2026绵阳南山中学高三上学期开学考试数学试题含解析

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命题人：刘盟 李若虚 郭敏 审题人：何先俊 郑瑜 刘波
本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由选择题和非选择题组成，共 4 页，答题卡
共 6 页．满分 150 分，考试时间 120 分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的班级、姓名用 0.5 毫米签字笔填写清楚，同时用 2B 铅笔将准考
证号准确填涂在“考号”栏目内．
2．选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后
再选涂其它答案；非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书
写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
是符合题目要求的．
1 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知 、 是实数，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知数列 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 已知向量 .若 与 共线，则实数 k 的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 设 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
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A. 3 B. C. D.
6. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内二氧化碳最高容许浓度不高于 ．经测定，刚下课时，
教室内含有 的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为 ，且 随时间 （单位： ）
的变化规律可以用函数 描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时
间 的最小整数值为（ ）
参考数据： ．
A. 1 B. 3 C. 7 D. 8
8. 已知函数 ，若 ，则 可取（ ）
A B. C. 1 D.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有错选得 0 分．
9. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知首项为正数的等差数列 的前 项和为 ，若 ，则（ ）
A
B
C. 当 时， 取最大值
D. 当 时， 的最小值为 27
11. 若 为函数 的导函数，对任意的 ，恒有 ，
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且 ，则（ ）
A. B.
C. 为奇函数 D. 若 ，则
三、填空题：本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分．把答案直接填在答题卷中的横线上．
12. 半径为 2 的扇形中，圆心角为 ，该扇形的面积为_____．
13. 已知向量 ，若向量 在向量 上的投影向量为 ，则 _________．
14. 已知函数 ，若函数 所有零点的乘积为 1，则实数 的取值范围是
_____.
四、解答题：本题共 5 小题，第 15 题 13 分，第 16、17 小题 15 分，第 18、19 小题 17 分，
共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数 ，其中 ，函数 图象上相邻的两个对称中
心之间的距离为 ，且在 处取到最小值 ．
（1）求函数 的解析式；
（2）若将函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再将其向左平移 个单位，
得到函数 图象，求函数 的单调递增区间和对称中心．
16. 在 中， ．
（1）求 ；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长．
17. 阅读一元二次方程韦达定理的推导过程，完成下列问题:设一元二次方程
，则 ，展开得:
，比较系数得: ，于是
.
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（1）已知一元三次方程 的三个根为 ，类比于
上述推导过程，求 ;
（2）已知 ，若存在三个不相等的实数 ，求
的取值范围.
18. 已知数列 满足 ，且对任意正整数 有 ，数列 满足
（1）证明：数列 是等比数列；
（2）设 ，数列 前 项和 ；
①求 ；
②若不等式 对任意的正整数 恒成立，求实数 的取值范围．
19. ，都存在唯一的实数 ，使得 ，则称函数 存在“源数列” ．已知
．
（1）证明： 存在源数列；
（2）①若 恒成立，求 的取值范围；
②记 的源数列为 ，前 项和为 ．证明： ．
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