内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高一上学期第一次诊断考试9月数学试题含答案解析

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考试范围：必修一第一二章；考试时间：120分钟；考试分值：150分 命题人：田金平
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本大题共8小题，共40分，答案请写到答题卡）
1. 已知集合 ，若 ，则 中所有元素之和为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据可求参数的值，从而可求的元素之和.
【详解】因为，故或，
若，则，与元素的互异性矛盾；
若，则（舍）或，故，故，
所以 中所有元素之和为，
故选：B.
2. 不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式不等式的解法，求解即可.
【详解】不等式可化为，即，等价于，
解得，则解集为.
故选：B.
3. 若要使有意义，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】由题可得且，解不等式即可求解.
【详解】要使有意义，则有且，解得或，所以的取值范围是或．
故选C．
4. 若a＞b，c＞d，则（ ）
A. B. a－c＞b－d
C. a－d＞b－cD. ac＞bd
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质，或举出反例，逐一检验选项即可.
【详解】 选项A：若，则.所以选项错误.
选项B：若,满足，但是.所以选项B错误.
选项C：因为所以又因为，所以所以选项C正确
选项D：若,满足，但是,所以选项D错误.
故选：C.
5. 若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两个命题的关系，得到两集合的包含关系，列不等式求解即可.
【详解】依题意知：，，
因为是的必要不充分条件，
所以⫋，所以，解得.
故选：C
6. 已知全集，集合，则的子集个数为（ ）
A. 1B. 4C. 8D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据补集的运算和子集的概念求解.
【详解】因为，则，
所以的子集个数为.
故选：C.
7. 已知命题p：，，则是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】全称量词命题，的否定为：，．
【详解】命题：，的否定为：，．
故选：C
8. 如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：①；②；③；④．（ ）
A. ①②B. ①③④C. ①②④D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可.
【详解】由图象可知二次函数图象开口向下，则，
图象与轴交点为，所以，
顶点在第一象限，对称轴，又，所以，
所以，①说法正确；
因为图象经过、两个点，所以，解得，
因为，，所以，②说法正确；
由得，即，③说法正确；
因为图象顶点在第一象限，且经过，
由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上，
所以当时，，
又，，，所以，即，④说法正确；
综上①②③④正确；
故选：D
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．)
9. （多选）设集合，下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】对于ABD，先求出，再判断，对于C，求出，再判断即可.
【详解】因为集合，所以，
因此，，所以A错误，D正确，B正确
又因为，所以C错误.
故选：BD
10. 已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（ ）
A.
B. 不等式的解集是
C.
D. 不等式的解集为
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，根据不等式的解集得到判断A；对于B，结合题意得到和3是关于x的方程的两根，再结合韦达定理得到，将目标不等式化为，求出解集判断B，对于C，结合得到判断C，对于D，将合理变形后求出解集判断D即可.
【详解】对于A，因为关于的不等式的解集为，
所以和3是关于的方程的两根，且，故A错误；
对于B，由已知得和3是关于的方程的两根，
由韦达定理得，解得，
对于不等式，即化为，解得，故B正确；
对于C，可得，故C错误；
对于D，对于不等式，可化为，
而，则化为，解得，故D正确．
故选：BD
11. 已知，，，则下列结论成立的是（ ）
A. 的最小值为B. 的最小值为
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】AB
【解析】
【分析】对A，由“1”的代换结合基本不等式求解；对B，由利用基本不等式求解；对C，由，利用基本不等式求解判断；对D，作差，判断得解.
【详解】对于A，，当且仅当时，取等号，故A正确；
对于B，，故，当且仅当时，取等号，故B正确；
对于C，由，可知，且，，
，
不等式取等号的条件是，即，与题设矛盾，
故的最小值大于2，故C错误；
对于D，，故，最小值大于1，故D错误.
故选：AB.
三、填空题（本大题共3小题，共15分，答案请写到答题卡）
12. 已知集合，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】已知，则或，结合集合中元素的互异性分情况讨论即可.
【详解】因为，
所以或，
当时，，此时，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，解得或（同上，舍去），
此时．
综上．
故答案为：.
13. 已知，，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】先设出，求出，，再结合不等式的性质解出即可；
【详解】令，则解得，
故，由，得，
又，故，即．
故答案为：
14. 若对任意，恒成立，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】由参变量分离法可得出恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】当时，，
由题意知，对任意，，
即恒成立，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，故.
即实数的取值范围为．
故答案为：．
四、解答题（本大题共5小题共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知全集为，集合，或求：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）（2）（3）根据给定条件，利用集合的交集、补集、并集的定义求解.
【小问1详解】
由，或，得.
【小问2详解】
由全集为，得或，，
所以.
【小问3详解】
依题意，或，所以.
16. 如图，某农户计划用的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜地．设该矩形菜地与墙平行的边长为，与墙垂直的边长为．
（1）当为何值时，面积取得最大值？最大面积为多少？
（2）求的最小值．
【答案】（1）当时，面积取得最大值，最大面积为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，从而可得该菜地的面积为，进而利用基本不等式即可求解；
（2）利用，根据“1”的代换利用基本不等式可求最小值．
【小问1详解】
由题意得，，都为正数，
则该菜地的面积为，
当且仅当时，等号成立，
所以当时，面积取得最大值，最大面积为．
【小问2详解】
由，，都为正数，则，
所以
，
当且仅当，又，即时，等号成立，
所以的最小值为．
17. 已知集合或，，回答下列问题.
（1）若，试求，；
（2）若，求实数的取值范围；
【答案】（1），或
（2）或
【解析】
【分析】（1）求出时的集合，再根据补集、交集和并集的定义计算即可；
（2）由知，讨论当和时的情形，分别求出对应的的取值范围.
小问1详解】
或，则，
，当时，，
所以；
又或，所以或.
【小问2详解】
若，则.
当时，，即；
当时，则或，解得或.
综上，的取值范围为或.
18. 已知，．
（1）若，那么是的什么条件；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）必要不充分条件（必要条件也正确）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据集合关系判断是的必要不充分条件；
（2）根据是的必要不充分条件，得是的真子集，
然后根据集合关系列不等式组求解即可.
【小问1详解】
当时，，
显然是的真子集，
所以是的必要不充分条件（注：必要条件也正确）．
【小问2详解】
若是必要不充分条件，
则是的真子集，
则有或解得，
故实数的取值范围为．
19. 若二次函数满足，.
（1）求的解析式；
（2）若对于任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设出，结合给定条件建立方程，求解参数，得到函数解析式即可.
（2）将转化，利用判别式建立不等式，求解参数范围即可.
【小问1详解】
因为是二次函数，所以设，
因为，所以，此时，
因为，所以，
化简得，对照系数得，，
解得，，则，即的解析式为.
【小问2详解】
由上问知，而对于任意实数，
由成立，得到，即，
得到，解得
综上，实数a的取值范围是.