广西壮族自治区钦州市第四中学2025-2026学年高一上学期开学考试数学试卷

这是一份广西壮族自治区钦州市第四中学2025-2026学年高一上学期开学考试数学试卷，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，
四答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。四答非选择题时,将答案写在签题卡上。写在本试卷上无效。
考试结来后,.将本试卷和答题卡一并交回
一、单选题(共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
已知集合 A  {x | 1  x  3}, B  {x | x  0, x  Z}，则 A ∩ B  （）
A．x | 1  x  0
B．0,1, 2, 3
C．x | 0  x  3
D．1, 0
有15 人参加篮球､乒乓球､羽毛球训练，参加篮球训练的有6 人，参加乒乓球训练的有9 人，参加羽毛球训练的有10
人，其中只参加2 种球类训练的有6 人，则3 种球类训练都参加的人数为（ ）
A． 2B． 4C．1D． 3
已知集合M  x x  2k 1, k  Z ， N  x x  4k 1, k  Z ，则整数集Z 可以表示为（ ）
M  N
ðZ M  ∪ N
ðZ N  ∪ M
ðZ M  ∩ ðZ N 

已知集合 A  {x  Z | x  2}， B  x x 

a b  2
, a, b  A ，则集合 B 中的元素个数为（ ）


A．5B．6C．7D．8
已知集合 A  N ，则ðN A  （ ）
A．0B．0
C． D． A
已知全集U  Z ，集合 A  {x |  x  2 x  3  0}， B  1, 3, 4, 5 ，则ðU  A  B  （ ）
x | x  2 或 x  3, x  ZB．{x | x  3, x  Z} C．x | x  1或 x  5, x  Z
D．{x |1  x  5, x  Z}
已知集合 A  {x | 1  x  2} ， B  m 1, m，且 A  B 的元素个数为 2，则实数m 的取值范围为（ ）
A．1,1
B． 0, 2
C． 1, 2
D． 0, 2
设集合 A  {x  N∣1  x  2} ，则A 的真子集的个数是（ ）
A．8B．7C．4D．3
二、多选题(共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
已知集合 A  x ax  x 1, a  R ， B  x x2  x  56  0，若 A  B ，则实数a 的值可以是（ ）
A． 8
7
B． 7
8
C．0D．1
下列选项不正确的是（ ）
集合x  N | x3  x用列举法表示为0 ,1, 1
空集是任何集合的子集
任何集合至少有两个子集D．满足方程组 x  y  0 的点集为x   1 , y  1 
x  y  1
22 

集合a, b 的真子集是a,b
{x | x是菱形}  {x | x是平行四边形}
设a, b  R, A  1, a, B  1, b，若 A  B ，则a  b  2D． x x2 1  0
第 II 卷（非选择题）
三、填空题 (共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
向 50 名学生调查对 A、B 两事件的态度，有如下结果：赞成 A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成 B的比赞成 A 的多 3 人，其余的不赞成；另外，对 A，B 都不赞成的学生数比对 A，B 都赞成的学生数的三分之一多 1 人，问对 A，B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有 人．
设集合 A  2, 3, a2  2a  3, B  0, 3, C  2, a .若 B  A, A  C  2 ，则a  .
若 A  0,1,2,3， B  0，并有以下 7 个关系式：
① B  A ；② A  A ；③ B  A ；④ 0  A ；⑤  B ；⑥   ；⑦  
其中正确的有（填序号）．
四、解答题(共 5 小题，共 77 分)
已知集合 A  {x|m 1  x  m}， B  {x| 1  x  2}.
当m  1时，求 A ∪ B ；
在① A ∪ B  B ；② A ∩ B   这两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若选，求实数m 的取值范围.
已知集合 An   x1 , x2 ,L, xn  xi 1,1i  1, 2,L, n，x、 y  An , x   x1 , x2 ,L, xn , y   y1 , y2 ,L, yn  ，其中
xi、yi 1,1i  1, 2,L, n ．定义 x e y  x1 y1  x2 y2 L xn yn ，若 x e y  0 ，则称 x 与 y 正交．
若 x  1,1,1,1 ，写出 A4 中与 x 正交的所有元素；
令 B  x e y | x, y  An  ，若m B ，证明： m  n 为偶数；
若 A  An ，且 A 中任意两个元素均正交，当n  14 时，A 中最多可以有多少个元素.
设全集 U=R,已知集合 A  {x∣ 2  x  1}，集合 B  x∣2a 1  x  a 1 ．
当a  0 时，求ðU A  B ；
若 A ∩ B   ，求实数a 的取值范围．
已知集合 A  x 1  x  3 ，集合 B  x m  2  x  m  2, x  R ．
若 A  B  x 0  x  3 ，求实数 m 的值；
若 A  ðR B ，求实数 m 的取值范围．
已知集合 S  {0 ，1，2， ， 5n}(n  N*) ，集合T  S ，记T 的元素个数为| T |．若集合T 中存在三个元素 a ， b ，
c(a  b  c) ，使得c  2a  3b ，则称T 为“理想集”．
若n  1 ，分别判断集合T1  {0 ，2，3， 5}， T2  {0 ，1，2， 5} 是否为“理想集”，并说明理由；
若n  1 ，写出所有的“理想集” T 的个数并列举；
若| T | 4n  2 ，证明：集合 T 必为“理想集”．
参考答案
12．21 和 8
13． 1
14．①②③④⑥⑦.
15．(1)x 1  x  2；
（2）若选择① A ∪ B  B ，则 A  B ， 因为? = {?|?−1 ≤ ? ≤ ?}，所以 A   ，又 B  x 1  x  2，
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
C
C
B
C
D
D
ABD
ACD
题号
11
答案
BCD
m 1  1

所以m  2
，解得0  m  2 ，
所以实数m 的取值范围是m 0  m  2
若选择②， A ∩ B  ,
因为? = {?|?−1 ≤ ? ≤ ?}，所以 A   ，又 B  x∣1  x  2 ，
所以m 1  2 或m  1，解得m  3 或m  1，所以实数m 的取值范围是{?|? > 3或? < −1}.
16．（1）设 y   y1 , y2 , y3 , y4  A4 ，且 yi 1,1i  1, 2, 3, 4 ，若 x 与 y 正交，则 x e y   y1  y2  y3  y4  0 ，
?1 = 1
可得 ?2 = 1 或
?3 = −1
?4 = 1
?1 = 1
?2 = 1 或
?3 = 1
?4 = −1
?1 = 1
?2 = −1或
?3 = 1
?4 = 1
?1 = −1
?2 = 1 或
?3 = −1
?4 = −1
?1 = −1
?2 = −1或
?3 = 1
?4 = −1
?1 = −1
?2 = −1；
?3 = −1
?4 = 1
A4 中所有与 x 正交的元素为
1,1, 1,1, 1,1,1, 1, 1, 1,1,1, 1,1, 1, 1, 1, 1,1, 1, 1, 1, 1,1 ．
（2）对于m B ，存在 x   x1 , x2 ,L, xn , xi 1,1，y   y1 , y2 ,L, yn , yi 1,1i  1, 2,L, n ，
使得 x e y  m ．
1, xi  yin
令δi  0, x  y ， k  δi ，
ii
i1
当 xi  yi 时， xi yi  1，当 xi  yi 时， xi yi  1 ．
n
那么m  x e y   xi yi  k  n  k   2k  n ．
i1
所以m  n  2k 为偶数．
3n  14
y1  1,1,,1
（ ）若
时，不妨设
1–2–3
14个


y2   11,–12,–,31,11–,1,2–3,1
7个7个
则 y1 与 y2 正交．
假设a  a1 , a2 ,L, a14 , b  b1 , b2 ,L, b14 , c  c1, c2 ,L, c14  且它们互相正交．设 a，b，c 相应位置数字都相同的共有 k 个，除去这 k 列外．
a，b 相应位置数字都相同的共有 m 个，
b，c 相应位置数字都相同的共有 n 个，
则a e b  m  k  14  m  k   2m  2k 14  0 ．所以m  k  7 ，同理n  k  7 ．
可得n  m ．
由于a e c  m  m  k  14  k  2m  0 ，
可得2m  7, m  7  N* 矛盾．
2
所以除 y1, y2 外任意三个元素都不互相正交．
综上， n  14 时，A 中最多可以有 2 个元素． 17．(1) ðU A  B  {x∣x  2 或 x ³ - 1}
(2) ∞, 31, ∞
18．(1) m  2
(2){m | m  3 或m  5 }
19．（1） T1 不是“理想集”， T2 是“理想集”．
由题意，令a  0 ， b  2 ， c  3 ，则3  2  0  3 2 ；令a  0 ， b  2 ， c  5 ，则5  2  0  3 2 ；
令a  0 ， b  3 ， c  5 ，则5  2  0  3 3 ；
令a  2 ， b  3 ， c  5 ，则5  2  2  3 3 ；所以T1 不是“理想集”．令a  1 ， b  2 ， c  5 ，则5  2 1  3 2 ，所以T2 是“理想集”．
共 16 个“理想集”．
若n  1 ，有S  {0 ，1，2，3，4， 5}．
当| T | 3 时，若a  0 ，则b  1，由c  2a  3b 可知c  3b  3，故(b ， c)  (1， 4) 或(1, 5) ；
若a  1 ，则b  2 ，由c  2a  3b 可知c  2  3b  6 ，则4  c  5 ，故(b ， c)  (2 ， 5) ．
故含有三个元素的“理想集” T  {0 ，1， 4} ，{0 ，1， 5} 或{1 ，2， 5}，共 3 个．
当| T | 4 时， T  {0 ，1，2， 4} ，{0 ，1，3， 4} ，{0 ，1，2， 5}，{0 ，1，3， 5}，{0 ，1，
4， 5}，{1 ，2，3， 5} 或|1，2，4， 5}，共 7 个．
当| T | 5 时， T  {0 ，1，2，3， 4} ，{0 ，1，2，3， 5}，{0 ，1，2，4， 5}，{0 ，1，3，4， 5}，{1 ，2，3，4， 5}，共 5 个．
当| T | 6 时， T  {0 ，1，2，3，4， 5}，共 1 个．
综上所述，所有“理想集” T 的个数为 16 个分别为：{0 ，1， 4} ，{0 ，1， 5}，{1 ，2， 5}，
{0 ，1，2， 4} ，{0 ，1，3， 4} ，{0 ，1，2， 5}，{0 ，1，3， S}，{0 ，1，4， 5}，{1 ，2，
3， 5}，{1 ，2，4， 5}，{0 ，1，2，3， 4} ，{0 ，1，2，3， 5}，{0 ，1，2，4， 5}，{0 ，1，
3，4， 5}，{1 ，2，3，4， 5}，{0 ，1，2，3，4， 5}．
证明：若| T | 4n  2 ，记T  {x ， x ， ， x
} 且0  x  x
L  x
 5n ．
124n2124n2
利用反证法，假设对于T 中任意三个元素a ， b ， c(a  b  c) ，均有c  2a  3b ，则3xi1  x4n2  2xi ， i  1 ，2， ， 4n ．
记 y  x x  0 ，于是 y
 2 y ，则 y
 2 y
22
2
( ) y
() yL  4n，
i4n2i
i13 i
4n1
3 4n
34n131
因此1  y
 2 4n
 x ) 
16 nn  0)  (80)n  1，矛盾．
4n1
( 3) (x4n21
() (5
8181
故集合T 必为“理想集”．