江苏省南通市海安市2025-2026学年高三上学期开学测试数学试卷

这是一份江苏省南通市海安市2025-2026学年高三上学期开学测试数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
A ∩ B 
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
A  x∣x3  x , B  3, 0,1, 2
已知集合，则（）
A 3, 0
B. 0,1
C. 3, 0,1
D. 0,1, 2
已知命题 p : x  R, x  0 ，则 p :（）
x  R, x  0B. x  R, x  0
C. x  R, x  0D. x  R, x  0
设b, c  R ，不等式 x2  bx  c  0 的解集为{x∣x  1或 x  3}，则b  c  （）
1
B. 0C. 2D. 7
设函数 f  x 的定义域为R ，则“ f 1  f 2 ”是“ f  x 不是减函数”的（）
充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
设 a 是大于 1 的常数，则（）
 a   a
xax   ax  xaxlga
x
x2



ln a  x  1
x  a
asinx  xcsa  acsx  xsina
已知 f  x 是奇函数，且当 x  0 时， f  x  x  2x ，则 x  0 时， f  x  （）
x  2x
x  2x
x  2x
x  2x
3
2
7 已知 a  3 2 , b  lg 3, c ，则（）
A b  c  a
B. c  b  a
C. a  b  c
D. b  a  c
设集合 A  1, 2, 3 ，函数 f : A  A ，且对任意的 x  A, f  f  x  x ，则满足题设的 f 的个数为（）
A. 14B. 13C. 11D. 9
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
设 x  0 ，则（）
x  1  1
x  1
5  x  4  1
x
x 
1 1
x 1
lnx 
1  2 lnx
设 k  R ，函数 f  x  ex  ke x ，则下列结论正确的是（）
若 k  1 ，则 f  x 为偶函数
k
若k  0 ，则 f  x 的最小值为2
若 f  x 为增函数，则 k  0
若曲线 y  f  x 关于直线 x  ln2 对称，则 k  4
设正数 a ， b 满足 alnb  2 ， alna  blnb  9 ，则（）
lna  lnb  ln2
blna  2
lna  lnb  ln6
ablnab  36
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
请写出满足“ m  0, n  0, f mn  f m  f n ”的一个函数 f  x  ．
已知二次函数 f  x 满足：2  x 12 1 
f  x  3 x 12 1，且 f 0  7 ，则 f 0 ．
2
一支长1km 的队伍以vkm / h 的速度匀速前进．队尾的传令兵因传达命令以3vkm / h 的速度赶赴队 首，到达后立即返回队尾，往返速度的大小不变．记传令兵从队尾到队首所用的时间为t1h ，从队首到队
t
2
尾所用的时间为t h ，则 t1
2
 ，传令兵所走的路程为km ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
2
江苏城市足球联赛（俗称“苏超”）火爆出圈，某城市文旅部门推出“看球赛抽奖品”活动，到该城市观看比赛的球迷可抽奖获得纪念品．规则如下：抽奖 3 次，每次抽中纪念品的概率均为 1 ．若前 2 次未抽中纪念
品，则第 3 次无论抽中与否均获得纪念品．
求某球迷恰好获得 1 个纪念品的概率；
记 x 为某球迷获得第 1 个纪念品时的抽奖次数，求 x 的数学期望 E  x ．
在锐角三角形 ABC 中，记 a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边， asinB 
3 c ．
2
1
（1）求
tanA
1
tanB
的值；
（2）求角C 的最大值．
如图，在四棱锥 P  ABCD 中， AB  平面 PAD ， BC∥AD ， AD  2BC  2 ， E 为 PD 的中点．
证明： CE // 平面 PAB ；
若点 A, C, D, P 均在以 E 为球心，2 为半径的球面上．
证明： AC  CD ；
求直线 BE 与平面 ABCD 所成角的正弦值．
x2y2
3
2
2
在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E： 
 1a  b  0 的离心率为
，短轴长为 2．
求 E 的方程；
ab2
3 
设C 为 E 的右顶点，点 P 1, t  t  R, t  2  ，直线OP 与 E 的交点分别为A ， B ，直线CP 与 E

的另一交点为 D ．
求点 D 的横坐标（用t 表示）；
证明： PA  PB  PC  PD ．
已知 k, m  R ，函数 f (x) 的定义域为R ，记集合 A  {x | f (x)  kx  m}．
若 k  m  1 ， f (x)  x2  ax ，且 A  R ，求实数 a 的取值范围；
xex , x  0
若 f (x)  
x ln x, x  0
是否存在 k, m ，使得A 中恰有两个元素？
若函数 f (x) 的图象是一条连续不间断的曲线，且导函数 f (x) 是R 上的增函数，证明：“ y 
在点 P(t, f (t)) 处的切线方程为 y  kx  m ”的充要条件是“ A  {t}”．
f (x)
2026 届高三期初学业质量监测试卷数学
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
A ∩ B 
A  x∣x3  x , B  3, 0,1, 2
1 已知集合，则（）
3, 0
0,1
3, 0,1
0,1, 2
【答案】C
【解析】
【分析】结合集合A 的条件计算可得3, 0,1 A ， 2  A ，进而根据交集的定义求解即可.
【详解】由33  27  3， 03  0  0 ，13  1  1， 23  8  2 ，则3, 0,1 A ， 2  A ，所以 A ∩ B  3, 0,1.
故选：C.
已知命题 p : x  R, x  0 ，则 p :（）
x  R, x  0B. x  R, x  0
C. x  R, x  0D. x  R, x  0
【答案】D
【解析】
【分析】由全称命题的否定是将任意改为存在，并否定原结论，即可得.
【详解】由全称命题的否定为特称命题，则 p : x  R, x  0 .
故选：D
设b, c  R ，不等式 x2  bx  c  0 的解集为{x∣x  1或 x  3}，则b  c  （）
1
B. 0C. 2D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可知1和3 是方程 x2  bx  c  0 的两个根，根据韦达定理求出b ， c 的值即可求解.
【详解】由题意可知：1和3 是方程 x2  bx  c  0 的两个根，则由韦达定理可得：1 3  b 和
1 3  c ，即b  4 ， c  3 ，所以b  c  1.
故选：A.
设函数 f  x 的定义域为R ，则“ f 1  f 2 ”是“ f  x 不是减函数”的（）
充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】结合函数的单调性的概念，判断两个命题之间的关系.
【详解】首先，若 f 1  f 2 ，则函数 f  x 必定不是减函数，所以“ f 1  f 2  f  x 不是减函
数”，所以“ f 1  f 2 ”是“ f  x 不是减函数”的充分条件；
其次，若 f  x 不是减函数，则至少存在一组 x1  x2 ，使得 f  x1   f  x2  ，但并不一定是 x1  1 ，
x2  2 这一组.
比如 f  x  x  2 ，在, 2 上单调递减，在2,  上单调递增，所以函数 f  x 不是减函数，但是
f 1  1  f 2  0 ,所以“ f  x 不是减函数”不能推出“ f 1  f 2 ”，即“ f 1  f 2 ”不是
“ f  x 不是减函数”的必要条件.
故“ f 1  f 2 ”是“ f  x 不是减函数”的充分不必要条件.
故选：A
设 a 是大于 1 的常数，则（）
 a   a
xax   ax  xaxlga
x
x2



ln a  x  1
x  a
asinx  xcsa  acsx  xsina
【答案】C
【解析】
【分析】根据求导法则对选项一一判断，得到答案.
【详解】A 选项，  a    a ，A 错误；
x
x2


B 选项， xax   xax  x ax   ax  xaxlna ，B 错误；

C 选项， ln a  x  1  a  x   1  1 ，C 正确；
a  xa  xx  a
D 选项， asinx  xcsa  acsx  cs a ，D 错误.故选：C
已知 f  x 是奇函数，且当 x  0 时， f  x  x  2x ，则 x  0 时， f  x  （）
x  2x
x  2x
x  2x
x  2x
【答案】B
【解析】
【分析】利用奇函数的性质，根据题设条件即可求得另一半的解析式.
【详解】因为 x  0 时， f  x  x  2x ，
当 x  0 时，则x  0 ， f x  x  2 x ，
因 f  x 是奇函数，则 f  x   f x  x  2x .
故选：B.
【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性比较大小.
3
3
【详解】依题意， (2 3 )3  23 3  25  33 ，则2 3  3 ，因此b  lg2 3  c ，而c  3  3 2  a ，所以b  c  a .
故选：A
7. 已知 a  3 2 , b  lg 3,
2
A. b  c  a
c 3 ，则（
B. c  b  a
）
C. a  b  cD. b  a  c
【答案】A
【解析】
设集合 A  1, 2, 3 ，函数 f : A  A ，且对任意的 x  A, f  f  x  x ，则满足题设的 f 的个数为（）
A. 14B. 13C. 11D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的定义，应用列举法写出( f (1), f (2), f (3)) 对应函数值，进而确定 f ( f (x)) 的值，结合不等关系确定满足条件的函数个数.
【详解】由 A  1, 2, 3 ，函数 f : A  A ，任意的 x  A, f  f  x  x ，
若( f (1), f (2), f (3)) 依次为(a, b, c) ， ( f (a), f (b), f (c)) 依次为(m, n, l) ，当(a, b, c) 为(1,1,1) ，则(m, n, l) 为(1,1,1) ，满足；
当(a, b, c) 为(2, 2, 2) ，则(m, n, l) 为(2, 2, 2) ，不满足；
当(a, b, c) 为(3, 3, 3) ，则(m, n, l) 为(3, 3, 3) ，不满足；
当(a, b, c) 为(1,1, 2) ，则(m, n, l) 为(1,1,1) ，满足；
当(a, b, c) 为(1, 2,1) ，则(m, n, l) 为(1, 2,1) ，满足；
当(a, b, c) 为(2,1,1) ，则(m, n, l) 为(1, 2, 2) ，满足；
当(a, b, c) 为(2, 2,1) ，则(m, n, l) 为(2, 2, 2) ，不满足；
当(a, b, c) 为(2,1, 2) ，则(m, n, l) 为(1, 2,1) ，满足；
当(a, b, c) 为(1, 2, 2) ，则(m, n, l) 为(1, 2, 2) ，满足；
当(a, b, c) 为(1,1, 3) ，则(m, n, l) 为(1,1, 3) ，满足；
当(a, b, c) 为(1, 3,1) ，则(m, n, l) 为(1,1,1) ，满足；
当(a, b, c) 为(3,1,1) ，则(m, n, l) 为(1, 3, 3) ，不满足；
当(a, b, c) 为(3, 3,1) ，则(m, n, l) 为(1,1, 3) ，满足；
当(a, b, c) 为(3,1, 3) ，则(m, n, l) 为(3, 3, 3) ，不满足；
当(a, b, c) 为(1, 3, 3) ，则(m, n, l) 为(1, 3, 3) ，不满足；
当(a, b, c) 为(2, 2, 3) ，则(m, n, l) 为(2, 2, 3) ，不满足；
当(a, b, c) 为(2, 3, 2) ，则(m, n, l) 为(3, 2, 3) ，不满足；
当(a, b, c) 为(3, 2, 2) ，则(m, n, l) 为(2, 2, 2) ，不满足；
当(a, b, c) 为(3, 3, 2) ，则(m, n, l) 为(2, 2, 3) ，不满足；
当(a, b, c) 为(3, 2, 3) ，则(m, n, l) 为(3, 2, 3) ，不满足；
当(a, b, c) 为(2, 3, 3) ，则(m, n, l) 为(3, 3, 3) ，不满足；
当(a, b, c) 为(1, 2, 3) ，则(m, n, l) 为(1, 2, 3) ，满足；
当(a, b, c) 为(1, 3, 2) ，则(m, n, l) 为(1, 2, 3) ，满足；
当(a, b, c) 为(2,1, 3) ，则(m, n, l) 为(1, 2, 3) ，满足；
当(a, b, c) 为(2, 3,1) ，则(m, n, l) 为(3,1, 2) ，不满足；
当(a, b, c) 为(3,1, 2) ，则(m, n, l) 为(2, 3,1) ，不满足；
当(a, b, c) 为(3, 2,1) ，则(m, n, l) 为(1, 2, 3) ，满足；综上，共有 13 个满足条件.
故选：B
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
设 x  0 ，则（）
x  1  1
x  1
5  x  4  1
x
x 
1 1
x 1
lnx 
1  2 lnx
【答案】BC
【解析】
【分析】举例判断 AD；根据基本不等式求解判断 BC.
x 1
【详解】对于 A，当 x  1 时，无意义，故 A 错误；
x 1
x  4
x
对于 B，由 x  0 ，则 x  4  2
x
 4 ，当且仅当 x  4 ，即 x  2 时等号成立，
x
则5  x  4  5   x  4   5  4  1 ，故 B 正确；
xx 

对于 C， x 
1
x 1
 x 1
1
x 1
1  2
1  1，
当且仅当 x 1 
1
x 1
 x 1
1
x 1
时等号成立，而在 x  0 时，无解，则 x 
1
1
x 1
1，故 C 正确；
对于 D，当 x  1 时， ln x  0 ，
故选：BC.
lnx
无意义，故 D 错误.
设 k  R ，函数 f  x  ex  ke x ，则下列结论正确的是（）
若 k  1 ，则 f  x 为偶函数
k
若k  0 ，则 f  x 的最小值为2
若 f  x 为增函数，则 k  0
若曲线 y  f  x 关于直线 x  ln2 对称，则 k  4
【答案】ABD
【解析】
【分析】A 利用偶函数的定义；B 通过导函数研究其单调性即可；C 根据 f  x  ex  ke x  0 在R 上恒成
立即可；D 先根据 f 0  f 2 ln 2 求出 k ，再根据 f 2 ln 2  x  f  x 检验.
【详解】若 k  1 ，则 f  x  ex  ex ，则 f x  ex  ex  f  x ，则 f  x 为偶函数，故 A 正确；
若k  0 ，则 f  x  ex  kex ，令 g  x  f  x  ex  kex ，则 g x  ex  kex  0 ，
故 g  x  f  x 在R 上单调递增，因 x   时 f  x  ∞； x   时 f  x  ∞，
k
故函数 f  x 在R 上存在唯一的零点 x0 ，即ex0  kex0 ，即ex0 ，则 f  x  0 得 x  x0 ； f  x  0 得 x  x0 ，
故 f  x 在∞, x0  上单调递减，在 x0 , ∞ 上单调递增，
k
故 f  x 的最小值为 f  x0   ex0  kex0  2ex0  2，故 B 正确；
若 f  x 为增函数，则 f  x  ex  kex  0 在R 上恒成立，则 k  e2 x 在R 上恒成立，故 k  0 ，故 C 错
误；
若曲线 y  f  x 关于直线 x  ln2 对称，则 f 0  f 2 ln 2 ，则1 k  eln 4  keln 4 ，得 k  4 ，
当 k  4 时 f  x  ex  4ex ，则 f 2 ln 2  x  e2ln2x  4e2ln2x  4ex  ex  f  x ，
故 y  f  x 关于直线 x  ln2 对称，故 D 正确.
故选：ABD
设正数 a ， b 满足 alnb  2 ， alna  blnb  9 ，则（）
lna  lnb  ln2
blna  2
lna  lnb  ln6
ablnab  36
【答案】ABD
【解析】
【分析】对 alnb  2 两边同时取自然对数，结合对数运算法则即可判断选项 A；由选项 A，结合对数的运算法则可得即可判断选项 B；对 alna  blnb  9 两边同时取自然对数可得ln alna  blnb   ln 9 ，根据对数运算法则可得ln a  ln a  ln b  ln b  ln 9 .由完全平方公式结合选项 A 可得lna  lnb2  ln 36 ，即可判断选项 C；由lna  lnb2  ln 36 可得 ln ab2  ln 36 ，根据对数运算法则可得即可判断选项 D.
【详解】对 alnb  2 两边同时取自然对数可得ln alnb  ln 2 ，根据对数运算法则可得ln a  ln b  ln 2 ，故选项 A 正确；
由选项 A 中ln a  ln b  ln 2 ，结合对数的运算法则可得ln bln a  ln 2 ，所以blna  2 ，故选项 B 正确；对 alna  blnb  9 两边同时取自然对数可得ln alna  blnb   ln 9 ，根据对数运算法则可得
ln alna  ln blnb  ln 9 ，即ln a  ln a  ln b  ln b  ln 9 .
ln 36
所以lna  lnb2  ln a  ln a  ln b  ln b  2 ln a  ln b  ln9  2 ln 2  ln 36 ，所以lna  lnb  ，故选项 C 错误；
由lna  lnb2  ln 36 可得 ln ab2  ln 36 ，即ln ab ln ab  ln 36 ，根据对数运算法则可得 ln ablnab  ln 36 ，即ablnab  36 ，故选项 D 正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
请写出满足“ m  0, n  0, f mn 
【答案】ln x （答案不唯一）
【解析】
f m  f n ”的一个函数 f  x  ．
【分析】根据对数的运算性质判断，可以填写对数函数.
【详解】由题意，所求函数定义域为0, ∞ ，且满足运算性质 f mn 
f m  f n ，
所以对数函数满足题意.
故答案为： ln x （答案不唯一）
已知二次函数 f  x 满足：2  x 12 1 
【答案】 5
f  x  3 x 12 1，且 f 0  7 ，则 f 0 ．
2
【解析】
【分析】根据题意，设 f  x  a(x 1)2 1 ，其中2  a  3 ，结合 f 0  7 ，求得 a 的值，得到函数
2
f  x 的解析式，进而求得 f 0 的值，得到答案.
【详解】由二次函数 f  x 满足： 2  x 12 1 
其中2 0 12 1  3, 30 12 1  4 ，
f  x  3 x 12 1，且 f 0  7 ，
2
可得设二次函数 f  x  a(x 1)2 1 ，其中2  a  3 ，
可得 a(0 1)2 1  7 ，解得 a  5 ，所以 f  x  5 (x 1)2 1 ，
222
则 f  x  5(x 1) ，所以 f 0  5 .
故答案为： 5 .
一支长1km 的队伍以vkm / h 的速度匀速前进．队尾的传令兵因传达命令以3vkm / h 的速度赶赴队 首，到达后立即返回队尾，往返速度的大小不变．记传令兵从队尾到队首所用的时间为t1h ，从队首到队
尾所用的时间为t h ，则 t1  ，传令兵所走的路程为km ．
t
2
2
9
【答案】①. 2②.
【解析】
##2.25
4
t1
t
【分析】根据追及问题与相遇问题，结合路程与速度和时间的关系求解 及传令兵所走的路程即可.
2
【详解】传令兵从队尾到队首与队伍的相对速度为3v  v km / h  2vkm / h ，
根据路程与速度和时间的关系可得t1 
1 h ， 2v
传令兵从队首到队尾与队伍的相对速度为3v  v km / h  4vkm / h ，
根据路程与速度和时间的关系可得t2
1
 1 h ， 4v
则 t1  2v  2 ，传令兵所走的路程为3v  t  t   3v  1  1   9 km .
t112
 2v
4v 4
2
4v
9
故答案为： 2 ； 4 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
2
江苏城市足球联赛（俗称“苏超”）火爆出圈，某城市文旅部门推出“看球赛抽奖品”活动，到该城市观看比赛的球迷可抽奖获得纪念品．规则如下：抽奖 3 次，每次抽中纪念品的概率均为 1 ．若前 2 次未抽中纪念
品，则第 3 次无论抽中与否均获得纪念品．
求某球迷恰好获得 1 个纪念品的概率；
记 x 为某球迷获得第 1 个纪念品时的抽奖次数，求 x 的数学期望 E  x ．
1
【答案】（ ） 1
2
7
（2）
4
【解析】
【分析】（1）记 B 为“恰好获得 1 个纪念品”，列出事件 B 包含的子事件，求出这些子事件的概率再求和即可；
（2）据题意得到 x 的可能值并求对应事件的概率，求 x 的分布列，再根据期望公式计算即得.
【小问 1 详解】
设每次抽中纪念品为事件A ，未抽中为事件 A ，且 P  A  1 ， P  A  1 .
22
记 B 为“恰好获得 1 个纪念品”，则有以下可能情况：
第 1 次中，第 2 次未中，第 3 次未中： P  P  A P  A P  A  1  1  1  1 ；

1
第 1 次未中，第 2 次中，第 3 次未中： P2
2228
  
 P A P  A P A  1  1  1  1 ；
2228
111
224
第 1、2 两次均未中，则第 3 次必得： P3  P  A P  A ；
所以 P  B  P1  P2  P3
【小问 2 详解】
 1  1  1  1 .
8842
记 x 为某球迷获得第 1 个纪念品时的抽奖次数，则 x 的可能取值为 1,2,3.
P  x  1  P  A  1 ；
2
 
P  x  2  P A  P  A  1  1  1 ；
224
224
P  x  3  P  A P  A  1  1  1 .
分布列
x
1
2
3
p
1 2
1
4
1
4
E  x  1 1  2  1  3 1  7 .
2444
在锐角三角形 ABC 中，记 a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边， asinB 
3 c ．
2
1
（1）求
tanA
1
tanB
的值；
（2）求角C 的最大值．
2 3
3
【答案】（1）
π
（2）
3
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理可得sin AsinB 
3 sin C ，结合三角恒等变换运算求解即可；
2
2 3
3
（2）根据（1）中结论结合基本不等式可得tan A  tan B 
tan C   tan  A  B 运算求解即可.
【小问 1 详解】
tan A  tan B ，且tan A  tan B  3，结合
因为 asinB 
3 c ，由正弦定理可得sin AsinB 
2
3 sin C ，
2
又因为sin C  sin  A  B  sin Acs B  cs Asin B ，
即sin AsinB 
3 sin A cs B  cs Asin B ，
2
且V ABC 为锐角三角形，则 A, B  0, π  ，则sin A  0, sin B  0, cs A  0, cs B  0 ，
2 

可得1 3 11 ，所以 11 2 3 .
2  tan Atan B 
tan A
tan B3

【小问 2 详解】
2 3
因为 11，且 A, B  0, π  ，则tan A  0, tan B  0 ，
2 

tan Atan B3
2 3
3
可得tan A  tan B 
tan A  tan B  2
，解得tan A  tan B  3，
tan A  tan B
3
当且仅当tan A  tan B ，即 A  B  π 时，等号成立，
3
2 3 tan A  tan B
则tan C   tan  A  B 
tan A  tan B 3
 2 31，
tan A tan B 1tan A tan B 13 1
1
tan A tan B
因为tan A  tan B  3，则0 
1
tan A  tan B
 1 ， 3
211 1 3
可得  1 1，
3tan A  tan B
tan C  2 31
1 12 ，
tan A  tan B
 2 3 , 3
则31 3 ，
1
tan A tan B
即tan C 的最大值为，且C  0, π  ，
3
2 

所以角C 的最大值为 π .
3
如图，在四棱锥 P  ABCD 中， AB  平面 PAD ， BC∥AD ， AD  2BC  2 ， E 为 PD 的中点．
证明： CE // 平面 PAB ；
若点 A, C, D, P 均在以 E 为球心，2 为半径的球面上．
证明： AC  CD ；
求直线 BE 与平面 ABCD 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）证明见解析（ii） 15
5
【解析】
【分析】（1）取 PA 中点 F ，连接 EF ，证明四边形 BCEF 为平行四边形，得出 BF //CE ，由线面平行判定定理得证；
（2）（i）证明 PA, AB, AD 两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法证明线线垂直（ii）根据线面角的公式求解即可.
【小问 1 详解】
取 PA 中点 F ，连接 EF , BF ，
Q F , E 分别为 PA, PD 中点，
 EF //AD, EF  1 AD  BC ，又
2
 EF //BC, EF  BC ，
四边形 BCEF 为平行四边形，
BC //AD ，
 BF //CE ，又 BF  平面 PAB ， CE  平面 PAB ，
CE // 平面 PAB .
【小问 2 详解】
（i）Q A, C, D, P 均在以 E 为球心，2 为半径的球面上，
 PD 为球的直径， PD  4 ，
 PA  AD, PC  CD ，
PD2  AD2
 PA 

 2，
16  4
3
Q AB  平面 PAD ， PA, AD  平面 PAD ，
 AB  PA ， AB  AD ，即 PA, AB, AD 两两垂直，
以A 为坐标原点，分别以 AB, AD, AP 方向为 x, y, z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
设 AB = a ，则 A0, 0, 0, P 0, 0, 2 3 , B a, 0, 0, C a,1, 0, D 0, 2, 0, E 0,1, 3  ，

–––→–––→
CP  a, 1, 2 3 , CD  a,1, 0 ，
由 PC  CD 可得CP  CD  a2 1  0 ，解得 a  1 或 a  1 （舍去），
 AC  (1,1, 0), CD  (1,1, 0) ， AC  CD  11  0 ，
 AC  CD ，即 AC  CD .
（ii）设直线 BE 与平面 ABCD 所成角为θ，
–––→→
由 BE  1,1, 3  ，平面 ABCD 的一个法向量 n  0, 0,1 ，
BE  n
–––→
→
–––→ →
BE n
3
11 3
则sinθ15 .
5
x2y2
3
2
2
在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E： 
 1a  b  0 的离心率为
，短轴长为 2．
求 E 的方程；
ab2
3 
设C 为 E 的右顶点，点 P 1, t  t  R, t  2  ，直线OP 与 E 的交点分别为A ， B ，直线CP 与 E

的另一交点为 D ．
求点 D 的横坐标（用t 表示）；
证明： PA  PB  PC  PD ．
【答案】（1）
x2  2 
y
1
4
（2）（i）
2 4t 2 1
1 4t 2
（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用椭圆的性质，结合题给离心率及短轴长求出 a2 , b2 值即可.
（2）（i）已知直线CP 通过点C 2, 0 和点 P 1, t  ，得出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理得出 D 点横坐标；
（ii）由 P 1, t  得出直线 OP 方程，联立椭圆方程，利用韦达定理结合两点间距离公式计算得出
PA  PB ，同理计算得出 PC  PD ，比较两值大小即可.
【小问 1 详解】
已知椭圆的离心率e  c 
a
3 ，短轴长2b  2 ，则b  1， c 
2
3 a .
2
根据椭圆的性质可知 a2  b2  c2 ，
3
2


所以 a2 1 a
 2
 a2  4 ，
x22
所以，椭圆 E 的方程为： y
4
 1.
【小问 2 详解】
如上图所示，直线CP 通过点C 2, 0 和点 P 1, t  ，斜率 k 
则直线方程为 y  t  x  2 .
t
1 2
 t ，
x222
2222
联立椭圆方程得： t
4
 x  2
 1  1 4t  x
16t x 16t
 4  0
已知 x  2 为方程一个根（点C ），设另一个根为 xD ，由韦达定理得：
16t 2
2  xD  1 4t 2
2 4t 2 1

2  x
D
 xD 
 16t 2  4
1 4t 2
1 4t 2
直线OP 的方程为 y  tx ，代入椭圆方程得 x2  4t 2 x2  4 ，设 A x1, y1 , B  x2 , y2  ，

x1  x2  0
则x  x 4，
 12
1 4t 2

x 1 y  t

2

1

2
1

1 tx 1
2

1

2

 PA 
根据两点间距离公式

 PB 
，

x 1 y  t

2

2

2
2

1 tx 1
2

2

2

4t 2  3
1 4t 2
1 212
所以 PA  PB  1 t 2  x x   x  x  1  1 t 2 .
设 D  x
D , yD
 ，由（i）知
xD 
2 4t 2 1y
，
1 4t 2
D  t  xD
 2 ，
根据两点间距离公式：
 x 12   y  t 2
D
D
PD 

 x 12  t 2  x 12
D
D

1 t 2
1 t
2 4t 2  3
1 4t 2
xD 1 
PC 
，
1 22  t 2
1 t 2
4t 2  3
1 4t 2
2
所以 PC  PD  1 t

 PA  PB ，命题得证.
已知 k, m  R ，函数 f (x) 的定义域为R ，记集合 A  {x | f (x)  kx  m}．
若 k  m  1 ， f (x)  x2  ax ，且 A  R ，求实数 a 的取值范围；
xex , x  0
若 f (x)  
x ln x, x  0
是否存在 k, m ，使得A 中恰有两个元素？
若函数 f (x) 的图象是一条连续不间断的曲线，且导函数 f (x) 是R 上的增函数，证明：“ y 
在点 P(t, f (t)) 处的切线方程为 y  kx  m ”的充要条件是“ A  {t}”．
【答案】（1） 1  a  3
（2）存在（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用一元二次不等式的解集为R 求出范围.
利用导数求出函数 f (x) 的最小值，并确定集合A 只有两个元素的 k, m 即可.
f (x)
记 g(x) 
f (x)  (kx  m) ，由切线方程得 f (t)  kt  m ，再由单调性求出A 证得必要性；由 A  {t}，
 f (t)  k

得当 x  t 时 g(x)  0, g(t)  f (t)  (kt  m)  0 ，结合函数极小值的意义求出切线斜率及切线方程证得充分性即可.
【小问 1 详解】
当 k  m  1 ， f (x)  x2  ax 时，
不等式 f (x)  kx  m  x2  ax  x 1  x2  (a 1)x 1  0 ，
依题意， A  {x | x2  (a 1)x 1  0}  R ，则(a 1)2  4  0 ，解得1  a  3 ，所以实数 a 的取值范围是1  a  3 .
【小问 2 详解】
当 x  0 时， f (x)  xex ，求导得 f ( x)  ( x  1)ex ， 当 x  1时， f (x)  0 ；当1  x  0 时， f (x)  0 ，
函数 f (x) 在(∞, 1) 上递减，在(1, 0] 上递增， f (x) 在 x  1 处取得极小值 f (1)   1 ，
e
当 x  0 时， f (x)  x ln x ，求导得 f  (x)  1 ln x ，当0  x  1 时， f (x)  0 ；当 x  1 时， f (x)  0 ，
ee
(0, )
函数 f (x) 在1 上递减，在(1 , ) 上递增， f (x) 在 x  1 处取得极小值 f (1)   1 ，
eeeee
因此函数 f (x) 在 x  1 和 x  1 处取得最小值 1 ，不等式 f (x)   1 的解集为{1, 1}，
eeee
1
取 k  0, m   1 ，集合 A  {x | f (x)  kx  m}  {1, 1}， ee
所以存在 k  0, m   ，使得A 中恰有两个元素.
e
【小问 3 详解】
令函数 g(x) 
f (x)  (kx  m) ，求导得 g(x) 
f (x)  k ，
由 f (x) 在R 上单调递增，得函数 g( x) 在R 上单调递增，
证必要性：由直线 l 是曲线 y  f (x) 在点 P(t, f (t)) 处的切线，得 f (t)  kt  m ，即 g(t)  0 ，


 f (t)  k
当 x  t 时， g(x)  0 ，函数 y  g(x) 在(, t) 上单调递减， g(x)  g(t)  0 ；当 x  t 时， g( x)  0 ，函数 y  g(x) 在(t, ∞) 上单调递增， g(x)  g(t)  0 ，
g(t)  0
因此 g(x)  f (x)  (kx  m)  0 的解集为{t}，即 A  {t}；
证充分性：若 A  {t}，则当 x  t 时， g(x)  0, g(t)  f (t)  (kt  m)  0 ，
由函数 y 
f (x) 的图象是一条连续曲线，得 g(t) 
f (t)  (kt  m)  0 ，
且在 x  t 的附近其他自变量（除t 外）对应的函数值都大于 g(t) ，
即函数 y  g(x) 在 x  t 处取得极小值，于是 g(t)  f (t)  k  0 ，
因此曲线 y 
f (x) 在点 P(t, f (t)) 处的切线方程为 y 
f (t)(x  t)  f (t) ，
即 y  kx  m ，直线 l 是曲线 y 
f (x) 在点 P(t, f (t)) 处的切线，
综上，“ y  f (x) 在点 P(t, f (t)) 处的切线方程为 y  kx  m ”的充要条件是“ A  {t}”.