2026年高考数学第一轮复习(全国通用)专题4.2三角函数的图像与性质(十类重难点题型精练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学第一轮复习(全国通用)专题4.2三角函数的图像与性质(十类重难点题型精练)(学生版+解析)，共75页。

重难点题型一 由图像，求三角函数解析式
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．
B．
C．不等式的解集为
D．将的图象向右平移个单位长度后所得函数的图象在上单调递增
2．（2024·吉林长春·模拟预测）函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的最小正周期为
C．函数在上单调递减
D．函数的图象上的所有点向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴对称
3．（2023·山东·一模）（多选题）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为
B．当时，的值域为
C．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
4．（23-24高一上·四川宜宾·期末）（多选题）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为
B．当时，的值域为
C．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
5．（2023·广西·模拟预测）已知函数（，）的部分图象如图所示．将函数图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象，则的值为 ．
6．（2023·陕西西安·模拟预测）已知函数，（，，）的大致图象如图所示，将函数的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为 .
重难点题型二 三角函数与其它函数的综合问题（识图）
1．（24-25高三上·重庆·开学考试）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·天津南开·二模）函数的部分图象大致为（ ）．
A． B．
C． D．
3．（2025·四川成都·三模）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2025·天津河东·二模）如图所示，图象对应的函数解析式为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024·福建·模拟预测）函数在上的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·天津河北·二模）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
重难点题型三 三角函数图像变换
1．（2025·甘肃·模拟预测）若将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则（ ）
A．B．C．1D．2
2．（2025·湖北·三模）将函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·江苏南京·二模）把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．B．C．D．.
4．（2025·天津和平·二模）函数（，，）的部分图象如图所示，要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
C．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
D．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
5．（2025·河南南阳·模拟预测）（多选题）将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将图象上的所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的零点为，
C．图象的对称轴方程为，
D．的单调递减区间为，
6．（2025·江西九江·三模）若将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则 ．
7．（2025·北京昌平·二模）已知将函数的图象向右平移个单位后，所得函数图象关于原点对称，则常数的一个取值为 ．
8．（2025·河南·一模）已知函数的最小正周期为，若将的图象向右平移个单位长度后所得的图象与曲线关于直线对称，则 ．
重难点题型四 三角函数的单调性及其应用
1．（2025·陕西汉中·二模）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·湖南邵阳·三模）下列区间中，函数单调递减的区间是（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·甘肃定西·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数，在区间上单调递增，在上单调递减，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·天津南开·二模）函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为（ ）．
A．B．
C．D．
6．（2024·全国·二模）已知函数，，则函数的单调递减区间为 .
7．（2025·山西·三模）已知．
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)设，若函数和在有相同的最大值，求的取值范围．
8．（2025·陕西·二模）已知函数.
(1)求的最小正周期及单调递增区间；
(2)若，求的值.
重难点题型五 三角函数的周期性及其应用
1．（2025·甘肃·模拟预测）函数的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2021·全国乙卷·高考真题）函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和B．和2C．和D．和2
4．（2025·甘肃白银·三模）函数的最小值和最小正周期分别为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·陕西渭南·二模）下列函数中，最小正周期为，且在上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2025·云南昆明·一模）下列函数中，最小正周期为，且在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·浙江·二模）（多选题）已知函数，则下列正确的是（ ）
A．是的一个周期
B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称
D．在区间上单调递减
8．（2025·陕西汉中·一模）若函数（）的最小正周期为，则
重难点题型六 三角函数的奇偶性及其应用
1．（2025·甘肃白银·三模）若函数的导函数为偶函数，则的解析式可以为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·江西·三模）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2025·内蒙古通辽·三模）已知函数是偶函数，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·全国·模拟预测）若函数为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·湖北鄂州·一模）将函数向右平移个单位后，所得的函数为奇函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全国·模拟预测）若的最大值和最小值分别为，，则（ ）
A．0B．1C．2D．4
7．（2025·陕西咸阳·三模）写出一个同时具有下列性质的函数的解析式： ．
①是奇函数 ②是偶函数 ③函数有极值
8．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数，的部分图象如图所示．若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若函数为奇函数，则的最小值是 ．
9．（2024·浙江杭州·模拟预测）设，函数
(1)是否存在使得为奇函数，说明理由；
(2)若方程有解，求的取值范围
重难点题型七 三角函数的对称性及其应用
1．（2025·山东·二模）已知函数在上单调递增，且其图象关于点对称，则（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三下·安徽·阶段练习）把函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则的图象的一条对称轴方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·陕西·模拟预测）已知函数，则的图像（ ）
A．关于直线对称B．关于直线对称
C．关于中心对称D．关于中心对称
4．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法错误的是（ ）
A．B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象关于直线对称D．函数在上单调递减
5．（2024·天津河东·一模）关于函数，下列结论正确的为（ ）
A．的最小正周期为B．是的对称中心
C．当时，的最小值为0D．当时，单调递增
6．（2025·浙江·二模）（多选题）已知函数，则下列正确的是（ ）
A．是的一个周期
B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称
D．在区间上单调递减
7．（2025·河南·二模）（多选题）已知如图是函数的部分图象，则（ ）
A．的图象关于中心对称B．在单调递增
C．在点处的切线方程为D．的图象向左平移个单位长度后为偶函数
8．（2025·陕西咸阳·模拟预测）（多选题）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．曲线的图象与y轴交点的纵坐标为
D．函数的图象关于直线对称
9．（2025·北京昌平·二模）已知将函数的图象向右平移个单位后，所得函数图象关于原点对称，则常数的一个取值为 ．
10．（2025·湖南常德·一模）已知函数在区间上有且仅有1个零点和1条对称轴，则实数的取值范围是 .
重难点题型八 三角函数的值域问题（最大值与最小值）
1．（2025·山西·模拟预测）设函数在区间的最小值和最大值分别为和，则（ ）
A．2B．C．D．
2．（2025·重庆·模拟预测）已知函数的图象关于对称，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．2
3．（2025·海南·三模）已知函数在上的最小值为，则的最小值为 ．
4．（2022·安徽安庆·三模）函数的值域是 .
5．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数．
(1)若的最小正周期为，求当时的值域；
(2)若在区间内无零点，求的取值范围．
6．（2025·广东中山·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求函数在上的值域；
(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若的最小正周期是，，，，求的面积．
7．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数．
(1)求;
(2)设函数，求的值域和单调区间．
8．（2024·上海嘉定·一模）已知，其中.
(1)若，求函数的值域；
(2)若，且函数在内有极小值，但无极大值，求的值.
重难点题型九 与三角函数有点的零点、极值点问题
1．设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．定义在上的函数满足在区间内恰有两个零点和一个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．将的图象向右平移个单位长度后关于原点对称
C．图象的一个对称中心为
D．在区间上单调递增
3．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．已知、是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若在区间上有且仅有一个零点，则实数m的一个取值为 .
7．先将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象与函数的图象关于x轴对称，若函数在上恰有两个零点，且在上单调递增，则的取值范围是 ．
8．将函数的图像上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍后，所得函数的图像在区间上有且仅有两条对称轴和两个对称中心，则的值为 ．
重难点题型十 三角函数图像性质的综合应用
1．（2025·浙江·三模）已知函数和函数的图象上相邻的四个交点构成的四边形的面积为，且，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．（2020·云南昆明·三模）设函数，下述四个结论：
①是偶函数
②的图象关于直线对称
③的最小值为
④在上有且仅有一个极值点
其中所有正确结论的编号是
A．①③B．①④C．②③D．②④
3．（2024·浙江金华·一模）（多选题）设函数，则（ ）
A．的图象有对称轴B．是周期函数
C．在区间上单调递增D．的图象关于点中心对称
4．（2021·全国·模拟预测）（多选题）已知函数，则（ ）
A．为周期函数B．的图像关于点对称
C．有最大值D．在上单调递增
5．（2023·四川自贡·一模）已知函数，在区间上有且仅有2个零点，对于下列4个结论：
①的取值范围是；
②在区间上存在，，满足；
③在区间上单调递减；
④在区间有且仅有1个极大值点；
其中所有正确结论的编号为 .
6．（2025·上海松江·二模）设，若函数在区间内恰好有6个零点，则的取值范围是 .
专题4.2 三角函数的图像与性质
目录●重难点题型分布
重难点题型一 由图像，求三角函数解析式
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．
B．
C．不等式的解集为
D．将的图象向右平移个单位长度后所得函数的图象在上单调递增
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求sinx型三角函数的单调性、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质、由图象确定正（余）弦型函数解析式、解正弦不等式
【分析】由图象求出的表达式后逐一验证选项即可.
【详解】由函数图象可知，最小正周期为，所以，
将点代入，得，
又，所以，故，故A错误；
所以，故B错误；
令，则，所以，，解得，，
所以不等式的解集为，故C正确；
将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，令，，
解得，，
令得，因为，故D错误.
故选：C.
2．（2024·吉林长春·模拟预测）函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的最小正周期为
C．函数在上单调递减
D．函数的图象上的所有点向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴对称
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】结合三角函数的图象变换求三角函数的性质、由图象确定正（余）弦型函数解析式
【分析】根据图象求出函数的解析式，再对选项中的命题分析判断正误即可．
【详解】由得，，
所以，又，所以，故A错误；
时，，所以，，故B错误；
，令，则，
时，，此时单调递增，单调递减，
故在上单调递减，故C正确；
的图象上的所有点向左平移个单位长度，
得到，图象关于原点对称，故D错误.
故选：C.
3．（2023·山东·一模）（多选题）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为
B．当时，的值域为
C．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
【答案】ACD
【难度】0.85
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式
【分析】先根据中，，的几何意义，求得的解析式，再结合正弦函数的图象与性质，函数图象的变换，逐一分析选项即可．
【详解】由图可知，，函数的最小正周期，故A正确；
由，知，
因为，所以，所以，，即，，
又，所以，所以，
对于B，当时，，所以，
所以的值域为，故B错误；
对于C，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确；
对于D，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
因为当时，，所以得到的函数图象关于点对称，故D正确．
故选：ACD．
4．（23-24高一上·四川宜宾·期末）（多选题）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为
B．当时，的值域为
C．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
【答案】AD
【难度】0.85
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式
【分析】利用图象求函数解析式，根据解析式求函数最小正周期和区间内的值域，求出函数图象变换后的解析式，判断新图象的对称中心.
【详解】由函数图象可知，，的最小正周期为，A选项正确；
，，，
则，由，得，
所以.
当时，，，的值域为，B选项错误；
将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象，C选项错误；
将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数的图象，
，函数的图象关于点对称，D选项正确.
故选：AD
5．（2023·广西·模拟预测）已知函数（，）的部分图象如图所示．将函数图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象，则的值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数图象的综合应用、求图象变化前（后）的解析式
【分析】根据图象可知半个周期，求得，代入点的坐标结合已知可求得，再利用图象平移即可得出的解析式，进而求出.
【详解】由图象可知的最小正周期为，
解得，
代入可得，
解得，
又，所以，
故，
左移个单位长度得，
故．
故答案为：
6．（2023·陕西西安·模拟预测）已知函数，（，，）的大致图象如图所示，将函数的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为 .
【答案】（答案不唯一）
【难度】0.65
【知识点】求图象变化前（后）的解析式、求含csx的函数的单调性
【分析】先根据的部分图象得到函数的周期、振幅、初相，进而求出的解析式，再根据函数图象的伸缩变换和平移变换得到的解析式，后可求的单调递增区间.
【详解】由图可知， 得，所以，
，，
所以，
由图，得，，
又，所以，
故，
由题意，
令，，得，
故函数的单调递增区间为，，
当时，函数的一个单调递增区间为，
故答案为：（答案不唯一）
重难点题型二 三角函数与其它函数的综合问题（识图）
1．（24-25高三上·重庆·开学考试）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的应用、函数图像的识别、求csx（型）函数的对称轴及对称中心
【分析】求出为奇函数，排除AB；由排除D，得到答案.
【详解】定义域为R，
，函数为奇函数，
图象关于原点对称，排除AB；
又，排除D.
故选：C.
2．（2025·天津南开·二模）函数的部分图象大致为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别
【分析】由奇偶函数的定义可排除BC，再由特值法可排除A.
【详解】的定义域为，
则，
所以为奇函数，故排除BC，
令，则或，
则或，解得：或，
所以当时，的最小为1，
则，故A错误，D正确.
故选：D.
3．（2025·四川成都·三模）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别
【分析】根据函数为奇函数，且时，可得解.
【详解】根据题意，函数定义域为，
且，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，
又时，，所以，且恒成立，
则，所以只有D满足.
故选：D
4．（2025·天津河东·二模）如图所示，图象对应的函数解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别
【分析】函数图象关于轴对称，排除A ，C，由排除B，利用排除法即可.
【详解】函数图像关于轴对称，则函数是偶函数，
对于A，,,
,
即函数是奇函数，故A错，
对于B，，，
，
是偶函数，
当时，，故B错，
对于C ， ，，
，
是奇函数，故C错，
对于D，，，
，
是偶函数，，符合题意，故D正确.
故选：D
5．（2024·福建·模拟预测）函数在上的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】根据函数的奇偶性，求导确定单调性即可判断.
【详解】因为，所以，
所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除答案CD，
又，，
设，，则，.
所以在上为增函数，又，
所以在上恒成立，即在上单调递增，故排除B.
故选：A
6．（2025·天津河北·二模）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状、求含csx的函数的奇偶性
【分析】根据奇偶性的定义判断为奇函数，再结合的符合及排除法，即可得.
【详解】由，且定义域为R，
所以为奇函数，排除A、B；
，排除D.
故选：C
重难点题型三 三角函数图像变换
1．（2025·甘肃·模拟预测）若将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求图象变化前（后）的解析式、辅助角公式
【分析】首先化简函数的解析式，再利用平移规律求函数的解析式，最后代入求值.
【详解】，
将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，
所以.
故选：C
2．（2025·湖北·三模）将函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求图象变化前（后）的解析式
【分析】利用图象平移法则，得到向左平移个单位长度后的函数为，再结合条件得到，即可求解.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，
得到，
由题有，即，取，得到，
故选：A.
3．（2025·江苏南京·二模）把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．B．C．D．.
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】求图象变化前（后）的解析式
【分析】求出把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）后的函数，求出再将图象上所有的点向右平移个单位长度后的函数.
【详解】把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）后的函数为，
再将图象上所有的点向右平移个单位长度后的函数为.
故选：B.
4．（2025·天津和平·二模）函数（，，）的部分图象如图所示，要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
C．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
D．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、描述正（余）弦型函数图象的变换过程、求图象变化前（后）的解析式、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质
【分析】由图象，根据正弦函数的图象与性质求得，结合三角函数图象的平移伸缩变换即可求解.
【详解】由图可知，，得，
又，由解得；
将点代入，得，
在函数单调减区间上，则，，
解得，又，所以，.
得.
将的图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度，
得的图象.
故选：A
5．（2025·河南南阳·模拟预测）（多选题）将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将图象上的所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的零点为，
C．图象的对称轴方程为，
D．的单调递减区间为，
【答案】BC
【难度】0.65
【知识点】求函数的零点、求csx型三角函数的单调性、求csx（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式
【分析】由图象变换得到解析式，根据余弦型函数的周期、零点、对称轴、单调递减区间即可计算得到正确选项.
【详解】的图象上每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）得到图象，
再将所有的点向左平移个单位长度得到的图象，
对于A，的最小正周期，A错误；
对于B，令，得，解得，则的零点为，B正确；
对于C，令，得，则图象的对称轴方程为，C正确；
对于D，令，得，的单调递减区间为，D错误.
故选：BC
6．（2025·江西九江·三模）若将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则 ．
【答案】/
【难度】0.85
【知识点】诱导公式二、三、四、求图象变化前（后）的解析式
【分析】先根据余弦函数相位变换及诱导公式求得函数解析式，然后利用特殊角的余弦值求解即可.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为，
所以．
故答案为：
7．（2025·北京昌平·二模）已知将函数的图象向右平移个单位后，所得函数图象关于原点对称，则常数的一个取值为 ．
【答案】（答案不唯一）
【难度】0.65
【知识点】利用csx（型）函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式
【分析】首先求出平移后的函数图象解析式，再根据余弦函数的性质求出的取值.
【详解】将函数的图象向右平移得到的图象，
又的图象关于原点对称，所以，
即，，当时，.
故答案为：（答案不唯一）.
8．（2025·河南·一模）已知函数的最小正周期为，若将的图象向右平移个单位长度后所得的图象与曲线关于直线对称，则 ．
【答案】/
【难度】0.65
【知识点】求图象变化前（后）的解析式、由正弦（型）函数的周期性求值
【分析】由函数的最小正周期为，结合周期公式求，再求出平移后图象的函数解析式结合条件列方程求即可.
【详解】因为函数的最小正周期为，且，
所以，故，
所以，
将的图象向右平移个单位长度可得的图象，
因为的图象与曲线关于直线对称，
所以，
即，
所以或恒成立，
化简可得或（不是对任意实数恒成立）
解得，
又，所以．
故答案为：.
重难点题型四 三角函数的单调性及其应用
1．（2025·陕西汉中·二模）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求sinx型三角函数的单调性
【分析】利用正弦函数的单调性列出不等式求解即可.
【详解】依题意，函数的递增区间，即为函数的递减区间，
由，解得，
所以的单调递增区间为.
故选：A.
2．（2025·湖南邵阳·三模）下列区间中，函数单调递减的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求正切型三角函数的单调性
【分析】整体代入由正切函数的单调性可得.
【详解】令，解得，
令，可得.
故选：A.
3．（2025·甘肃定西·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】利用正切函数的单调性求参数
【分析】由正切函数单调性、复合函数单调性可列不等式即可求解.
【详解】当时，，由在区间上单调递增，
得，解得.
故选：C.
4．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数，在区间上单调递增，在上单调递减，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数
【分析】根据题设有，进而求得、，再求函数值.
【详解】由题设或，，
所以或，则（舍）或，
所以，，又，则，
所以，故.
故选：A
5．（2025·天津南开·二模）函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求sinx型三角函数的单调性
【分析】利用函数图象确定周期，从而可求出，再利用最低点代入可求出，再由正弦函数的单调增区间即可求解.
【详解】
由图可得：周期，所以，
代入最低点得：，
可得：，解得，
所以有，
再由，解得，
故函数的增区间为，
故选：A.
6．（2024·全国·二模）已知函数，，则函数的单调递减区间为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求csx型三角函数的单调性
【分析】利用整体代换法求出余弦函数的单调递减区间即可.
【详解】由题意知，，
由，得，
令，得，令，则，
即函数的单调递减区间为.
故答案为：
7．（2025·山西·三模）已知．
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)设，若函数和在有相同的最大值，求的取值范围．
【答案】(1)最小正周期为，，
(2)
【难度】0.65
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性
【分析】（1）根据三角恒等变换的化简计算可得，利用和整体代换法计算即可求解；
（2）根据正弦函数的图象与性质求出在上的最大值，进而得在上的最大值，建立关于的方程，得，即可求解.
【详解】（1），
所以函数的最小正周期为．
由，，
得，，
所以的单调递增区间为，．
（2）当，得，
所以在上的最大值为，
则在上的最大值也是．
由，，得，，
因为，所以，，
又，所以或．
综上,的取值范围为.
8．（2025·陕西·二模）已知函数.
(1)求的最小正周期及单调递增区间；
(2)若，求的值.
【答案】(1)，
(2)
【难度】0.65
【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、二倍角的余弦公式、求sinx型三角函数的单调性
【分析】（1）由正余弦二倍角公式及辅助角公式化简得到，再由周期公式及整体代入法即可求解；
（2）由余弦二倍角公式即可求解.
【详解】（1），
最小正周期.
令，得.
因此的单调递增区间为.
（2）由，得.
所以.
重难点题型五 三角函数的周期性及其应用
1．（2025·甘肃·模拟预测）函数的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】辅助角公式、二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、求正弦（型）函数的最小正周期
【分析】结合二倍角公式及辅助角公式化简，进而结合正弦型函数的周期公式求解即可.
【详解】由，
则函数的最小正周期.
故选：B.
2．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数
【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.
【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点，
则，即，
且，所以.
故选：B.
3．（2021·全国乙卷·高考真题）函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和B．和2C．和D．和2
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、辅助角公式
【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.
【详解】由题，，所以的最小正周期为，最大值为.
故选：C．
4．（2025·甘肃白银·三模）函数的最小值和最小正周期分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】二倍角的余弦公式、求余弦（型）函数的最小正周期、求csx（型）函数的最值
【分析】利用平方关系及二倍角余弦公式化简，再根据三角函数的性质求解即可．
【详解】因为
，
所以当时，函数取最小值，
函数的最小正周期为．
故选：C
5．（2025·陕西渭南·二模）下列函数中，最小正周期为，且在上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求正切（型）函数的周期、求正切型三角函数的单调性、求余弦（型）函数的最小正周期、求csx型三角函数的单调性
【分析】根据正弦函数、余弦函数、正切函数的周期性与单调性判断．
【详解】选项A中，选项B中，选项C中，选项D中，排除AB，
时，，递减，则递增，
时，，递增，则递减，
故选：C．
6．（2025·云南昆明·一模）下列函数中，最小正周期为，且在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求sinx型三角函数的单调性、求正切（型）函数的周期、求csx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的最小正周期
【分析】根据三角函数性质对选项中的函数周期、单调性逐一判断可得结论.
【详解】对于A，易知的最小正周期为，但在区间上单调递减，即A错误；
对于B，易知的最小正周期为，所以B错误；
对于C，的最小正周期为，且在区间上单调递增，即C正确；
对于D，显然的最小正周期为，即D错误.
故选：C
7．（2025·浙江·二模）（多选题）已知函数，则下列正确的是（ ）
A．是的一个周期
B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称
D．在区间上单调递减
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】求csx型三角函数的单调性、求余弦（型）函数的最小正周期、求csx（型）函数的对称轴及对称中心
【分析】通过三角恒等式化简函数表达式为，利用函数周期性的定义可判断A选项；利用函数对称性的定义可判断B,C选项；利用复合函数的单调性可判断D选项.
【详解】，
因为,是函数的一个周期，故A正确；
因为, 不恒为0，故B错误；
因为, 所以的图象关于直线对称，故C正确；
当时，,则在时单调递增，且
又单调递减，由复合函数的单调性可得在区间上单调递减，故D正确.
故选：ACD.
8．（2025·陕西汉中·一模）若函数（）的最小正周期为，则
【答案】/
【难度】0.94
【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期
【分析】利用余弦型函数周期公式计算得解.
【详解】由函数的最小正周期为4，得，所以.
故答案为：
重难点题型六 三角函数的奇偶性及其应用
1．（2025·甘肃白银·三模）若函数的导函数为偶函数，则的解析式可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求含sinx的函数的奇偶性、导数的加减法
【分析】逐一判断各选项中导函数的奇偶性即可.
【详解】对于选项A，为奇函数，A错误；
对于选项B，为非奇非偶函数，B错误；
对于选项C，，且，，，
则不是偶函数，C错误；
对于选项D，为偶函数，D正确.
故选：D.
2．（2025·江西·三模）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】函数图像的识别、函数奇偶性的应用、求余弦（型）函数的奇偶性
【分析】利用奇偶性的定义可排除C，D.，由，，可排除B.
【详解】因为，所以该函数为奇函数，可排除C，D.
当时，，所以，排除B.
故选：A.
3．（2025·内蒙古通辽·三模）已知函数是偶函数，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】由余弦（型）函数的奇偶性求参数
【分析】根据余弦型函数的奇偶性求解即可.
【详解】由是偶函数，
则，，即，，
则时，，时，，时，，
则的最小值是.
故选：A.
4．（2024·全国·模拟预测）若函数为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】由正切（型）函数的奇偶性求参数
【分析】分0在定义域内和0不在定义域内两种情况进行讨论即可求得答案.
【详解】若0在定义域内，由时，得，；
若0不在定义域内，由时，无意义，得．
综上，．
故选：C．
5．（2025·湖北鄂州·一模）将函数向右平移个单位后，所得的函数为奇函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】辅助角公式、求图象变化前（后）的解析式、由正弦（型）函数的奇偶性求参数
【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，利用三角函数图象变换可得出的解析式，利用正弦型函数的奇偶性可求得的表达式，即可求得正数的最小值.
【详解】因为，
将该函数的图象向右平移个单位后，所得的函数为奇函数，
则，且有，则，
因为，故当时，取最小值.
故选：C.
6．（2022·全国·模拟预测）若的最大值和最小值分别为，，则（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的应用、求正弦（型）函数的奇偶性
【分析】构造，确定函数为奇函数，，根据奇函数性质计算得到答案.
【详解】设，函数定义域为，则，即为奇函数，
其图象关于原点对称，则的最大值与最小值之和为0，
，故.
故选：D.
7．（2025·陕西咸阳·三模）写出一个同时具有下列性质的函数的解析式： ．
①是奇函数 ②是偶函数 ③函数有极值
【答案】（答案不唯一）
【难度】0.65
【知识点】求正弦（型）函数的奇偶性、由余弦（型）函数的奇偶性求参数、函数奇偶性的定义与判断
【分析】根据①③可取，再根据正弦函数的性质结合诱导公式写出符合题意的函数形式即可.
【详解】因为是奇函数及函数有极值，
因此不妨假设，
可知，因为是偶函数，
所以，可以取，所以
故答案为：（答案不唯一）
8．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数，的部分图象如图所示．若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若函数为奇函数，则的最小值是 ．
【答案】/
【难度】0.65
【知识点】求图象变化前（后）的解析式、由图象确定正（余）弦型函数解析式、由正弦（型）函数的奇偶性求参数
【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，进而求出的解析式，再利用正弦函数的性质列式计算即得.
【详解】由函数的图象知，的周期，，
又，解得，而，则，
于是，，
由函数为奇函数，得，而，则，
所以当时，.
故答案为：
9．（2024·浙江杭州·模拟预测）设，函数
(1)是否存在使得为奇函数，说明理由；
(2)若方程有解，求的取值范围
【答案】(1)存在，理由见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】函数与方程的综合应用、由正弦（型）函数的奇偶性求参数、用和、差角的正弦公式化简、求值、辅助角公式
【分析】（1）由奇函数可得，得出，代入化简可得，可得结果；
（2）代入结合两角和与差的正弦公式化简可得，结合三角函数的有界性以及辅助角公式可得，解出即可.
【详解】（1）若存在使得为奇函数，则有必要条件，
代入解得，即，
由于，
时，
，满足要求
因此存在，使得为奇函数．
（2）方程有解，
即有解，
化简得，
注意到，
因而，
即，平方得，
解得
重难点题型七 三角函数的对称性及其应用
1．（2025·山东·二模）已知函数在上单调递增，且其图象关于点对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、利用正弦函数的对称性求参数、求函数值
【分析】根据给定条件，利用最小正周期及对称中心求出，进而求出函数值.
【详解】由函数在上单调递增，得，
解得，由的图象关于点对称，得，
解得，于是，，
所以.
故选：C
2．（24-25高三下·安徽·阶段练习）把函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则的图象的一条对称轴方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、二倍角的正弦公式、辅助角公式
【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用平移变换求出，进而求出其对称轴方程得解.
【详解】依题意，，
则，
由，解得，
因此函数的图象的对称轴方程为，
取，得，C正确，不存在整数使得ABD成立.
故选：C
3．（2024·陕西·模拟预测）已知函数，则的图像（ ）
A．关于直线对称B．关于直线对称
C．关于中心对称D．关于中心对称
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求csx（型）函数的对称轴及对称中心、三角恒等变换的化简问题
【分析】利用三角恒等变换公式化简函数，再结合余弦函数的图象性质逐项判断即得.
【详解】
，
对于A，，函数关于直线对称，A正确；
对于B，，函数关于直线不对称，B错误；
对于C，，函数关于不成中心对称，C错误；
对于D，，函数关于中心对称，D错误.
故选：A
4．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法错误的是（ ）
A．B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象关于直线对称D．函数在上单调递减
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、求csx型三角函数的单调性、求csx（型）函数的对称轴及对称中心
【分析】利用函数的图象过点，代入解析式中即可求得的值，判断A选项；根据的值可写出函数的解析式，再写出对称中心即可判断B选项；通过图象平移得到的解析式，进而可求得对称轴，判断C选项；利用的解析式写出的解析式，可判断单调性.
【详解】对于A选项，由图可知，函数的图象过点，
，，
，解得，
，，故A正确；
对于B选项，，令，则，
的图象关于对称，
当时，函数关于对称，故B正确；
对于C选项，将向左平移个单位长度，得到，
则的对称轴为，故C错误；
对于D选项，函数，
当时，，
函数在上单调递减，故D正确.
故选：C.
5．（2024·天津河东·一模）关于函数，下列结论正确的为（ ）
A．的最小正周期为B．是的对称中心
C．当时，的最小值为0D．当时，单调递增
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求正切（型）函数的对称中心、求正切（型）函数的周期
【分析】利用正切函数的最小正周期的计算方法判断A，利用对称中心的计算方法判断B，举反例判断C，D即可.
【详解】对于A，易知，则的最小正周期为，故A错误，
对于B，易知，，解得，，当时，，
此时对称中心为，故B正确，
对于C，当时，，故的最小值不为0，故C错误，
对于D，易知，，故当时，并非单调递增，故D错误.
故选：B
6．（2025·浙江·二模）（多选题）已知函数，则下列正确的是（ ）
A．是的一个周期
B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称
D．在区间上单调递减
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】求csx型三角函数的单调性、求csx（型）函数的对称轴及对称中心、求余弦（型）函数的最小正周期
【分析】通过三角恒等式化简函数表达式为，利用函数周期性的定义可判断A选项；利用函数对称性的定义可判断B,C选项；利用复合函数的单调性可判断D选项.
【详解】，
因为,是函数的一个周期，故A正确；
因为, 不恒为0，故B错误；
因为, 所以的图象关于直线对称，故C正确；
当时，,则在时单调递增，且
又单调递减，由复合函数的单调性可得在区间上单调递减，故D正确.
故选：ACD.
7．（2025·河南·二模）（多选题）已知如图是函数的部分图象，则（ ）
A．的图象关于中心对称B．在单调递增
C．在点处的切线方程为D．的图象向左平移个单位长度后为偶函数
【答案】BCD
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求csx型三角函数的单调性、求csx（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式
【分析】根据函数图像上的点,求出函数参数,根据函数解析式判断各选项正误.
【详解】函数图形经过,代入得,解得,因为，.
过点,得,解得,
有图像可知,即，解得，则.
可得，
对称中心为,解得,所以A错误.
函数在上单增,解得
当时,增区间为,所以B正确.
可知,则,
切线方程为,化简得,所以C正确.
平移后得,是偶函数,所以D正确.
故选:BCD.
8．（2025·陕西咸阳·模拟预测）（多选题）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．曲线的图象与y轴交点的纵坐标为
D．函数的图象关于直线对称
【答案】BCD
【难度】0.65
【知识点】求正切（型）函数的对称中心、由图象确定正切（型）函数解析式
【分析】对于A，由图结合周期公式可求出进行判断，对于B，由图可知，的图象关于点对称，代入函数中可求出进行判断，对于C，由选项AB可得的解析式，然后求解进行判断，对于D，通过计算进行判断.
【详解】对于A，由图可知，的最小正周期为，由得，，A错误；
对于B，由于,由图可知，的图象关于点对称，所以，解得，B正确；
对于C，由上面得，，令得，，
所以曲线与y轴交点的纵坐标为，C正确；
对于D，因为，所以的图象关于对称，
所以函数的图象关于直线对称，D正确.
故选：BCD.
9．（2025·北京昌平·二模）已知将函数的图象向右平移个单位后，所得函数图象关于原点对称，则常数的一个取值为 ．
【答案】（答案不唯一）
【难度】0.65
【知识点】利用csx（型）函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式
【分析】首先求出平移后的函数图象解析式，再根据余弦函数的性质求出的取值.
【详解】将函数的图象向右平移得到的图象，
又的图象关于原点对称，所以，
即，，当时，.
故答案为：（答案不唯一）.
10．（2025·湖南常德·一模）已知函数在区间上有且仅有1个零点和1条对称轴，则实数的取值范围是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用csx（型）函数的对称性求参数
【分析】求出相位的取值范围，再由零点及对称轴情况列出不等式求解.
【详解】当时，，
由函数在区间上有且仅有1个零点和1条对称轴，，
得或，解得或，
则，所以实数的取值范围是.
故答案为：
重难点题型八 三角函数的值域问题（最大值与最小值）
1．（2025·山西·模拟预测）设函数在区间的最小值和最大值分别为和，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值
【分析】由正弦函数的性质，即可得到结果.
【详解】若，则，
由正弦函数的性质可知，
当时，函数取得最小值，即，
当时，函数取得最大值，即，
所以.
故选：B
2．（2025·重庆·模拟预测）已知函数的图象关于对称，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、利用正弦函数的对称性求参数、辅助角公式
【分析】利用辅助角公式化简函数，又由函数的图象关于对称，得到，计算即可求解.
【详解】由题意，函数，
又由函数的图象关于对称，所以，
即，解得，
即，所以的最大值为.
故选：D.
3．（2025·海南·三模）已知函数在上的最小值为，则的最小值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】由csx（型）函数的值域（最值）求参数
【分析】通过换元，问题转换成在可取到，进而可求解；
【详解】由，可得：，
令
由题意可知：在可取到，
结合余弦函数的性质可知需满足：，
解得，
所以的最小值为，
故答案为：
4．（2022·安徽安庆·三模）函数的值域是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求csx(型)函数的值域、求含csx的二次式的最值
【分析】先化简，再根据余弦函数和二次函数的性质求解即可.
【详解】
，
因为，，
令，，
所以，对称轴为，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以，
，
所以函数的值域是.
故答案为：.
5．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数．
(1)若的最小正周期为，求当时的值域；
(2)若在区间内无零点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题
【分析】（1）先利用辅助角公式将函数化简，再根据周期公式求出的值，最后结合给定区间求出函数的值域.
（2）通过令函数值为求出零点表达式，再根据函数在给定区间内无零点的条件，确定的取值范围.
【详解】（1）由已知，．
因为的最小正周期为，则，所以．
当时，，则，所以的值域是．
（2）法一：令，则，即．
因为在内无零点，则，
所以，且，
即，且．
因为，则，且，即．因为，则．
所以的取值范围是．
法二：令，则当时，．
据题意，函数在区间内无零点，
则，且，
即，且．
因为，则，且，即．因为，则．
所以的取值范围是．
6．（2025·广东中山·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求函数在上的值域；
(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若的最小正周期是，，，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）根据三角恒等变换将化为一般式，再利用整体法，结合正弦函数单调性，即可求得值域；
（2）根据题意，求得，利用余弦定理，求得，再求三角形面积即可.
【详解】（1）
,
当时，，又，故，
又在上单调递增，在单调递减，且，
故函数在上的值域为.
（2）由（1）知，，由其最小正周期为，
可得，又，解得，则；
由，即，
又，可得，则，即，
又，
在三角形中由余弦定理可得，
即，
将代入上式可得：，即，
解得，或（舍去）；
故的面积为.
7．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数．
(1)求;
(2)设函数，求的值域和单调区间．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【难度】0.65
【知识点】求含csx的函数的单调性、利用余弦函数的单调性求参数、求csx(型)函数的值域
【分析】（1）直接由题意得，结合余弦函数的单调性即可得解；
（2）由三角恒等变换得，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数的单调区间.
【详解】（1）由题意，所以；
（2）由（1）可知，
所以
，
所以函数的值域为，
令，解得，
令，解得，
所以函数的单调递减区间为，
函数的单调递增区间为.
8．（2024·上海嘉定·一模）已知，其中.
(1)若，求函数的值域；
(2)若，且函数在内有极小值，但无极大值，求的值.
【答案】(1)；
(2)7或15.
【难度】0.65
【知识点】求csx(型)函数的值域、函数极值点的辨析、根据极值点求参数
【分析】（1）把代入，求出时相位范围，再利用余弦函数性质求出值域.
（2）由已知可得，再利用给定区间及极值情况求出范围即可得解.
【详解】（1）当时，，由，得，
则，，
所以函数的值域是.
（2）由，得，解得，
当时，而，则，
又函数在内有极小值，无极大值，则，
解得，于是或
，解得或，
当时，，又，无解；
当时，，又，则；
当时，，又，则；
当时，，又，无解，
所以的值是7或15.
重难点题型九 与三角函数有点的零点、极值点问题
1．设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、正弦函数图象的应用、相位变换及解析式特征
【分析】根据为任意实数，转化为研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，求出函数在轴右侧靠近坐标原点处的零点，得到相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，根据相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，列式可求出结果.
【详解】因为为任意实数，故函数的图象可以任意平移，从而研究函数在区间上的零点问题，即研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，
令，得，则它在轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为，，，，，，
则它们相邻两个零点之间的距离分别为，，，，，
故相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，
所以要使函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，
即，解得.
故选：C
【点睛】关键点点睛：在求解复杂问题时，要善于将问题进行简单化，本题中的以及区间是干扰因素，所以排除干扰因素是解决问题的关键所在.
2．定义在上的函数满足在区间内恰有两个零点和一个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．将的图象向右平移个单位长度后关于原点对称
C．图象的一个对称中心为
D．在区间上单调递增
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性
【分析】根据题意可求出的值，从而可得到的解析式，再根据解析式逐项分析即可．
【详解】依题可知，于是，于是，
∴，∴，∴，
对于A，由，则的最小正周期为，故A错误；
对于B，将的图象向右平移个单位长度后得，
则，所以不关于原点对称，故B错误；
对于C，由，所以不是图象的一个对称中心，故C错误；
对于D，由，则，所以在区间上单调递增，故D正确．
故选：D．
3．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用余弦函数的单调性求参数、求图象变化前（后）的解析式
【分析】先根据题目的要求伸缩变换得到解析式，然后结合函数在上恰有两个零点以及在上单调递减，列出不等式组，即可求得本题答案.
【详解】依题意可得，
因为，所以，
因为在恰有2个零点，且，，
所以，解得，
令，，得，，
令，得在上单调递减，
所以，
所以，又，解得．
综上所述，，故的取值范围是．
故选：C.
4．已知、是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】由正切（型）函数的奇偶性求参数、求正切（型）函数的周期、求图象变化前（后）的解析式
【分析】求出函数的最小正周期，可得出的值，然后利用三角函数图象变换可得出平移后所得函数的解析式，根据正切型函数的奇偶性可得出关于的等式，解出的表达式，即可得出合适的选项.
【详解】由题意可知，函数的最小正周期为，所以，
所以，
将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，
可得出函数为奇函数，
所以，，解得，A选项合乎题意.
故选：A.
5．函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】三角函数图象的综合应用、求图象变化前（后）的解析式
【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，
而显然过与两点，
作出与的部分大致图像如下，

考虑，即处与的大小关系，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
所以由图可知，与的交点个数为.
故选：C.
6．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若在区间上有且仅有一个零点，则实数m的一个取值为 .
【答案】（答案不唯一）
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、正弦函数图象的应用、求图象变化前（后）的解析式
【分析】由图象平移写出解析式，再由，根据正弦函数图象及零点个数求参数范围，即得结果.
【详解】由题设，
在，则，要使在区间上有且仅有一个零点，
所以，即，故满足要求.
故答案为：（答案不唯一）
7．先将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象与函数的图象关于x轴对称，若函数在上恰有两个零点，且在上单调递增，则的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用正弦型函数的单调性求参数、求图象变化前（后）的解析式
【分析】先根据题目的要求平移伸缩对称变换得到的解析式，然后结合函数在上恰有两个零点以及在上单调递增，列出不等式组，即可求得本题答案.
【详解】函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，
再将图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象，因为函数的图象与的图象关于x轴对称，
所以，
因为，所以，
又因为在恰有2个零点，且，，
所以，解得，
令，，得，，令，得在上单调递增，所以，
所以，又，解得．
综上所述，，故的取值范围是．
故答案为：
8．将函数的图像上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍后，所得函数的图像在区间上有且仅有两条对称轴和两个对称中心，则的值为 ．
【答案】2
【难度】0.65
【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式
【分析】先求函数的解析式，画出大致图像，再结合已知条件即可求出的值.
【详解】由题可知．
因为，所以．
所以的图像大致如图所示，
要使的图像在区间上有且仅有两条对称轴和两个对称中心，
则，解得，
因为，所以．
故答案为：2
重难点题型十 三角函数图像性质的综合应用
1．（2025·浙江·三模）已知函数和函数的图象上相邻的四个交点构成的四边形的面积为，且，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】三角函数综合
【分析】先计算两个函数的交点坐标，得出相邻的四个交点构成的四边形为平行四边形，即可计算其面积，得出的值，再利用得出.
【详解】由得，，
则，即，
则当时，（为奇数）或（为偶数），
则交点坐标为（为奇数），（为偶数），
则相邻的四个交点构成的四边形为平行四边形，
因相邻的交点之间的横坐标差的绝对值为，
则平行四边形的面积为，得，
由，得，即，
因为，所以.
故选： C
2．（2020·云南昆明·三模）设函数，下述四个结论：
①是偶函数
②的图象关于直线对称
③的最小值为
④在上有且仅有一个极值点
其中所有正确结论的编号是
A．①③B．①④C．②③D．②④
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】三角函数综合
【分析】对四个结论逐一分析：
①判断与是否相等；
②判断与是否相等；
③去绝对值，求最值；
④由，化简，可判断极值点的个数.
【详解】①是偶函数，①正确；
②,
故的图象不关于直线对称，②错误；
③去绝对值，则
故，则，
，则，
综合得，即的最小值为，③错误；
④由，化简，
令，则，
此时有且仅有一个极小值点，
故在上有且仅有一个极值点. ④正确.
故选：B
【点睛】本题考查了含绝对值的三角函数的性质：奇偶性、对称性、最值、极值，是一道三角函数性质的综合应用题.
3．（2024·浙江金华·一模）（多选题）设函数，则（ ）
A．的图象有对称轴B．是周期函数
C．在区间上单调递增D．的图象关于点中心对称
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】三角函数综合
【分析】A选项由偶函数得到轴是其中一条对称轴；B选项用周期的定义找到其中一个周期为；C选项通过两个特殊点函数值的大小判定函数在区间不是单调递增；D选项由中心对称的定义验证是否成立即可.
【详解】∵，
∴是偶函数，关于轴对称，故A正确；
∵，
∴是函数的一个周期，故B正确；
，∵，，
显然，故在区间上不单调递增，故C错误；
，
∴的图象关于点中心对称.
故选：ABD.
4．（2021·全国·模拟预测）（多选题）已知函数，则（ ）
A．为周期函数B．的图像关于点对称
C．有最大值D．在上单调递增
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、三角函数综合
【分析】先将函数解析式化简整理，得到，计算得，可判断A正确；计算得，可判断B正确；由，可判断C错；对函数求导，可判断D正确.
【详解】因为，
所以，即函数是周期函数，故A正确；
又，，，
则，所以的图像关于点对称；故B正确；
因为，故不是的最大值，即C错；
又，
当时，，所以，则此时恒成立，因此在上单调递增，即D正确；
故选：ABD.
5．（2023·四川自贡·一模）已知函数，在区间上有且仅有2个零点，对于下列4个结论：
①的取值范围是；
②在区间上存在，，满足；
③在区间上单调递减；
④在区间有且仅有1个极大值点；
其中所有正确结论的编号为 .
【答案】①②
【难度】0.4
【知识点】三角函数综合、正弦函数图象的应用、利用正弦型函数的单调性求参数、函数极值点的辨析
【分析】对于①：令，求出的范围，根据 在区间上有且仅有2个零点即可限制的取值范围，从而得到的取值范围；
对于②：在的范围内可以找到一个最大值一个最小值满足条件；
对于③：当时，求出的范围，判断是否在的减区间内；
对于④：根据条件，对应的也可能为一个极大值点.
【详解】对于①：，
令，则
由题意，在上只能有两解和，
解得，所以①成立；
对于②：因为在上必有，故在上存在满足，所以②成立；
对于③：当时，，由于，故，此时是增函数，从而在上单调递增.
所以③不成立；
对应的（显然在上)一定是极大值点，因对应的值有可能在上，故④结论错误；
综上，①②成立.
故答案为：①②
【点睛】关键点点睛：本题关键是利用整体思想，根据整体的范围结合的图象解决零点个数，单调性，最值个数，对称性等问题.
6．（2025·上海松江·二模）设，若函数在区间内恰好有6个零点，则的取值范围是 .
【答案】
【难度】0.4
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围、三角函数综合
【分析】由最多有两个零点，可得至少四个根，分别讨论当和时两个函数零点的个数情况，再结合考虑求解即可.
【详解】当时，令，则，
解得.因为，所以，
当时，，其对称轴为，二次函数最多两个零点.
当二次函数有两个零点时：
结合二次函数图象性质，
解得，即；
解得，即，，
所以当二次函数有两个零点时，的取值范围是.
此时应有四个解，即有四个解.
当时，；所以，即
当时，；所以，即
当时，；所以，即
当时，；所以，即
所以当有四个解时
所以当在区间内恰好有6个零点时的取值范围是.
当二次函数有一个零点时：或，即或，
此时应有五个解，即有五个解，即，
所以；
当二次函数有零个零点时：，即，
此时应有六个解，即有六个解，即，
所以此时无符合条件的的值.
终上所述：的取值范围是.
故答案为：