云南省部分学校2025_2026学年高二上学期8月联考数学试卷[含解析]

这是一份云南省部分学校2025_2026学年高二上学期8月联考数学试卷[含解析]，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．复数的虚部是（ ）
A．20B．C．D．25
3．某单位有初级职称的员工50人，中级职称的员工60人，高级职称的员工40人，现按职称用分层随机抽样的方法抽取容量为30的样本，则在初级职称的员工中抽取的人数为（ ）
A．12B．10C．8D．9
4．某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知，则（ ）
A．B．C．8D．
6．甲、乙两人每人投篮一次，投中的总次数记为.已知甲、乙投篮命中的概率分别为，，且甲、乙投篮命中的结果相互独立，则的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．在一个四面体中，若存在一个顶点处的三条棱两两垂直，则称该四面体为直角四面体，同时，把该顶点叫作“完美顶点”.若在四面体中存在“完美顶点”，，，，F为的中点，则与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．定义在上的偶函数满足，且时，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知为平面外的一条直线，则（ ）
A．存在直线，使得，相交，B．存在直线，使得，
C．存在直线，使得，D．存在直线，使得，
10．小荣爱好篮球，他记录了在7月份的10次训练成绩和8月份的20次训练成绩.通过计算，他发现7月份的训练成绩的平均值为94，方差为2.3；8月份的训练成绩的平均值为97，方差为1.1.下列说法正确的是（ ）
A．小荣这两个月的30次训练成绩的平均值为96
B．小荣这两个月的30次训练成绩的平均值为95.5
C．小荣这两个月的30次训练成绩的方差为2.5
D．小荣这两个月的30次训练成绩的方差为3.5
11．已知正数a，b满足，则（ ）
A．b的取值范围是B．的最小值为
C．的最小值为2D．的最小值
三、填空题
12．已知向量，，若，则 .
13．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
14．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），其底面半径为8cm，高度为120cm，现往里面装半径为4cm的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装 个球．（附：，，）
四、解答题
15．已知函数的最小正周期为π.
(1)求的单调递减区间；
(2)将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的图象关于原点对称，求的值；
(3)若，求的值域.
16．在如图所示的几何体中，四边形是边长为4的正方形，平面，，且.

(1)证明：平面平面.
(2)若，求点到平面的距离.
17．某电脑公司为调查旗下某品牌电脑的使用情况，随机抽取200名用户，根据不同年龄段（单位：岁）统计，数据见下表：
(1)根据上表，求的值，并估计样本的中位数；
(2)按照年龄段从，，内的用户中进行分层随机抽样，抽取9人，再从中随机选取2人赠送小礼品，求这2人不在同一年龄段内的概率.
18．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.
(1)求；
(2)若D是边的中点，，，求的面积；
(3)求的最大值.
19．如图1，在中，，，的垂直平分线与，分别交于点，，且，沿将折起至的位置，得到四棱锥，如图2.
(1)设.
①证明：.
②已知，是否存在实数，使得平面？若存在，请求出；若不存在，请说明理由.
(2)若与平面所成的角为，求二面角的余弦值.
1．B
利用集合的交集运算求解.
【详解】因为，
根据交集定义
故选：
2．A
利用复数虚部的含义可得答案.
【详解】的虚部是20.
故选：A
3．B
利用分层抽样的定义求解即可.
【详解】按照分层随机抽样，在初级职称的员工中共抽取人.
故选：B
4．D
分别列出两个事件包含的基本事件，再由充分条件和必要条件的概念判断即可.
【详解】连续射击两次，基本事件有A：“两次都中靶”，B：“两次都没中靶”，C：“第一次中靶且第二次没中靶”，D：“第一次没中靶且第二次中靶”.
事件“至少一次中靶”包含了A，C，D.事件“至多一次中靶”包含了B，C，D，
所以事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
5．D
由已知求得，化为二次齐次式，再化为的代数式，求解即可.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：D.
6．B
应用独立事件乘法公式、互斥事件加法公式求的概率.
【详解】由题意，表示甲乙只有一人投中，
所以.
故选：B
7．C
取的中点，连接，，得（或其补角）即为与所成的角，根据已知及余弦定理求夹角余弦值.
【详解】取的中点，连接，，
因为，所以（或其补角）即为与所成的角，
因为FG=12BD=4+362=10，，，
所以，
即与所成角的余弦值为.
故选：C
8．A
由函数满足，可得函数的周期为4，，再根据是定义在上的偶函数，，代入利用对数的性质即可得答案．
【详解】由，得，
所以是周期为4的周期函数.
因为是定义在上的偶函数，∴
所以.
因为，所以
所以.
所以.
故选：A.
9．AB
由直线为平面外的一条直线，所以或与相交，结合正方体的性质，线面位置关系，分类讨论，即可求解.
【详解】因为直线为平面外的一条直线，所以或与相交，
（1）当时，例如：在正方体中，如图所示，
平面，且，，此时平面，
设直线为直线，直线为直线，
所以存在，使得，相交，，所以A正确；
存在直线，使得，，所以B正确；
又由，且平面，即存在，使得，，所以C正确；
不存在直线，使得，，所以D错误；
（2）当与相交，例如：在正方体中，如图所示，
平面，且，，此时平面，
设直线为直线，直线为直线，
所以存在，使得，相交，，所以A正确；
存在直线，使得，，所以B正确；
不存在直线，使得，，所以C不正确；
当且仅当时，存在直线，使得，，所以D不正确.
综上可得，选项A、B正确.
故选：AB.
10．AD
根据分层抽样的平均数公式及方差公式计算判断.
【详解】由题意可得小荣这两个月的30次训练成绩的平均值为，
则他这两个月的30次训练成绩的方差为1010+20×2.3+94-962+2010+20×1.1+97-962=3.5.
故选：AD
11．AB
对于A：根据题意可得，，运算求解即可；对于BCD：根据题意结合基本不等式分析判断，注意等号成立的条件.
【详解】对于选项A：因为正数a，b满足，
则，，解得，，故A正确，
对于选项B：因为，
整理可得，解得，或（舍去），
当且仅当时，等号成立，
所以，故B正确；
对于选项C：因为，则，
所以2不是的最小值，故C错误；
对于选项D：因为，则，
且，则，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，故D错误.
故选：AB.
12．
结合向量坐标运算的减法和数量积运算法则列方程即可得解.
【详解】向量，，
因为，所以，
所以，解得.
故答案为：.
13．
根据抽象函数求定义域的方法求解即可.
【详解】由，得，所以的定义域为，
令，得，所以的定义域为，
故答案为：.
14．40
首先要分析出相邻两层球之间的空间关系，再从两层球推导到装n层球时，求出最上层球面上的点与桶底最远的关于n的距离表达式，最后通过与铁皮桶的高度相比即可得到正确答案．
【详解】圆柱状铁皮桶底面半径为8cm，装半径为4cm的球时，一层最多装两个球，
若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻两层的4个球两两相切，如图所示，
这样相邻的4个球球心的连线构成棱长为8cm的正四面体DBEG，其中设D、B为下层球心，E、G为上层球心，
则，
图中将正四面体放置在正方体中，则正方形的边长为，
所以正四面体相对棱间的距离，也即图中EG和DB间的距离为，每装2个球称为“一层”，
这样装n层球，则最上层球面上的点距离桶底最远为4+42n-1+4=8+42n-1cm，
若想要盖上盖子，则需要满足8+42n-1≤120，解得，
所以最多可以装20“层”球，即最多可以装40个球．
故答案为：40．
15．(1)；
(2)；
(3).
（1）利用余弦型函数的周期性求得，再利用余弦型函数的单调性求解即可；
（2）根据函数图象的变换得到新函数，利用余弦型函数的性质求解即可；
（3）根据题意，逐步计算求余弦型函数的值域.
【详解】（1）由，得，所以.
令，，解得，，
所以的单调递减区间为.
（2）将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的图象.
因为的图象关于原点对称，所以，，即，.
因为，所以.
（3）由，得.
则，所以.
所以的值域为.
16．(1)证明见解析
(2)
（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明结论；
（2）利用等体积法，即可求得答案.
【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以.
因为四边形是正方形，所以.
又，平面，所以平面.
而平面，所以平面平面.
（2）因为平面，且，，所以.
因为，且，所以.
因为，则平面，平面，故，
结合，所以.
在直角梯形中，，，，，，
所以.
在中，，，，则.
因为，所以的面积为.
连接，因为的面积为，

结合题意可知，平面，故平面，
所以三棱锥的体积.
设点到平面的距离为，则。即，
所以，即点到平面的距离为.
17．(1)，36
(2)
【详解】（1）由，得.
因为，，
所以中位数在内.
设中位数为，则，解得.
（2）由题意可知，，内的用户的比例为，
根据分层随机抽样，，抽取的9人中位于内的有3人，记这3人为，，；
位于内的有4人，记这4人为，，，；
位于内的有2人，记这2人为，.
从这9人中抽取2人，有，，，，，，
，，，，，，，，，
，，，，，， ，，，
，，，，，，，， ，
，，这36种情况，
2人不在同一年龄段内的情况有，，，，，，
，，，，，，，，，
，，，，，，，，，
，这26种，
所以这2人不在同一年龄段内的概率为.
18．(1)
(2)
(3).
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
又因为，
代入整理可得，
且，则，可得，
联立方程，解得或（舍去），
所以.
（2）因为是的中点，则，
两边平方可得，
即，解得，，
又因为，所以.
（3）由正弦定理可得，
且，，
则
.
令，则，
所以当时，取得最大值.
19．(1)①证明见解析；②存在，
(2).
【详解】（1）①证明：如图，在中，记的中点为，连接.
由题意，是的中位线，
因为，，所以，，
在中，由正弦定理得，
即，解得.
因为，且，所以.
因为是的垂直平分线，所以是等腰直角三角形，所以.
在翻折后，，.
因，有，所以是等腰直角三角形.
故，，与相交于，且平面，所以平面.
因为平面，平面，所以.
②解：由①知在四棱锥中，，，两两垂直，
延长至点Q，使得，则.
延长至点P，使得，则.
因为，，所以，
不在平面内，平面，
所以平面，
因为，，所以，
不在平面内，平面，
所以平面，
因为与相交于，且平面，
所以平面平面.
因为平面，所以平面.
此时，即.
（2）
过作于，过作，交于，连接.
则即为二面角的平面角.
因为，，与相交于，且平面.所以平面.又因为平面，所以平面平面.
所以是直线在平面的投影，故即为与平面所成角，所以.
因为，所以.
因为，，且为的中点，所以.
因为，，故.
在中，，，，
所以，.
在中，，，，所以.
在中，，，，
由余弦定理得，
即二面角的余弦值为.分组
频率/组距
0.03
0.05
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
B
D
D
B
C
A
AB
AD
题号
11









答案
AB