黑龙江省绥化市2025-2026学年九年级上学期开学数学试卷（解析版）

这是一份黑龙江省绥化市2025-2026学年九年级上学期开学数学试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意．
故选：B．
2. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A．该选项的方程是分式方程，故本选项不符合题意；
B．，是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．整理可得，是一元一次方程，故本选项不合题意．
故选：B．
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】抛物线的顶点坐标是，
故选：B．
4. 有四张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字3，4，5，6，从中同时抽取两张，则下列事件为必然事件的是（ ）
A. 两张卡片的数字之和大于6B. 两张卡片的数字之和等于6
C. 两张卡片的数字之和等于11D. 两张卡片的数字之和大于11
【答案】A
【解析】A、两张卡片的数字之和大于6，是必然事件，符合题意；
B、两张卡片的数字之和之和等于6，是不可能事件，不符合题意；
C、两张卡片的数字之和等于11，是随机事件，不符合题意；
D、两张卡片的数字之和大于11，是不可能事件，不符合题意；
故选：A．
5. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，自上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房收入约2亿元，第三天票房收入约6亿元，设票房收入每天平均增长率为，下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设票房收入每天平均增长率为，
由题意可得：，故选：A．
6. 已知一次函数的图像如图，则二次函数在平面直角坐标系中的图像可能是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】观察函数图像可知：，
∴二次函数的图像对称轴，与y轴的交点在y轴正半轴．
故选：C．
7. 如图，半径长，点A、B、C是三等分点，D为圆上一点，连接，且，交于点E，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图所示，连接，
∵半径长，
∴，
∵，
∴，
∴直角三角形，且，
∴，
∵点A、B、C是三等分点，
∴，
∴，
故选：A．

8. 正三角形的边心距、半径和高之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】连接并延长交于点D，连接，则，
∵是等边三角形，
∴，
则，平分和，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
9. 如图，在中，，，，是内切圆，分别与，，相切于点，，，则圆心到顶点的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在中，，，，
∴，
如图所示，连接，
∵是的内切圆，分别与，，相切于点，，，
∴，
∴，四边形是正方形，
∴，
设，
∴，，，
∴，
解得，，即，
∴，
在中，，
故选：C ．
10. 如图，四边形经过旋转后与四边形重合，则下面各角不是旋转角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD经过旋转后与ADEF重合，
∴∠BAD=∠CAE=∠DAF，它们都等于旋转角．
只有∠CAF不等于旋转角．
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
11. 关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（ ）
A. B. 1C. 3D. 9
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∴或，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得．
故选：C．
12. 二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表：
且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①；②；③和3是关于的方程的两个根；④．其中，正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】∵由表格可知，当和时的函数值相等，都为，
∴，抛物线的对称轴是直线，
∴，，a、b异号，
∴，故①错误；
根据抛物线的对称性可知，当和时的函数值相等，
∴，故②正确；
∵根据抛物线的对称性可知，当和时的函数值相等，都为t，
∴和3是关于的方程的两个根；故③正确；
由①知，，，
∴二次函数为，
∵当时，对应的函数值，
∴，
∴，故④不正确．
∴正确结论有②③，共2个．
故选：B．
二、填空题（共10小愿，每小题3分，共30分）
13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________．
【答案】
【解析】点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
14. 将抛物线先向右平移2个单位长度再向上平移3个单位长度，得到的抛物线解析式是 _____．
【答案】
【解析】函数向右平移2个单位，得：；
再向上平移3个单位，得：；
故答案为：．
15. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为_____．
【答案】4
【解析】由题意得：，
解得．
故答案为：4．
16. 已知点，在二次函数的图像上，则、的大小关系是：_________
【答案】
【解析】当时，，
当时，，
∴，
∴，
故答案为：
17. 如图，⊙O直径CD=20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若OM：OC=3：5，则弦AB的长为______．
【答案】16．
【解析】连接OA，
⊙O的直径CD=20，
则⊙O的半径为10，
即OA=OC=10，
又∵OM：OC=3：5，
∴OM=6，
∵AB⊥CD，垂足为M，
∴AM=BM，
Rt△AOM中，AM==8，
∴AB=2AM=2×8=16，
故答案为：16．
18. 一个圆锥的底面周长是6cm，母线长是6cm，则圆锥侧面积展开图的扇形圆心角是_______．
【答案】
【解析】∵圆锥的底面圆的周长是6cm，
∴圆锥的侧面扇形的弧长为6πcm，
，解得：．
故答案为．
19. 不透明袋子中有1个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，则摸出红球的概率是__________．
【答案】
【解析】袋子里一共有个球，红球有1个．
∴摸出红球的概率．
故答案为：．
20. 二次函数的图象如图所示，以下结论：①；②；③；④其顶点坐标为；⑤当时，随的增大而减小；⑥；⑦方程有实数解．其中结论正确的序号为______．
【答案】①②③⑤
【解析】①∵抛物线开口方向向上，
∴，
∵对称轴，
∴，
∵抛物线与y轴的交点的纵坐标为，
∴，
∴，即①正确；
②∵抛物线与x轴有两个交点，即方程有两个不同的解，
∴，即，
∴，②正确；
③∵抛物线的对称轴，即，
∴，
∴，即③正确；
④∵抛物线与y轴的交点坐标为，
∴抛物线的顶点的纵坐标不能为，即④错误；
⑤∵二次函数的图象与x轴交点的横坐标为，
∴抛物线的对称轴为：，
根据抛物线的性质可知：
∴当时，随的增大而减小，即⑤正确；
⑥由函数图象可知：当时，，
∴，即⑥错误；
⑦由图象可得：抛物线过点，
则，解得：，
∴，
∴二次函数的最小值为，
∴二次函数与无交点，
∴方程无实数解，即⑦错误．
故答案为①②③⑤．
21. 对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为___________．
【答案】
【解析】∵，
∴，
整理得，
∴，
解得.
故答案为：.
22. 将绕点A按逆时针方向旋转得到．若，则________．
【答案】70
【解析】由旋转得，
，
∵，
∴．
故答案为：70．
三、解答题（共6题，共54分）
23. 解方程
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
（1）解：
∴；
（2）解：
或
∴；
（3）解：
∴或
∴；
（4）解：
∵，
∴，
∴，∴．
24. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，．

（1）画出关于轴对称的，直接写出点的坐标；
（2）画出绕点逆时针旋转后的；
（3）在（2）的条件下，求点到经过的路径长（结果保留）．
解：（1）如图所示：点的坐标为：；

（2）如图所示；
（3），
故；
25. 如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，延长CA到O，使AO＝AC，以O为圆心，OA长为半径作⊙O交BA延长线于点D，连接CD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积．
（1）证明：连接OD，
∵∠BCA＝90°，∠B＝30°，
∴∠OAD＝∠BAC＝60°，
∵OD＝OA，
∴△OAD是等边三角形，
∴AD＝OA＝AC，∠ODA＝∠O＝60°，
∴∠ADC＝∠ACD＝∠OAD＝30°，
∴∠ODC＝60°+30°＝90°，
即OD⊥DC，
∵OD为半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝4，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴OD＝OA＝AC＝AB＝2，
由勾股定理得：CD＝
∴S阴影＝S△ODC﹣S扇形AOD＝ ．
26. 某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个．
（1）设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为x（）元，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；
（2）如果每天的利润要达到1200元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？
（3）每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？
（1）解：由题意得：；
∴该商品销售量y与x之间的函数关系式为；
（2）解：由（1）可得：，
解得：，
∵尽可能让利于顾客，
∴；
答：每个毛绒玩具售价应定为50元．
（3）解：设利润为w元，由题意得：
，
∵，
∴当时，利润w有最大值，最大值为1250；
答：每个毛绒玩具售价定为55元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是1250元．
27. 有一副直角三角板如图①放置其中，，边、在直线上．

（1）的度数为 ；
（2）如图②，三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转，转速为每秒，当转动到一周时三角板停止转动，在旋转的过程中，当时，求旋转的时间；
（3）如图③，在图①的基础上，三角板绕点逆时针旋转，转速为每秒；同时三角板也绕点逆时针旋转，转速为每秒，当与重合时，两个三角板都停止转动．设三角板旋转的时间为秒，则的度数为用含的代数式表示．
（1）解∶∵，，
∴，，
，,
故答案为∶；
（2）解：有两种情况：①如解图，当在直线的上方时．

∵，，
．
，
，
．
转速为秒，
旋转时间为秒．
②如解图，当在直线的下方时．

∵，，
．
，
，
．

∴三角板绕点逆时针旋转的角度为．
转速为秒，
旋转时间为秒．
综上所述，当旋转时间为秒或秒时，．
（3）解：设旋转的时间为秒，由题知，，，
∴，
∴
，
故答案为∶
28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接，其中，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点是直线上方抛物线上一点，连接，求面积的最大值，及此时点的坐标；
（3）如图2，连接，点在直线下方的抛物线上，连接．使与互为余角，求点的坐标．
解：（1）将，代入，
，
解得，
；
（2）当时，，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
过点作轴交于点，
设，则，
是直线上方抛物线上一点，
面积，
当时，的面积有最大值，此时；
（3），，
，
设直线与轴交于点，过点作交于点，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
，
在中，，
∴，
解得（负值舍去），
，
，
设直线的解析式为，
代入，得，
解答，
直线的解析式为，
当时，解得或，
当时，，
．
…
0
1
2
…
…
…