2025_2026学年九年级上册数学第一次月考[南京专用 苏科版九年级上册第1章-第2章]

这是一份2025_2026学年九年级上册数学第一次月考[南京专用 苏科版九年级上册第1章-第2章]，共44页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2025-2026 学年九年级数学上学期第一次月考
（考试时间：120 分钟，分值：120 分）
注意事项：
1 ．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，
将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3 ．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4 ．测试范围：苏科版九年级上册第 1 章-第 2 章．
第一部分（选择题 共 12 分）
一、选择题：本题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的．
1 ．将一元二次方程4x2 = 3 +5x 化为一般形式后，常数项为-3 ，则一次项系数是( )
A ．-5 B ．5 C ．4 D ．-4
2 ．如图， △ABC 内接于eO ，连接OB 、OC ，上A = 45° ,则 Ð BOC 的度数为( )
A ．60° B ．75° C ．90° D ．100°
3 ．某品牌衬衣为了促进消费，拟对该品牌衬衣进行降价处理，决定将原价为100 元每件的 该衬衣经过两次降价降为每件81 元，且两次降价的百分比相同．若设每次降价的百分比为 x，则下列所列方程正确的是( )
A ．81(1+ 2x) = 100 B ．100 (1- 2x) = 81
C ．81(1+ x)2 = 100 D ．100 (1- x )2 = 81
4 ．下列说法中，正确的是( )
A ．平分弦的直径垂直于弦
B ．长度相等的弧是等弧
C ．平面上的三个点可以确定一个圆
D ．三角形的内心是三角形三条角平分线的交点
5 ．已知关于 x 的方程mx2 - 3x + 1 = 0有两个实数根，则 m 的取值范围是
A ．m ≤ 且m ≠ 0 B ． 且m ≠ 0
D ．
6．如图，eO 的半径 4，直线 l 与eO 相交于 A，B 两点，点 M，N 在直线 l 的异侧，且是eO 上的两个动点，且上ANB = 135° ,则四边形MANB 的面积的最大值是( )
A ．9 B ．9
C ．18
D ．16
第二部分（非选择题 共 108 分）
二、填空题：本题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分．
7 ．若eO 的半径为8cm ，点 P 到圆心的距离为7cm ，则点 P 与eO 的位置关系是 ．
8 ．若xm+1 + 6x - 7 = 0 是关于x 的一元二次方程，则m 的值是 ．
9 ．底面半径为4 的圆锥的侧面积是28τ ,则圆锥的母线长是 ．
10 ．方程x (x - 3) = 0 的解为 ．
11 ．已知 α , β 是方程x2 - 3x - 4 = 0 的两个实数根，则a2 + aβ - 3a 的值为 ．
12 ．如图，某单位准备在院内一块长30m 、宽 20m 的长方形花园中修两条纵向平行和一条 横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为532m2 ，则小道进出 口的宽度为 m．
13 ．如图，eO 是正五边形ABCDE 的外接圆，连接AD ，则 ÐBAD 的度数为 ．
14．如图，△ABC 内接于圆O ，AC 为圆O 的直径，过点B 的切线交CA 的延长线于点P ．若
上P = 32° ,则 Ð ACB 的度数是
15 ．如图，AB 是半圆O 的直径，点C 为半圆O 上一点．将半圆O 沿BC 翻折，点O 的对应 点O¢ 落在 上，点A 的对应点为D ．若AB = 4 ，则图中阴影部分的面积为 ．
16．“化积为方”是一个古老的几何学问题，即给定一个长方形，作一个和它面积相等的正方 形，这也是证明勾股定理的一种思想方法，如图所示，在矩形ABCD 中（AB > AD ），以AD 为边作正方形ADEF ，在FE 的延长线上取一点 G，使得上DGC = Rt上 ，过点 D 作DH 丄 DG 交AB 于点 H，过点 H 作HK 丄 GC 于点 K．若AF = 2, BF = 3FH ，则 FH 的长为 ．
三、解答题：本题共 11 小题，共 88 分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤．
17 ．解方程：
(1) 2x2 - 7x + 6 = 0 ；
(2)4x (2x - 3) = 3 - 2x ．
18 ．如图，OA = OB ，AB 交eO 于点 C，D ，OE 是半径，且OE 丄 AB 于点 F．
(1)求证：AC = BD ．
(2)若CD = 8，EF = 2 ，求eO 的半径．
19 ．已知关于 x 的方程x2 + (m + 3)x + 3m = 0 ．
(1)若该方程的一个根为x =1 ，求 m 的值；
(2)求证：不论 m 取何实数，该方程总有实数根．
20 ．张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），他在该轮片上画了三个点 A，B，C ．
(1)请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心O ．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接OA，OC ，若圆形轮片的直径为 6 ，圆心角 上AOC = 120° ,求弧 AC 的长．
21 ．如果方程x2 + px + q = 0 的两个根是 x1 ，x2 ，则 x1 + x2 = -p ，x1 . x2 = q ，请根据以上结 论，解决下列问题：
(1)若p = -4 ，q = 3 ，求方程x2 + px + q = 0 的两根．
(2)已知实数 a 、b 满足a2 -15a - 5 = 0 ，b2 -15b - 5 = 0，求 的值；
22．如图，AB 是eO 的直径，点 C 在eO 上，AC Ⅱ OD ，OD 与eO 相交于点 E，与BC 相 交于点 F，CE 平分上BCD ．
(1)求证：CD 是eO 的切线；
(2)若CE = DE = 2 ，求图中阴影部分的面积．
23 ．八年级乒乓球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛 1 场），以下是小 锦和小江对比赛总场数的统计：
(1)若参赛者有 6 人，按赛制共进行了几场比赛？
(2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明；
(3)赛后经查询，小锦的统计正确．因为有一人身体不适，参与 n 场比赛后中途退赛，则 n
的值为__________．
24 ．观察下列一元二次方程，并回答问题：
第 1 个方程：x2 - 3x + 2 = 0 ，方程的两个根分别是 x1 = 1 ，x2 = 2 ；
第 2 个方程：x2 - 5x + 6 = 0，方程的两个根分别是 x1 = 2 ，x2 = 3 ；
第 3 个方程：x2 - 7x +12 = 0；方程的两个根分别是 x1 = 3 ，x2 = 4 ；
第 4 个方程：x2 - 9x + 20 = 0 ；方程的两个根分别是 x1 = 4 ，x2 = 5 ；
……
(1)请按照此规律写出两个根分别是x1 = 8 ，x2 = 9 的一元二次方程 ．
(2)如果关于 x 的一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 有两个实数根，且其中一个根比另一个 根大 1，那么我们称这样的方程为“邻根方程” ．上述各方程都是“邻根方程” ．请通过计算，
判断方程x2 - 5x +1 = 0 是否是“邻根方程”．
(3)已知关于 x 的方程x2 - (m + 4)x + 4m = 0 （m 是常数）是“邻根方程”，且这两个根是某个 直角三角形的两条边，求此三角形第三边的长是多少．
25．第九届亚冬会在我国冰城哈尔滨召开．其吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店 以每件 45 元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件 68 元的价格出售，经统计，2025 年 3 月份的销售量为 256 件，2025 年 5 月份的销售量为 400 件．
(1)设该款吉祥物 2025 年 3 月份到 5 月份销售量的月平均增长率为 x，则根据题意，可列方 程______；
(2)从 5 月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经测试，发现该款吉祥物每降价 1 元，月销售量就会增加 20 件．当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润能达到 8400 元？
26．如图是由小正方形组成的 6×6 网格，每个小正方形的顶点叫做格点，ΘO 经过 A，B，C 三个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图（1）中画弧BC 的中点D；
(2)如图（2），延长 BA 至格点 F 处，连接CF ．
①直接写出 0 时，方程有
两个不相等的实数根；当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；当 Δ < 0 时，方程无实数根．
（1）把 x =1 代入x2 + (m + 3)x + 3m = 0 得出关于 m 的方程，再解关于 m 的方程即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【详解】（1）解：将 x =1 代入原方程可得：
1+ (m + 3) + 3m = 0 ， 解得：m = -1；
（2）解：∵一元二次方程x2 + (m + 3)x + 3m = 0 中，a = 1 ，b = m + 3 ，c = 3m ，
: Δ = b2 - 4ac = (m + 3)2 - 4× 3m = (m - 3)2 ≥ 0 ， :不论 m 取何实数，该方程总有实数根．
20 ．(1)作图见详解
(2)弧AC 的长为2π
【分析】本题主要考查垂直平分线的性质， 弧长的计算方法，掌握垂直平分线的画法，弧长 公式的计算方法是解题的关键．
（1）线段 AB, BC 的垂直平分线的交点即为圆心，根据画线段垂直平分线的方法即可求解；
（2）根据弧长的计算方法 即可求解．
【详解】（1）解：分别以点 A, B 为圆心，以大于为半径画弧交于点M , N ，连接MN；
分别以点B, C 为圆心，以大于BC 为半径画弧交于点P, Q ，连接PQ； 线段MN, PQ 交于点O，如图所示，
:点O 即为所求圆心．
（2）解：根据题意，如图所示，连接OA，OC ，圆形轮片的直径为 6 ，圆心角
上AOC = 120° ,
: OA = OC = 3，
: = = 2π , :弧AC 的长为2π .
21 ．(1) x1 = 3 ，x2 = 1
(2) -47 或 2
【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，根与系数的关系，将根与系数的 关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
（1）根据 p = -4 ，q = 3 ，得出方程x2 - 4x + 3 = 0 ，再求解即可；
（2）根据a 、b 满足a2 -15a - 5 = 0 ，b2 -15b - 5 = 0，得出a ，b 是x2 -15x - 5 = 0 的解，求
a b
出a + b 和ab 的值，即可求出 + 的值．
b a
【详解】（1）解：当 p = -4 ，q = 3 ，则方程为 x2 - 4x + 3 = 0 ，
(x - 3)(x -1) = 0 ， x - 3 = 0 或x -1 = 0 ， : x1 = 3 ，x2 = 1；
（2）解：Q a 、b 满足a2 -15a - 5 = 0 ，b2 -15b - 5 = 0 ， : a 、b 是x2 -15x - 5 = 0 的解，
当a ≠ b 时，a + b = 15 ，ab = -5 ，
当a =b 时，原式= 1+1 = 2 ．
综上， 的值为-47 或 2．
22 ．(1)见解析
【分析】（1）连接OC ，根据圆周角定理得到 上ACB = 90° ,根据平行线的性质得到
上DFC = 上ACB = 90° ,求得 上BCE + 上OEC = 90° ,根据等腰三角形的性质得到
上OEC = 上OCE ，根据角平分线的定义得到上BCE = 上DCE ，根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到上ECD = 上D ，求得CF = BF ，求得上OEC = 上EDC + 上DCE ， 上BCE = 上DCE 根据等边三角形的性质得到 OE = CE ， OF = EF ， 上BOE = 上COE = 60° , 上CEF = 60° , 得到上BOF = 上CEF ，推出 △OFB≌△EFC (ASA ) ，根据扇形和三角形的面积 公式可得到结论．
【详解】（1）证明：连接OC ．
Q AB 是eO 的直径，
:上ACB = 90° .
Q AC Ⅱ OD ，
:上DFC = 上ACB = 90° .
:上BCE + 上OEC = 90° .
Q OE = OC ，
:上OEC = 上OCE ．
Q CE 平分上BCD ，
: 上BCE = 上DCE ．
:上OCD = 上OCE + 上DCE = 上BCE + 上OEC = 90° .
: OC 丄 CD ．
Q OC 是eO 的半径，
: CD 是eO 的切线．
（2）解：Q CE = DE = 2 ， :上ECD = 上D ．
Q上DFC = 90° ,即 OD丄BC， :CF＝BF．
Q 上OEC = 上EDC + 上DCE，上BCE = 上DCE ，
:上BCE + 上OEC = 3上BCE = 90° .
:上BCE = 30° , 上OEC = 60° . :△OEC 是等边三角形．
: OE = CE ，OF = EF ，上BOE = 上COE = 60° .
Q 上OFB = 上EFC ，
:△OFB≌△EFC (ASA ) ．
:S阴影 = S扇形OBE - S△OFB + S△EFC = S扇形OBE = = ．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质， 全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性 质，平行线的性质，等腰三角形性质，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键:
23 ．(1)15
(2)小江说的有道理，理由见详解； (3)4
【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键．
（1）由题意，得 6 个人需比赛的局数为
（2）设有x 人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可 得结论；
（3）设有一人比赛了n 场后退出比赛，由题意 整理并求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得 6 个人需比赛的局数为
答：参赛者有 6 人，按赛制共进行了 15 场比赛；
（2）解：小江说的有道理，理由如下：
设有x 人报名参赛，由题意得 整理得x2 - x - 80 = 0 ， 解得 不为整数，
:方程的解不符合实际，故小江说的有道理；
（3）设有一人比赛了n 场后退出比赛，由题意，
得 整理得x2 - 3x + 2n - 78 = 0 ， 解得 ，
当n = 4 时 是正整数，符合题意 不符合题意，舍去． :共有 10 名参赛者报名本次比赛，n 的值为 4．
故答案为：4．
24 ．(1) x2 -17x + 72 = 0
是“邻根方程”
(3)3 或 5 或 或
【分析】本题考查一元二次方程的新定义题型，勾股定理，解题的关键是熟练运用一元二次 方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，同时解题时注意分类讨论思想的应用．
（1）根据题意观察可知，一元二次方程的两根之和等于一次项系数与二次项系数之比的相 反数，两根之积等于常数项与二次项系数之比，即可写出对应的方程；
（2）根据一元二次方程的解法求出已知方程的两根，在计算两根的差是否为 1，从而确定 方程是否为“邻根方程”；
（3）先利用因式分解法求出一元二次方程对应的两根，由于两根的大小未知，所以应注意 分两种情况求解．
【详解】（1）解：由题意可知：方程的一次项系数为： 常数项为：8 × 9 = ， : b = -17 ，c = 72 ，
所以x1 = 8 ，x2 = 9 对应的一元二次方程为：x2 -17x + 72 = 0 ．
（2）解：∵ x2 - 、x +1 = 0
: x2 - /5x +1 = 0 是“邻根方程”．
（3）解：∵ x2 - (m + 4)x + 4m = 0 ， :(x - 4)(x - m) = 0 ，
: x1 = 4 ，x2 = m，
∵关于 x 的方程x2 - (m + 4)x + 4m = 0 （m 是常数）是“邻根方程”， : 4 - m = 1 或m - 4 = 1，
:解得：m = 3 或m = 5 ，
①当m = 3 时，方程的两个根为x1 = 4 和x2 = 3 ， ∵方程两根为直角三角形的两条边，
若 4 和 3 为两条直角边长时，则此三角形的第三边长为： ·、= 5 ；
若 3 为直角边长，4 为斜边长时，则此三角形的第三边长为： ②当m = 5 时，方程的两个根为x1 = 4 和x2 = 5 ，
∵方程两根为直角三角形的两条边，
若 4 和 5 为两条直角边长时，则此三角形的第三边长为： 若 4 为直角边长，5 为斜边长时，则此三角形的第三边长为：
综上所述：此三角形的第三边长为 3 或 5 或 或 ．
25 ．(1) 256(1+ x)2 = 400
(2)应降价 8 元
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键：
（1）根据平均增长率的等量关系 a (1+ x)2 = b ，列出方程进行求解即可；
（2）设应降价 m 元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，可列方程为：256 (1+ x)2 = 400 ；
（2）设应降价 m 元，由题意，得：(68 - m - 45)(400 + 20m) = 8400 ， 整理，得：m2 - 3m - 40 = 0 ，
解得：m = 8 或m = -5 （舍去）；
答：应降价 8 元．
26 ．(1)作图见解析
(2)①45°
②作图见解析，理由见解析
【分析】对于（1），先取 BC 的中点，连接OT ，延长 OT 交eO 于点 D，根据垂径定理可得 点 D 是的中点；
对于（2），①先证明△BCF 是等腰直角三角形，即可得出答案；
②取点 M，连接CM ，延长 BP 交eO 于点 K，作直径 KJ ，连接BJ 并交CM 于点 Q，线段 BQ 即为所求作.
【详解】（1）解：如图所示；
: BC = BF, BC2 + BF2 = CF2 ， : △BCF 是等腰直角三角形， : 上F = 45° .
故答案为：45；
②取点 M，连接CM ，延长 BP 交ΘO 于点 K，作直径 KJ ，连接BJ 并交CM 于点 Q，线段 BQ 即为所求作.如图所示.
理由如下：取CF 的中点 N，连接 BN, BM ，则 CM = CN = BN = BM = ·、 ，结合
上BCF = 45° ,可得四边形CMBN 是正方形， : 上MBN = 上M = 上CNB = 上PNB = 90° .
:直径KJ ，
: 上QBP = 90° ,
: 上MBQ = 上NBP = 90° - 上QBN ， : △BMQ≌△BNP ，
:BQ = BP ，
:将PB 绕点 B 旋转90° 得到QB .
【点睛】本题主要考查了尺规作图， 垂径定理，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形 的性质和判定，勾股定理是求线段长的常用方法，应该熟练掌握.
27 ．[变式探究]点C 的运动路径是以E 为圆心，5 为半径的圆；
[结论应用]10τ ;
[拓展应用
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质， 确定圆的条件等知识，解决问题的关键是应
用[问题再现]的方法，作出辅助线．
[变式探究]作OE 丄 OA ，截取 OE = BC = 3 ，可推出四边形 BCEO 是平行四边形，从而 EC = OB = 5 ，从而得出点C 的运动路径是以E 为圆心，5 为半径的圆；
[结论应用]在OE 上截取EF = CD = 1，连接FD ，可得DF = CE = 5 ，点 D 运动路径是以F 为圆心，5 为半径的圆，进而得出结果；
[拓展应用]作OA 丄 AD ，截取OA = EF = 2 ，可得出点G 在以OA 上的点为圆心，3 为半径色 圆上运动，连接CO ，并延长，交ΘO 于点G¢ ,连接 AC ，交ΘA 于G¢¢ ,
此时CG¢ 最大，CG ¢¢ 最小，进一步得出结果．
【详解】解：[变式探究]如图1，
作OE 丄 OA ，截取 OE = BC = 3 ， Q BC 丄 OA ，
:OE Ⅱ BC ，
: 四边形BCEO 是平行四边形，
:EC = OB = 5 ，
: 点C 的运动路径是以E 为圆心，5 为半径的圆； [结论应用]如图1，
在OE 上截取EF = CD = 1，连接FD ，
同理可得DF = CE = 5 ，点C 运动路径是以E 为圆心，5 为半径的圆， 因为2τr = 10τ ,
故答案为：10τ ; [拓展应用]如图2 ，
作OA 丄 AD ，截取OA = EF = 2 ， 由上可知：OF = AE = 3 ，
: 点G 在以OA 上的点为圆心，3 为半径的圆上运动，
连接CO ，并延长，交ΘO 于点G¢ ,连接 AC ，交ΘA 于G¢¢ , 此时CG¢ 最大，CG ¢¢ 最小，
在Rt△BOC 中，BC = 5 ，OB = AB + OA = 5 ，
在Rt△ABC 中，BC = 5 ，AB = 3
故答案为 ，