＝（2a﹣1）2＝（﹣3）2＝9．
故9．
【点评】此题主要考查了平方根，正确记忆相关知识点是解题关键．
11．（3分）将精确到1000，用科学记数法表示为 1.26×105 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．精确到千位，应看百位上的数字，用四舍五入法得出近似值，再用科学记数法表示．
解：将精确到1000，用科学记数法表示为1.26×105，
故1.26×105．
【点评】本题考查了科学记数法与有效数字，正确记忆相关知识点是解题关键．
12．（3分）已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c满足a2﹣2a+1++|c﹣|＝0，则△ABC的面积为 ．
【分析】根据平方的非负性，算术平方根的非负性，绝对值的非负性，即可求出，从而可得出a2+c2＝b2，即证明△ABC为直角三角形，且a，c为直角边，最后根据三角形面积公式求解即可．
解：∵，
∴，
∴，
解得：，
∵，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC为直角三角形，且a，c为直角边，
∴△ABC的面积为．
故．
【点评】本题考查非负数的性质，勾股定理逆定理，三角形的面积等知识．熟练掌握非负数的性质和勾股定理逆定理是解题关键．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是 20° ．
【分析】根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到∠ACD的度数．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝40°，
∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，
故20°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．（3分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为 5 ．
【分析】延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE＝AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC＝CE，AE＝BE＝2BD，根据BD＝1，BC＝3，即可推出AC的长．
解：延长BD与AC交于点E，
∵∠A＝∠ABD，
∴BE＝AE，
∵BD⊥CD，
∴BE⊥CD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ECD，
∴∠EBC＝∠BEC，
∴BC＝CE，
∵BE⊥CD，
∴2BD＝BE，
∵BD＝1，BC＝3，
∴CE＝3，
∴AE＝BE＝2，
∴AC＝AE+EC＝2+3＝5．
故5．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．
15．（3分）已知：如图，等边△ABC中，∠BDC＝30°，BD＝1，DC＝4，则AD的长为 ．
【分析】作出辅助线构造等边三角形和直角三角形是解题的关键．过D作DE⊥CD于点D，使得BD＝DE，先证明△BDE是等边三角形得DB＝BE＝DE＝1，然后利用勾股定理求出，再证明△CBE≌△ABD，从而可得出结果．
解：如图1，过D作DE⊥CD于点D，使得BD＝DE，
∵DE⊥CD，
∴∠CDE＝90°，
∵∠BDC＝30°，
∴∠BDE＝∠CDE﹣∠BDC＝60°，
∵BD＝DE，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠DBE＝60°，DB＝BE＝DE＝1，
∵在Rt△CDE中，DM⊥CD，DC＝4，DE＝1，
∴，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠CBA＝∠DBE＝60°，AC＝AB，
∴∠CBA+∠ABE＝∠DBE+∠ABE，
即∠CBE＝∠ABD，
∴△CBE≌△ABD，
∴，
故．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定及性质、勾股定理以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
16．（3分）如图，△ABC中∠CAB＝60°，AC+AB＝3+，AD平分∠CAB交BC于点D，当△ABD为等腰三角形时，线段AC的值为 或 ．
【分析】分三种情况，进行计算即可解答．
解：∵∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，
∴，
①当AD＝BD时，如图所示：
此时∠B＝∠DAB＝30°，
∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠B＝90°，
∴AB＝2AC，
∵，
∴，
可得；
②当AD＝AB时，过点D作AC的垂线段交AC于点E，如图所示：
此时，
∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠B＝45°，
设ED＝x，
∵DE⊥AC，
则CE＝ED＝x，，AB＝AD＝2ED＝2x，
∴，
∵，
故可得，
解得x＝1，
∴；
③当BA＝BD时，∠BAD＝∠BDA＝30°，
此时∠B＝180°﹣∠BAD﹣∠BDA＝120°，
∵∠CAB+∠B＝180°，
故无法构成△ABC，故此种情况不存在，
综上所述，AC为或，
故或．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，含有30°角的直角三角形三边关系，解题的关键是：对△ABD为等腰三角形进行分类讨论，即：①AD＝BD；②AD＝AB；③BA＝BD．
三．解答题（本大题共有10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤）
17．（12分）计算：
（1）；
（2）π0﹣|；
（3）﹣12024+|1﹣|﹣．
【分析】（1）利用零指数幂、负整数指数幂、求算术平方根逐项化简，再算加减；
（2）利用零指数幂、负整数指数幂、求算术平方根及立方根逐项化简，再算加减；
（3）利用乘方运算、负整数指数幂、化简绝对值、求立方根逐项化简，再算加减．
解：（1）
＝4﹣1+4
＝7；
（2）
＝1﹣2+3﹣1
＝1；
（3）
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了实数及二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、零指数幂和负整数指数幂是解决问题的关键．
18．（8分）求下列各式中x的值：
（1）（x﹣1）3+64＝0；
（2）（3x+2）2﹣49＝0．
【分析】（1）先移项，再开立方，继而求解；
（2）先移项，再开平方，继而求解．
解：（1）（x﹣1）3+64＝0，
（x﹣1）3＝﹣64，
x﹣1＝﹣4，
解得：x＝﹣3；
（2）（3x+2）2﹣49＝0，
（3x+2）2＝49，
3x+2＝±7，
解得：或x＝﹣3．
【点评】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键．
19．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）在边AC上找一个D点，使得D点到边AB的距离等于DC（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若BC＝6，AC＝8，求线段CD的长．
【分析】（1）作∠ABC的角平分线即可；
（2）由勾股定理求得AB，根据角平分线的性质得BE＝BC，即可求得AE，设DC＝DE＝x，则AD＝8﹣x，根据勾股定理建立方程，解方程即可．
解：（1）如图，点D即为所求．
（2）在Rt△ABC中，，
过点D作DE⊥AB，垂足为E，
由（1）可得：DE＝DC，BE＝BC，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6，
设DC＝DE＝x，则AD＝8﹣x，
在Rt△ADE中，x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴CD＝3．
【点评】本题考查了作图﹣角平分线，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
20．（9分）如图，在网格中每个小正方形的边长都为1，直线DE与网格线重合，△ABC的顶点都在格点上，边BC与竖直的网格线交于点M．
（1）请在网格中画出△ABC关于直线DE对称的△A′B′C′；
（2）△ABC的面积是 4 ；
（3）AM的长度是 ．
【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出A、B、C关于直线DE的对称点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积；
（3）如图，先判断AM平分∠BAC，根据角平分线的性质得到M点到AB和AC的距离相等，则S△ABM：S△ACM＝AB：AC＝2：1，所以S△ACM＝S△ABC＝，然后利用面积法求出AM的长．
解：（1）如图，△A′B′C′为所作；
（2）△ABC的面积＝3×4﹣×3×2﹣×1×2﹣×4×2＝4；
故4；
（3）如图，△AEC为等腰三角形，AM垂直平分EC，
∴AM平分∠BAC，
∴M点到AB和AC的距离相等，
∴S△ABM：S△ACM＝AB：AC，
∵AB＝＝2，AC＝＝，
S△ABM：S△ACM＝AB：AC＝2：1
∴S△ACM＝S△ABC＝，
∵S△ACM＝×1×AM＝，
∴AM＝．
故．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．
21．（8分）如图，在△ABC中，D是AC边上一点，将△BCD沿BD翻折，点C的对应点E落在边AB上，连接EC交BD于点F，点G在线段BF上，且FG＝FD，连接GE，
（1）写出图中所有的等腰三角形；
（2）求证：∠A＝∠BEG．
【分析】（1）根据翻折的性质可得BC＝BE，CD＝ED，CE⊥BD，根据FG＝FD，可得CE是DG的垂直平分线，然后证明△EFG≌△CFD，可得EG＝CD，进而可以解决问题；
（2）结合（1）△EFG≌△CFD，可得∠EGD＝∠CDG，所以EG∥CD，再根据平行线的性质即可得结论．
（1）解：根据翻折的性质可知：BC＝BE，CD＝ED，CE⊥BD，CF＝EF，
∴△BCE，△DEC是等腰三角形，
∵FG＝FD，
∴CE与DG互相垂直平分，
∴EG＝ED，
∴△EDG是等腰三角形，
综上所述：图中所有的等腰三角形有：△BCE，△DEC，△EDG；
（2）证明：在△EFG和△CFD中，
，
∴△EFG≌△CFD（SAS），
∴∠EGD＝∠CDG，
∴EG∥CD，
∴∠A＝∠BEG．
【点评】本题考查了翻折变换，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
22．（10分）已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF＝PG，DF＝EG．
（1）求证：OC是∠AOB的平分线．
（2）若PF∥OB，且PF＝4，∠AOB＝30°，求PE的长．
【分析】（1）利用“HL”证明Rt△PFD和Rt△PGE全等，根据全等三角形对应边相等可得PD＝PE，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．
（2）在Rt△PFD中，求出PD即可解决问题；
（1）证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，
，
∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），
∴PD＝PE，
∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴OC是∠AOB的平分线．
（2）∵PF∥OB，∠AOB＝30°，
∴∠PFD＝∠AOB＝30°，
在Rt△PDF中，PD＝PF＝2，
∴PE＝PD＝2．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形30度角的性质等知识，熟记性质并求出全等三角形是解题的关键．
23．（10分）如图，等边△ABC的边长为6cm，现有两动点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动t秒，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达点B时，点M、N同时停止运动．
（1）当t＝ 6 秒，M、N两点重合．
（2）当t＝ 2 秒，以△AMN是等边三角形．
（3）当t为何值时，连接AM、AN，△AMN是以MN为底边的等腰三角形．
【分析】（1）由点N运动路程＝点M运动路程+AB间的路程，列出方程求解，即可求得结论；
（2）由等边三角形的性质可得AN＝AM，可列方程求解，即可得出结论；
（3）由全等三角形的性质可得CM＝BN，可列方程求解，即可得出结论．
解：（1）设点M、N运动t秒后重合，
则t+6＝2t，
解得t＝6，
∴点M、N运动6秒后重合，
故6；
（2）设点M、N运动t秒后，△AMN是等边三角形，
如图，AM＝t，AN＝6﹣2t，
当AM＝AN时，△AMN是等边三角形，
即 t＝6﹣2t，
解得t＝2，
∴当点M、N运动2秒时，△AMN是等边三角形，
故2；
（3）如图
设点M、N运动t秒，
则CM＝t﹣6，BN＝18﹣2t，
假设△AMN是等腰三角形且MN是它的底边，
则AN＝AM，∠ANM＝∠AMN，
∴∠ANB＝∠AMC，
∵∠B＝∠C，
∴△ANB≌△AMC（AAS），
∴CM＝BN，
即t﹣6＝18﹣2t，
解得t＝8，
∴当点M、N运动8秒时，△AMN是等腰三角形．
【点评】此题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质与一元一次方程的应用，解题的关键是熟知等边三角形的性质．
24．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB＝BC，点E为BC上一点，且CD＝CE．
（1）求证：AE⊥BC；
（2）若AD＝6，DC＝3，求AB的长．
【分析】（1）连接AC，求出∠DCA＝∠ECA，根据SAS推出△DCA≌△ECA，根据全等得出∠D＝∠CEA，即可得出答案；
（2）根据全等得出AE＝AD＝6，设AB＝x，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
（1）证明：
连接AC，
∵AB＝BC，
∴∠ECA＝∠BAC，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠BAC，
∴∠DCA＝∠ECA，
在△DCA和△ECA中
∴△DCA≌△ECA（SAS），
∴∠D＝∠CEA，
∵AD⊥DC，
∴∠D＝90°，
∴∠CEA＝90°，
∴AE⊥BC；
（2）解：∵△DCA≌△ECA，
∴AE＝AD＝6，
设AB＝x，
∵DC＝CE＝3，
∴在Rt△BEA中，由勾股定理得：AB2＝BE2+AE2，
∵AB＝BC，
∴x2＝（x﹣3）2+62，
解得：x＝7.5，
即AB＝7.5．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能推出△DCA≌△ECA是解此题的关键．
25．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，点D是边BC延长线上一动点，点E是AB边上一点，DE交AC于点G．连接AD，且F是AD的中点．
（1）如图1，若FE＝FC，求证：DE⊥AB．
（2）如图1，若DE⊥AB，则FE＝FC成立吗？直接写出结果 FE＝FC ．
（3）如图2，连接CE，在（2）的条件下，猜想△FEC的形状，并证明．
【分析】（1）根据斜边中线等于斜边的一半得EF＝AF＝DF，进而证出∠AED＝90°即可；
（2）根据斜边中线等于斜边的一半可以直接证出结论；
（3）根据斜边中线等于斜边的一半可证EF＝CF，再证∠EFC＝60°即可．
（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°，
在Rt△ADC中，F是AD的中点，
∴，
∵FE＝FC，
∴EF＝AF＝DF，
∴∠FAE＝∠FEA，∠FED＝∠FDE，
∵∠FAE+∠FEA+∠FED+∠FDE＝180°，
∴∠FEA+∠FED＝90°，即∠AED＝90°，
∴DE⊥AB；
（2）解：FE＝FC成立，理由如下：
∵DE⊥AB，
在Rt△ADE中，F是AD的中点，
∴，
在Rt△ADC中，F是AD的中点，
∴，
∴FE＝FC，
故FE＝FC；
（3）等边三角形，理由如下：
如图2，
∵∠AED＝90°，∠ACD＝90°，
∵点F是AD的中点，
∴，
∴∠FAE＝∠FEA，∠FCD＝∠FDC．
∴∠1＝180°﹣2∠FAE，∠2＝180°﹣2∠FDC，
∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠FAE+∠FDC）．
∵∠FAE+∠FDC＝180°﹣∠B，且∠B＝60°，
∴∠FAE+∠FDC＝120°，
∴∠1+∠2＝120°，
∴∠EFC＝60°，
∴△CEF是等边三角形．
【点评】本题考查直角三角形性质，等边三角形判定，三角形内角和定理，掌握相关知识是解题关键．
26．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点A作AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，且AE＝AB，过点E作EF⊥AD于点F．
（1）求证：△ABD≌△EAF；
（2）连接BE，若G为线段BE的中点，连接GF，GD．
（i）试判断△DFG的形状，并说明理由；
（ii）连接BF，记△DFG，△BEF的面积分别为S1，S2，若∠BFD＝∠BEF，求的值．
【分析】（1）根据垂直定义得到∠ADB＝∠EFA＝90°，再根据余角的性质证明∠FEA＝∠DAB，从而可证△ABD≌△EAF；
（2）（i）连接AG，先证△ABE是等腰直角三角形，再证明△ADG≌△EFG，进而可证明△DFG是等腰直角三角形；
（ii）如图所示，延长FG交BC于H，过点B作BM⊥FH于M，设MF＝a，利用角之间的关系，得到BF＝BG，再证明△EFG≌△BHG，△BMH是等腰直角三角形，从而解决问题．
（1）证明：∵AD⊥BC，EF⊥AD，
∴∠ADB＝∠EFA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠FAE+∠FEA＝∠FAE+∠DAB＝90°，
∴∠FEA＝∠DAB，
又∵AE＝AB，
∴△ABD≌△EAF（AAS）；
（2）解：（i）△DFG是等腰直角三角形，理由如下：
如图所示，连接AG，
∵AB＝AE，∠BAE＝90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∵G为线段 的中点，
∴AG⊥BE，∠BAG＝∠EAG＝45°，
∴∠EAG＝∠AEG，
∴AG＝EG，
∵△ABD≌△EAF，
∴AD＝EF，
∵∠BAD＝∠AEF，∠AEG＝∠BAG＝45°，
∴∠DAG＝∠FEG，
∴△ADG≌△EFG（SAS），
∴DG＝FG，∠AGD＝∠EGF，
∴∠AGD﹣∠AGF＝∠EGF﹣∠AGF，
∴∠FGD＝∠AGE＝90°，
∴△DFG是等腰直角三角形；
（ii）如图所示，延长FG交BC于H，过点B作BM⊥FH于M，
设MF＝a，
∵△DFG是等腰直角三角形，
∴∠DFG＝∠FDG＝45°，
∴∠EFG＝45°，
∵∠BFD＝∠BEF，
∴∠BFD+∠DFG＝∠BEF+∠EFG，
即：∠BFG＝∠BGF，
∴BF＝BG，
又∵BM⊥FG，
∴MG＝MF＝a，
∴DG＝FG＝2a；
∵EF⊥AD，AD⊥BC，
∴EF∥BC，
∴∠GEF＝∠GBH，∠GFE＝∠GHB，
又∵GB＝GE，
∴△EFG≌△BHG（AAS），
∴HG＝FG＝2a，
∴MH＝3a；
∵BM⊥MH，∠BHM＝∠GFE＝45°，
∴△BMH是等腰直角三角形，
∴BM＝MH＝3a，
∴，，
∴．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．