安徽省安庆市郊区2025年中考联考数学试题含解析

这是一份安徽省安庆市郊区2025年中考联考数学试题含解析，共6页。试卷主要包含了对于二次函数,下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各式中计算正确的是（ ）
A．x3•x3=2x6B．（xy2）3=xy6C．（a3）2=a5D．t10÷t9=t
2．如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点,若∠ACD=∠B,AD=1,AC=2,△ADC的面积为1,则△BCD的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．下列实数为无理数的是 （ ）
A．-5B．C．0D．π
4．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，1），点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线上，过点C作CE∥x轴交双曲线于点E，连接BE，则△BCE的面积为（ ）
A．5B．6C．7D．8
5．对于二次函数,下列说法正确的是（ ）
A．当x>0，y随x的增大而增大
B．当x=2时，y有最大值－3
C．图像的顶点坐标为（－2，－7）
D．图像与x轴有两个交点
6．若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（ ）
A．4B．2C．D．
7．已知a+b＝4，c﹣d＝﹣3，则(b+c)﹣(d﹣a)的值为( )
A．7B．﹣7C．1D．﹣1
8．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=1．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．将5570000用科学记数法表示正确的是（ ）
A．5.57×105 B．5.57×106 C．5.57×107 D．5.57×108
10．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠ACB度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图，正方形ABCD的边长为，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB， 垂足为点F，则EF的长是__________．
12．一个不透明的袋中共有5个小球，分别为2个红球和3个黄球，它们除颜色外完全相同，随机摸出两个小球，摸出两个颜色相同的小球的概率为____.
13．如图，点G是的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作交AC于点E，如果，那么线段GE的长为______．
14．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．求此人第六天走的路程为多少里．设此人第六天走的路程为x里，依题意，可列方程为________．
15．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC=CD，∠ACD=120°，CD是⊙O的切线：若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为_____．
16．如图，△ABC中，AB=AC，以AC为斜边作Rt△ADC，使∠ADC=90°，∠CAD=∠CAB=26°，E、F分别是BC、AC的中点，则∠EDF等于__________°．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西55°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东35°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B、C两地的距离（结果保留整数）（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8）
18．（8分）如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为3，PB=2，PC=1．
（1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）求tan∠CAB的值．
19．（8分）如图,在△ABC中，∠ACB=90°,点O是BC上一点．尺规作图：作⊙O，使⊙O与AC、AB都相切．（不写作法与证明，保留作图痕迹）若⊙O与AB相切于点D，与BC的另一个交点为点E，连接CD、DE，求证：DB2=BC⋅BE．
20．（8分）如图，ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交CB的延长线于点E，交AC于点F．
（1）求证：点F是AC的中点；
（2）若∠A=30°，AF=，求图中阴影部分的面积．
21．（8分）某汽车厂计划半年内每月生产汽车20辆，由于另有任务，每月上班人数不一定相等，实每月生产量与计划量相比情况如下表（增加为正，减少为负）
生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少辆？半年内总生产量是多少？比计划多了还是少了，增加或减少多少？
22．（10分）如图，AB是圆O的直径，AC是圆O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠A=∠D，CD=2．
（1）求∠A的度数．
（2）求图中阴影部分的面积．
23．（12分）解方程：＝1．
24．如图，一次函数y1=﹣x﹣1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数图象的一个交点为M（﹣2，m）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点B到直线OM的距离．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、D
【解析】
试题解析：A、 原式计算错误，故本选项错误；
B、 原式计算错误，故本选项错误；
C、 原式计算错误，故本选项错误；
D、 原式计算正确，故本选项正确；
故选D．
点睛：同底数幂相除，底数不变，指数相减.
2、C
【解析】
∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∴，
∴，
∴S△ABC=4，
∴S△BCD= S△ABC- S△ACD=4-1=1．
故选C
考点：相似三角形的判定与性质.
3、D
【解析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
A、﹣5是整数，是有理数，选项错误；
B、是分数，是有理数，选项错误；
C、0是整数，是有理数，选项错误；
D、π是无理数，选项正确.
故选D．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
4、C
【解析】
作辅助线，构建全等三角形：过D作GH⊥x轴，过A作AG⊥GH，过B作BM⊥HC于M，证明△AGD≌△DHC≌△CMB，根据点D的坐标表示：AG=DH=-x-1，由DG=BM，列方程可得x的值，表示D和E的坐标，根据三角形面积公式可得结论．
【详解】
解：过D作GH⊥x轴，过A作AG⊥GH，过B作BM⊥HC于M，
设D(x，)，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，
易得△AGD≌△DHC≌△CMB(AAS)，
∴AG＝DH＝﹣x﹣1，
∴DG＝BM，
∵GQ＝1，DQ＝﹣，DH＝AG＝﹣x﹣1，
由QG+DQ＝BM＝DQ+DH得：1﹣＝﹣1﹣x﹣，
解得x＝﹣2，
∴D(﹣2，﹣3)，CH＝DG＝BM＝1﹣＝4，
∵AG＝DH＝﹣1﹣x＝1，
∴点E的纵坐标为﹣4，
当y＝﹣4时，x＝﹣，
∴E(﹣，﹣4)，
∴EH＝2﹣＝，
∴CE＝CH﹣HE＝4﹣＝，
∴S△CEB＝CE•BM＝××4＝7；
故选C．
考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题．
5、B
【解析】
二次函数,
所以二次函数的开口向下，当x＜2，y随x的增大而增大，选项A错误；
当x=2时，取得最大值，最大值为－3,选项B正确；
顶点坐标为（2，-3），选项C错误；
顶点坐标为（2，-3），抛物线开口向下可得抛物线与x轴没有交点，选项D错误，
故答案选B.
考点：二次函数的性质.
6、A
【解析】
试题分析：正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，故正六边形的半径等于1，则正六边形的边长是1．故选A．
考点：正多边形和圆．
7、C
【解析】
试题分析：原式去括号可得b-c+d+a=（a+b）-（c-d）=4-（-3）=1．
故选A．
考点：代数式的求值；整体思想．
8、D
【解析】
解：当点Q在AC上时，∵∠A=30°，AP=x，∴PQ=xtan30°=33x，∴y=12×AP×PQ=12×x×33x=36x2；
当点Q在BC上时，如下图所示：
∵AP=x，AB=1，∠A=30°，∴BP=1﹣x，∠B=60°，∴PQ=BP•tan60°=3（1﹣x），∴SΔAPQ =12AP•PQ=12x⋅3(16-x) =-32x2+83x ，∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．故选D．
点睛：本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点Q在BC上这种情况．
9、B
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于5570000有7位，所以可以确定n=7﹣1=1．
【详解】
5570000=5.57×101所以B正确
10、C
【解析】
连接BC，根据题意PA，PB是圆的切线以及可得的度数，然后根据，可得的度数，因为是圆的直径，所以，根据三角形内角和即可求出的度数。
【详解】
连接BC.
∵PA，PB是圆的切线
∴
在四边形中，
∵
∴
∵
所以
∵是直径
∴
∴
故答案选C.
本题主要考察切线的性质，四边形和三角形的内角和以及圆周角定理。
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、2
【解析】
设EF=x，先由勾股定理求出BD，再求出AE=ED，得出方程，解方程即可．
【详解】
设EF=x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=45°，
∴BD=AB=4+4，EF=BF=x，
∴BE=x，
∵∠BAE=22.5°，
∴∠DAE=90°-22.5°=67.5°，
∴∠AED=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠AED=∠DAE，
∴AD=ED，
∴BD=BE+ED=x+4+2=4+4，
解得：x=2，
即EF=2.
12、
【解析】
解：根据题意可得：列表如下
共有20种所有等可能的结果，其中两个颜色相同的有8种情况，
故摸出两个颜色相同的小球的概率为．
本题考查列表法和树状图法，掌握步骤正确列表是解题关键．
13、2
【解析】
分析：由点G是△ABC重心，BC=6，易得CD=3，AG：AD=2：3，又由GE∥BC，可证得△AEG∽△ACD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得线段GE的长．
详解：∵点G是△ABC重心，BC=6，
∴CD=BC=3，AG：AD=2：3，
∵GE∥BC，
∴△AEG∽△ADC，
∴GE：CD=AG：AD=2：3，
∴GE=2.
故答案为2.
点睛：本题考查了三角形重心的定义和性质、相似三角形的判定和性质.利用三角形重心的性质得出AG：AD=2：3是解题的关键.
14、;
【解析】
设第一天走了x里,则第二天走了里,第三天走了里…第六天走了里,根据总路程为378里列出方程可得答案.
【详解】
解：设第一天走了x里, 则第二天走了里,第三天走了里…第六天走了里,
依题意得:，
故答案：.
本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程.
15、
【解析】
试题分析：连接OC，求出∠D和∠COD，求出边DC长，分别求出三角形OCD的面积和扇形COB的面积，即可求出答案．连接OC，∵AC=CD，∠ACD=120°，∴∠CAD=∠D=30°，∵DC切⊙O于C，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∴∠COD=60°，在Rt△OCD中，∠OCD=90°，∠D=30°，OC=2，∴CD=2，∴阴影部分的面积是S△OCD﹣S扇形COB=×2×2﹣=2﹣π，故答案为2﹣π．
考点：1.等腰三角形性质；2.三角形的内角和定理；3.切线的性质；4.扇形的面积.
16、
【解析】
E、F分别是BC、AC的中点.
，
∠CAB=26°

又

∠CAD =26°





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三、解答题（共8题，共72分）
17、B、C两地的距离大约是6千米．
【解析】
过B作BD⊥AC于点D，在直角△ABD中利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中利用三角函数求得BC的长．
【详解】
解：过B作于点D．
在中，千米，
中，，
千米，
千米．
答：B、C两地的距离大约是6千米．
此题考查了方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．
18、（1）见解析；（2）12.
【解析】
（1）连接OC、BC，根据题意可得OC2+PC2=OP2，即可证得OC⊥PC，由此可得出结论．
（2）先根据题意证明出△PBC∽△PCA，再根据相似三角形的性质得出边的比值，由此可得出结论．
【详解】
（1）如图，连接OC、BC
∵⊙O的半径为3，PB=2
∴OC=OB=3，OP=OB+PB=5
∵PC=1
∴OC2+PC2=OP2
∴△OCP是直角三角形，
∴OC⊥PC
∴PC是⊙O的切线．
（2）∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∴∠ACO+∠OCB=90°
∵OC⊥PC
∴∠BCP+∠OCB=90°
∴∠BCP=∠ACO
∵OA=OC
∴∠A=∠ACO
∴∠A=∠BCP
在△PBC和△PCA中：
∠BCP=∠A，∠P=∠P
∴△PBC∽△PCA，
∴
∴tan∠CAB=
本题考查了切线与相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握切线的判定与相似三角形的判定与性质.
19、（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
（1）利用角平分线的性质作出∠BAC的角平分线，利用角平分线上的点到角的两边距离相等得出O点位置，进而得出答案．
（2）根据切线的性质，圆周角的性质，由相似判定可证△CDB∽△DEB，再根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】
解：（1）如图，⊙O及为所求．
（2）连接OD．
∵AB是⊙O的切线，
∴OD⊥AB，
∴∠ODB=90°，
即∠1+∠2=90°，
∵CE是直径，
∴∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
∵OC=OD，
∴∠4=∠3，
∴∠1=∠4，
又∠B=∠B
∴△CDB∽△DEB
∴DBBE=BCDB
∴DB2=BC⋅BE．
本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作是解决此类题目的关键．
20、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）连接OD、CD，如图，利用圆周角定理得到∠BDC=90°，再判定AC为⊙O的切线，则根据切线长定理得到FD=FC，然后证明∠3=∠A得到FD=FA，从而有FC=FA；
（2）在Rt△ACB中利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC=AC=2，再证明△OBD为等边三角形得到∠BOD=60°，接着根据切线的性质得到OD⊥EF，从而可计算出DE的长，然后根据扇形的面积公式，利用S阴影部分=S△ODE-S扇形BOD进行计算即可．
【详解】
（1）证明：连接OD、CD，如图，
∵BC为直径，
∴∠BDC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴AC为⊙O的切线，
∵EF为⊙O的切线，
∴FD=FC，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠A=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠A，
∴FD=FA，
∴FC=FA，
∴点F是AC中点；
（2）解：在Rt△ACB中，AC=2AF=2，
而∠A=30°，
∴∠CBA=60°，BC=AC=2，
∵OB=OD，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∵EF为切线，
∴OD⊥EF，
在Rt△ODE中，DE=OD=，
∴S阴影部分=S△ODE﹣S扇形BOD=×1×﹣=﹣π．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．
21、（1）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产9辆；（2）半年内总生产量是121辆．比计划多了1辆.
【解析】
（1）由表格可知，四月生产最多为：20+4=24；六月最少为：20-5=15，两者相减即可求解；
（2）把每月的生产量加起来即可，然后与计划相比较.
【详解】
（1）+4－（－5）=9（辆）
答：生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产9辆.
（2）20×6+［+3+(－2)+(－1)+(+4)+(+2)+(－5)］=120+(+1)=121（辆），
因为121＞120 121-120=1（辆）
答：半年内总生产量是121辆．比计划多了1辆.
此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，此题主要考查有理数的加减运算法则．
22、 (1) ∠A=30°;(2)
【解析】
（1）连接OC，由过点C的切线交AB的延长线于点D，推出OC⊥CD，推出∠OCD=90°，即∠D+∠COD=90°，由OA=OC，推出∠A=∠ACO，由∠A=∠D，推出∠A=∠ACO=∠D
再由∠A+∠ACD+∠D=180°﹣90°=90°即可得出.
（2）先求∠COD度数及OC长度，即可求出图中阴影部分的面积．
【详解】
解：（1）连结OC
∵CD为⊙O的切线
∴OC⊥CD
∴∠OCD=90°
又∵OA=OC
∴∠A=∠ACO
又∵∠A=∠D
∴∠A=∠ACO=∠D
而∠A+∠ACD+∠D=180°﹣90°=90°
∴∠A=30°
（2）由（1）知：∠D=∠A=30°
∴∠COD=60°
又∵CD=2
∴OC=2
∴S阴影=．
本题考查的知识点是扇形面积的计算及切线的性质，解题的关键是熟练的掌握扇形面积的计算及切线的性质.
23、
【解析】
先把分式方程化为整式方程，解整式方程求得x的值，检验即可得分式方程的解.
【详解】
原方程变形为，
方程两边同乘以（2x﹣1），得2x﹣5＝1（2x﹣1），
解得 ．
检验：把代入（2x﹣1），（2x﹣1）≠0，
∴是原方程的解，
∴原方程的．
本题考查了分式方程的解法，把分式方程化为整式方程是解决问题的关键，解分式方程时，要注意验根.
24、（1）（2）．
【解析】
（1）根据一次函数解析式求出M点的坐标，再把M点的坐标代入反比例函数解析式即可；
（2）设点B到直线OM的距离为h，过M点作MC⊥y轴，垂足为C，根据一次函数解析式表示出B点坐标，利用△OMB的面积=×BO×MC算出面积，利用勾股定理算出MO的长，再次利用三角形的面积公式可得OM•h，根据前面算的三角形面积可算出h的值．
【详解】
解：（1）∵一次函数y1=﹣x﹣1过M（﹣2，m），∴m=1．∴M（﹣2，1）．
把M（﹣2，1）代入得：k=﹣2．
∴反比列函数为．
（2）设点B到直线OM的距离为h，过M点作MC⊥y轴，垂足为C．
∵一次函数y1=﹣x﹣1与y轴交于点B，
∴点B的坐标是（0，﹣1）．
∴．
在Rt△OMC中，，
∵，∴．
∴点B到直线OM的距离为．
红1
红2
黄1
黄2
黄3
红1
红1，红2
红1，黄1
红1，黄2
红1，黄3
红2
红2，红1
红2，黄1
红2，黄2
红2，黄3
黄1
黄1，红1
黄1，红2
黄1，黄2
黄1，黄3
黄2
黄2，红1
黄2，红2
黄2，黄1
黄2，黄3
黄3
黄3，红1
黄3，红2
黄3，黄1
黄3，黄2