2025-2026学年上海市嘉定一中高二（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市嘉定一中高二（上）开学数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设P1、P2、P3、P4为空间中的四个不同点，则“P1、P2、P3、P4中有三点在同一直线上”是“P1、P2、P3、P4在同一个平面上”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2.下列说法中正确的是( )
A. 已知a=(1,−3),b=(2,−6)，则a与b可以作为平面内所有向量的一组基底
B. 若两非零向量a、b满足a与b共线，则a在b方向上的投影为|a|
C. 若两非零向量a、b满足|a+b|=|a−b|，则a⊥b
D. 平面直角坐标系中，A(1,1)、B(4,2)、C(5,0)，则△ABC为锐角三角形
3.设M=i+i2+i3+⋯+i2005，N=i⋅i2⋅i3⋯i2005，i为虚数单位，则M与N的关系是( )
A. M+N=0B. MND. M=N
4.如图所示，半径为1的圆O始终内切于直角梯形ABCD，则当AD的长度增加时，以下结论：①OA⋅OD越来越小；②|OA+OB+OC+OD|保持不变.它们成立的情况是( )
A. ①②都正确
B. ①②都错误
C. ①正确，②错误
D. ①错误，②正确
二、填空题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
5.|(3−4i)4|=______．
6.函数f(x)=sin2x−cs2x的最小正周期是______．
7.已知A(1,1)，B(4,0)，点P在线段AB延长线上，且|AP|=2|PB|，则点P的坐标为______．
8.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，若AB=BC=1，AA1= 2，则点A到平面A1BD1距离为 ．
9.如图，在棱长为1的正方体中，E是棱A1B1的中点，则CE与平面AA1B1B所成角为______(用反三角函数表示)．
10.已知P是边长为1的正六边形ABCDEF的边上的任意一点，则AP⋅AB的取值范围是______．
11.已知异面直线a，b所成角为70°，过空间定点P与a，b成55°角的直线共有______条.
12.若存在区间[a,b](a，b∈R)使得函数f(x)=sinx−12在此区间上仅有两个零点，则b−a的取值范围是______．
13.函数y=sin2x+2csx在区间[−2π3,a]上的值域为[−14,2]，则a的取值范围是 ．
14.设z1、z2、z3在复平面上对应的点分别为A、B、C，z=32(1+ 3i)，若|z1|=1，z2=z1z，z3=z2z，则四边形OABC的面积为______．
三、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题14分)
已知复数z满足z(1+i)=2i，O为坐标原点，复数z在复平面内对应的向量为OZ．
(1)求|z+3−4i|；
(2)若向量OZ绕O逆时针旋转π2得到OZ′,OZ′对应的复数为z′，求z⋅z′．
16.(本小题14分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M、N分别为A1B、AC的中点．
(1)证明：MN//平面BCC1B1；
(2)求A1B与平面A1B1CD所成角的大小．
17.(本小题14分)
市政部门要在一条道路路边安装路灯，如图所示截面中，要求灯柱AB与地面AD垂直，灯杆为线段BC，∠ABC=2π3，路灯C采用锥形灯罩，射出光线范围为∠ACD=π3，A、B、C、D在同一平面内，路宽AD=24米，设∠BAC=θ(π12≤θ≤π6).
(1)求灯柱AB的高ℎ=ℎ(θ)；
(2)市政部门应该如何设置θ的值才能使路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？(结果精确到0.01)
18.(本小题18分)
已知等边三角形ABC的边长为2，P为三角形ABC所在平面上一点．
(1)若PC=−(PA+PB)，求△PAB的面积；
(2)若PB⋅PC=0，求|PB|+|PC|的最大值；
(3)求2PA⋅PB+PA⋅PC的最小值．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：设P1、P2、P3、P4为空间中的四个不同点，
则“P1、P2、P3、P4中有三点在同一条直线上”⇒“P1、P2、P3、P4在同一个平面上”，
“P1、P2、P3、P4在同一个平面上”知“P1、P2、P3、P4中可以任意三点不在同一条直线上”，
∴“P1、P2、P3、P4中有三点在同一条直线上”是“P1、P2、P3、P4在同一个平面上”的充分非必要条件．
故选：A．
“P1、P2、P3、P4中有三点在同一条直线上”⇒“P1、P2、P3、P4在同一个平面上”，“P1、P2、P3、P4在同一个平面上”知“P1、P2、P3、P4中可以任意三点不在同一条直线上”，由此能求出结果．
本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查空间中四点共面等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：对于A，因为b=2a，所以两个向量平行，因此a，b不能作为一组基地，故A错误；
对于B，设θ为向量a与b的夹角，则a在b方向上的投影为：a⋅b|b|=|a|csθ，
当a与b反向时，csθ=1，则|a|csθ=−|a|，故B错误；
对于C，因为|a+b|=|a−b|，则|a+b|2=|a−b|2，
所以a2+b2+2a⋅b=a2+b2−2a⋅b，整理可得a⋅b=0，即a⊥b，故C正确；
对于D，因为BA=(−3,−1)，BC=(1,−2)，所以cs∠ABC=BA⋅BC|BA|⋅|BC|=−3+2 9+1× 1+41,n>1)，
则CD所在直线方程为y−02−0=x−mn−m，即2x+(m−n)y−2m=0，
由题意，|2+m−n−2m| (m−n)2+4=1，整理得m+n−mn=0(m,n>1)，
OA=(−1,1)，OB=(−1,−1)，OC=(m−1,−1)，OD=(n−1,1)，
∴OA⋅OD=2−n，当AD的长度增加时，n增大，则OA⋅OD越来越小，故①正确；
OA+OB+OC+OD=(m+n−4,0)，
|OA+OB+OC+OD|= (m+n−4)2=|m+n−4|=|mn−4|，
当AD的长度增加时，n增大，|mn−4|是变化的，故②错误．
故选：C．
以B为坐标原点，分别以BC、BA所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系，求出B、A、O的坐标，设出C与D的坐标，得到CD所在直线方程，由O到CD的距离为1可得m与n的关系，然后分析两个命题得结论．
本题考查平面向量数量积的运算，考查向量模的求法，考查运算求解能力，是中档题．
5.【答案】625
【解析】解：由|(3−4i)4|=(|3−4i|)4=( 32+42)4=625．
故答案为：625．
根据已知条件，运用复数模的公式，即可求解．
本题考查了复数模的计算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
6.【答案】π
【解析】解：∵f(x)=sin2x−cs2x=−cs2x，
∴由三角函数的周期性及其求法可得：最小正周期T=2π2=π，
故答案为：π．
由二倍角的余弦公式化简函数解析式后，根据三角函数的周期性及其求法即可得解．
本题主要考查了二倍角的余弦公式，三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．
7.【答案】(7,−1)
【解析】解：因为|AP|=2|PB|，点P在线段AB的延长线上，所以点B为AP中点，
设点P(x,y)，
A(1,1)，B(4,0)，
则x+12=4y+12=0，解得x=7y=−1，所以点P的坐标为(7,−1)．
故答案为：(7,−1)．
根据已知条件及中点坐标公式即可求解．
本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
8.【答案】 63
【解析】【分析】
本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是较易题．
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点A到平面A1BD1距离．
【解答】
解：、以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
A(1,0,0)，A1(1,0, 2)，B(1,1,0)，D1(0,0, 2)，
BA1=(0,−1, 2)，BD1=(−1,−1, 2)，BA=(0,−1,0)，
设平面A1BD1的法向量n=(x,y,z)，
则n⋅BA1=−y+ 2z=0n⋅BD1=−x−y+ 2z=0，
取z=1，得n=(0, 2,1)，
∴点A到平面A1BD1距离：
d=|n⋅BA||n|= 2 3= 63．
故答案为： 63．
9.【答案】arctan2 55
【解析】解：由题意如图所示：
连接EB，因为ABCD−A1B1C1D1是正方体，
所以BC⊥平面AA1B1B，BE⊂平面AA1B1B，
所以BC⊥BE，
所以∠CEB是直线CE与平面AA1B1B所成的角，
由题意，得EB1=12A1B1=12，BB1=1，
所以BE= BB12+B1E2= 1+14= 52，
可得tan∠CEB=BCBE=1 52=2 55，
所以直线CE与平面AA1B1B所成角的大小是arctan2 55．
故答案为：arctan2 55．
先根据正方体特征得出BC⊥平面AA1B1B，再根据线面角定义得出∠CEB是直线CE与平面AA1B1B所成的角，最后计算边长计算正切即可求解．
本题考查线面所成的角的求法，线面垂直的性质定理的应用，属于中档题．
10.【答案】[−12,32]
【解析】解：如图，正六边形ABCDEF，AC=AE= 3,AD=2,∠BAC=30°,∠BAD=60°,∠BAE=90°，
AB⋅BC=cs60°=12，AB⋅CD=AB⋅EF=cs120°=−12，AB⋅AC= 3cs30°=32，AB⋅AD=2cs60°=1，
点P在线段AB上时，AP=λAB,0≤λ≤1，AP⋅AB=λAB2=λ∈[0,1]，
当点P在线段AF(不含点A)上时，AP=xAF,0