江西省“红色十校”2026届高三上学期第一次联考数学试题（Word版附解析）

这是一份江西省“红色十校”2026届高三上学期第一次联考数学试题（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
江西省“红色十校”26届高三第一次联考
数学试卷
试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，则（ ）
A．4B．C．2D．
3．若函数为奇函数，则（ ）
A．B．1C．2D．0
4．已知某圆柱的高为，底面半径为1，且其上、下底面圆周均在以为球心的球面上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知直线与焦点在轴上的双曲线的其中一条渐近线垂直，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．某百货商场为促销举办抽奖活动，设有两种奖券：甲奖券和乙奖券，顾客每次抽取甲奖券中奖的概率为0.4，每次抽取乙奖券中奖的概率为0.5，每次抽奖结果相互独立.某顾客计划先抽取2张甲奖券，再抽取1张乙奖券.若该顾客恰好中奖2次，且其中有1张甲奖券中奖，则另外中奖的1张也是甲奖券的概率为（ ）
A．0.12B．0.2C．0.25D．0.32
7．记首项为1的数列的前项和为，且是以为公比的等比数列．若对于任意正整数，均有，则整数的最大值为（ ）
A．0B．C．D．
8．记的内角的对边分别为，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某企业对一种特殊零部件进行招标，共有7个厂商参与竞标．将7个厂商的报价（单位：元／个）整理得如下数据：6.1，5.9，5.9，6.0，6.1，5.8，6.3，则这组数据的（ ）
A．极差为0.5B．平均数为6.0C．众数为6.0D．分位数为6.1
10．在平面直角坐标系中，点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若三点共线，则
11．已知抛物线，圆，则下列结论正确的是（ ）
A．当的圆心为的焦点时，存在，使与仅有1个公共点
B．当的准线过的圆心时，存在，使与仅有1个公共点
C．若与有2个公共点，则
D．若与有4个公共点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．从4个红球，3个黄球中一次性摸取3个球，则摸到的球中至少有2个黄球的方法数为______．（用数字作答）
13．函数在区间上的值域为______．
14．现有由0组成的10行10列的数阵，对其进行10次操作，每次操作前，数阵中每一个数增加1，操作时，自行选取任意一行或列，使该行或列的数的数值等量增加至相邻一整行或列的对应数后归零，则10次操作后，数阵中最大数的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知均为等差数列，且．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
16．（15分）如图，在四棱锥中，．
（1）证明：；
（2）若平面平面，且四棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．
17．（15分）已知函数，点和是曲线相邻的两个对称中心．
（1）求的解析式；
（2）若关于的方程在区间内恰有两个实根，求的取值范围．
18．（17分）已知函数．
（1）讨论如何将曲线平移变为曲线；
（2）若存在大于0的零点，求的取值范围；
（3）设点在曲线的任意一条切线上，证明：．
19．（17分）设为椭圆在第一象限上一点，分别为的左、右焦点，过点且与相切的直线分别交轴、轴于两点（直线的斜率不为），为坐标原点．
（1）设点，求的最小值；
（2）证明：的面积不小于；
（3）证明：．
江西省“红色十校”26届高三第一次联考
数学参考答案及评分细则
1．【答案】A
【解析】全集，，故．故选A．
2．【答案】C
【解析】由题意可得，故．故选C．
3．【答案】D
【解析】因为，且为奇函数，所以，解得．故选D．
4．【答案】C
【解析】易知圆柱的上、下底面圆心连线的中点为球心，且与底面圆心的连线垂直底面．圆柱底面半径为，高为，则球心到底面的距离．底面圆周上一点到球心的距离为球的半径，由勾股定理得，则球的表面积．故选C．
5．【答案】D
【解析】由两直线垂直可得双曲线的其中一条渐近线斜率，故的离心率．故选D．
6．【答案】C
【解析】设事件：恰好中奖2次且其中有1张甲奖券中奖，即甲奖券中奖1次且乙奖券中奖1次或甲奖券中奖2次且乙奖券不中奖，事件：恰好中奖2次且均为甲奖券，即甲奖券中奖2次，乙奖券不中奖，则，，则所求概率为．故选C．
7．【答案】B
【解析】由题意可得是以1为首项、为公比的等比数列，故，则，当时，．当时，，代入上式，所以当时，；当时，，即当时，为递增数列．又，故，故为的最小项．又对于任意正整数均成立，即成立，又为整数，故的最大值为．故选B．
8．【答案】B
【解析】由题意可得，故，而，于是，其中，当且仅当时等号成立，故的最大值为．故选B．
9．【答案】AD（每选对1个得3分）
【解析】将这组数据从小到大进行排列得到5.8，5.9，5.9，6.0，6.1，6.1，6.3，极差为，故A正确；平均数为，故B错误；这组数据中，5.9和6.1均出现了两次，故有两个众数，故C错误；7个数据中，，则分位数是第五个数，为6.1，故D正确．故选AD．
10．【答案】ACD（每选对1个得2分）
【解析】当时，，而，可得．又分别为直线的方向向量，且与不重合可知，故A正确；由可得，而，，故，即，故B错误；当时，，，，，于是，，故，故C正确；由三点共线可知，而，所以，即，可得，即，故D正确．故选ACD．
11．【答案】ABD（每选对1个得2分）
【解析】圆的圆心为，抛物线的焦点为，准线为．当的圆心为的焦点时，易知．当时，与仅有1个公共点，故A正确；当的准线过的圆心时，只需，此时与仅有1个公共点，故B正确；若与有2个公共点，当时，只需即可，此时，故C错误；联立与的方程得，若与有4个公共点，则，解得，故D正确．故选ABD．
12．【答案】13
【解析】摸到3个黄球时，仅有1种情况，摸到2个黄球时，有种情况，故总共有13种情况．
13．【答案】
【解析】由题意可得，所以当时，单调递减，当时，单调递增，且，故在区间上的值域为．
14．【答案】12
【解析】假设进行10次操作后不存在一个数大于11，即所有数小于等于11．由于在第10次操作中自行选取任意一行或列归零操作，因此至少一行或列为0，即至少存在10个数为0．此时根据假设，剩余90个数均小于等于11，即剩下所有数之和的最大值为，经过10次操作后数阵中所有数之和为1000，矛盾，故假设不成立，数阵中总存在一个数大于11，只需说明存在一种选法，使最大数的最小值为12即可，第1次操作将第2行的数等量增加至第1行的数并归零，第2次操作将第3行的数等量增加至第2行的数并归零，依次类推，第9次操作将第10行的数等量增加至第9行的数并归零，此时第1~9行的所有数均为10，第10次操作开始前，第1~9行的所有数均为11，第10行的数为1，将第9行的数等量增加至第10行的数并归零，满足题意，综上，数阵中最大数的最小值为12．
15．解：（1）由题意可得．（2分）
则的首项为3、公差为2，的首项为1、公差为2．（4分）
故．（6分）
（2）由（1）得．（8分）
故．（10分）
则．（13分）
16．（1）证明：如图1，取的中点，连接．
由，且为中点，得．（2分）
由于，且，
则四边形为正方形，故．（4分）
因为平面，且，所以平面．（5分）
又平面，故.（6分）
（2）解：因为平面平面，平面平面平面，所以平面，则为四棱锥的高，
又梯形的面积，且四棱锥的体积，联立解得．（9分）
以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图2所示，
则．（10分）
故．（11分）
设平面的法向量为，
则即令，得，故．（12分）
设平面的法向量为，
则即令，得，故．（13分）
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为．（15分）
17．解：（1）由题可知，，故，其中是的最小正周期．（2分）
又因为，结合可知，（4分）
所以．（6分）
（2）设，则函数，．（7分）
（ⅰ）若，当时，，故在区间上无零点；（8分）
当时，一方面有，另一方面，若存在使得，则，
若对任意，则，
故的零点个数为奇数，不合题意．（10分）
（ⅱ）若，当时，为增函数，所以在区间上只有唯一零点0；（11分）
当时，也为增函数．一方面，，另一方面，取，满足，则，（13分）
故存在使得，且为在区间上的唯一零点．
综上所述，的取值范围为．（15分）
18．（1）解：当时，先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度；（1分）
当时，仅向左平移1个单位长度；（2分）
当时，先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度；（3分）
当时，仅向下平移1个单位长度；（4分）
当时，先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度．（5分）
（2）解：令，则，则．
当时，，方程无实数根，无零点．（7分）
当时，解得．
设．
由于，故，故恒成立．
又，故当时，．
也即若存在大于0的零点，则．（11分）
（3）证明：不妨设切点为，则切线为．（12分）
由于是切线上一点，故．
要证，即证．（14分）
即证明．（15分）
设，则．
当时，单调递减；当时，单调递增．（16分）
又，故．
即得证．（17分）
19．（1）解：设点，
则．（2分）
由得，（4分）
故当时，取得最小值．（5分）
（2）证明：设过点的切线方程为，
联立得，（6分）
故，即，
，
故，即，（8分）
代入直线方程中得，故，
易得，因此的面积．（10分）
又，即，
故，即原命题得证．（11分）
（3）证明：设的倾斜角为，的倾斜角为，的倾斜角为．
因为，
所以，
故要证，只要证明即可．（13分）
经验证当时，满足上式，
当时，，，，
故，（15分）
由得，故，
易知，所以，故．（17分）