（人教A版）选择性必修一高二数学上册期末培优练习 专题03 数列的通项公式（2份，原卷版+解析版）

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题型1：观察法
题型2：叠加法
题型3：叠乘法
题型4：待定系数法
题型5：同除以指数
题型6：取倒数法
题型7：已知通项公式与前项的和关系求通项问题
题型8：周期数列
题型9：前n项积型
题型10：因式分解型求通项
【题型预测】
类型Ⅰ观察法：
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．
类型Ⅱ公式法：
若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解．
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．
类型Ⅲ累加法：
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相加，可得：
= 1 \* GB3 ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
= 2 \* GB3 ②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
= 3 \* GB3 ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；
= 4 \* GB3 ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．
类型Ⅳ累乘法：
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
类型Ⅴ构造数列法：
㈠形如（其中均为常数且）型的递推式：
（1）若时，数列{}为等差数列；
（2）若时，数列{}为等比数列；
（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：
法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出
㈡形如型的递推式：
⑴当为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出
⑵当为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出
法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．
⑶当为任意数列时，可用通法：
在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得．
类型Ⅵ对数变换法：
形如型的递推式：
在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）．
类型Ⅶ倒数变换法：
形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；
还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．
类型Ⅷ形如型的递推式：
用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
【典例例题】
题型1：观察法
例1．，，，，，的一个通项公式是__________．
【答案】
【解析】经观察得出：数列为：，，，，，
数列的一个通项公式为，故答案为：
例2．数列1，3，7，15，…的一个可能的通项公式为=_____
【答案】，
【解析】各项都加1后为2，4，8，16，…，因此一个可能的通项公式为=.
故答案为:
例3．将正奇数排列如下表，其中第i行第j个数表示，例如，若，则______．
【答案】67
【解析】每行最后一个数的排列为1,5,11,19,29，第行最后一个数的通项公式为，
其中，，所以位于第行，且，所以位于第行，第22列，所以.
故答案为：67
变式1．2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．
若第1个图形中的三角形的边长为2，则第4个图形的周长为______．
【答案】
【解析】记第个图形为，三角形边长为，边数，周长为，则
有条边，边长；有条边，边长；有条边，边长；
分析可知，即；，即，当第1个图形中的三角形的边长为2，时，即，，所以，则第4个图形的周长为.
故答案为：.
变式2．猜想数列，，，，，，…的通项公式___________.
【答案】
【解析】数列，，，，，，…的分子是相应项序号的平方，偶数项为负，奇数项为正，分母是以3为首项的奇数列，所以数列，，，，，，…的通项公式.
故答案为：.
题型2：叠加法
例4．若数列满足且，则数列的第100项为（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】B
【解析】由题意，因为，所以， ，，以上99个式子累加得， ．故选：B．
例6．数列满足，且，则( )
A．－1B．20C．21D．22
【答案】B
【解析】根据题意，数列满足，且，
变形可得，则有，
则，故；故选：B．
变式3．在数列中，，，则（ ）
A．959B．967C．977D．997
【答案】C
【解析】因为，，所以
，
所以
.故选： C.
题型3：叠乘法
例7．设数列的前n项和为，且为常数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为数列是常数列，所以，因为，
所以，即，所以当时，时也满足上式，所以.
故选：B
例8．已知数列满足，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵，，，∴，，
∴数列是首项为，公比为4的等比数列，∴．
当时，，
∵n＝1时，，∴．，
∴当n＝3或n＝4时，取得最小值，最小值为.故选:D
例9．已知数列满足，(，)，则数列的通项（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】数列满足，，整理得，，，，
所有的项相乘得：，整理得：，故选：．
变式5．已知中，，，则数列的通项公式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，可得：，又∵，∴时
，满足上式，∴．故选：B.
变式6．已知数列的前项和为，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当时，则且，即，所以.
两式作差得，即，即，
所以，即.则.
所以.故选：A.
题型4：待定系数法
例12．已知数列中，，，，求（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，则，
∴，解得或，当，时，，
∴是以首项为，公比为的等比数列，∴，
∴，.
当，时,，
∴是以首项为，公比为的等比数列，∴，
设，解得，∴是首项为，公比为的等比数列，
∴，∴，故选：A.
变式7．数列满足，前项和为，，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵，，∴当时，解得；
由，当时，作差得，所以，
故数列是以3为首项，以2为公比的等比数列，∴，
∴，∴数列是以为首项，以为公差的等差数列，
∴，∴，∴；故选：A.
题型5：同除以指数
例13．已知在数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解:因为，，所以，整理得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．所以，解得．故选：A
例15．在数列中，，，则的值为( )
A．B．C．D．无法确定
【答案】A
【解析】∵，，∴，解得.
∵，∴，两式相减得，，∴，
∴是以＝3为首项，2为公比的等比数列，
∴，两边同除以，则，
∴是以为公差，为首项的等差数列，∴，
∴，∴.故选：A.
题型6：取倒数法
例16．已知数列满足，且，则数列__________
【答案】
【解析】由两边取倒数可得，即
所以数列是等差数列，且首项为，公差为，所以，所以；
故答案为：
例17．数列满足，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．是等比数列
C．D．
【答案】D
【解析】由，且，则，，，以此类推可知，对任意的，，所以，，所以，且，所以，数列是等差数列，且该数列的首项为，公差为，所以，，则，其中，C对；
，所以，数列是等比数列，B对；由等差中项的性质可得，A对；
由上可知，则，，所以，，D错.
故选：D.
例18．已知数列满足，，，则满足的n的最大取值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【解析】因为，所以，所以，又，数列是以1为首项，4为公差的等差数列．所以，所以，由，即，即，解得，因为为正整数，所以的最大值为；故选：C
题型7：已知通项公式与前项的和关系求通项问题
例19．已知数列满足：．
(1)求数列的通项公式；
(2)，数列的前项和为．对恒有成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）当时，，，
当时，满足上式．；
（2）由（1）可得，，
对恒有成立，，
令，则，
令得∴，即数列的最大项是，∴．
例20．设数列的前n项和为，已知，，成等差数列，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，的前n项和为，若对任意正整数n，不等式恒成立，求的最小值.
【解析】（1）因为，，成等差数列，所以，即，
当时，，即，由，得，
所以数列是以为公比的等比数列，
则，即，所以，所以；
（2），
则，
因为恒成立，所以，所以的最小值.
例21．已知有一系列双曲线：，其中，，记第条双曲线的离心率为，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：.
【解析】（1）因为，
当时，，解得；当时，，
两式相减，可得，
所以，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列，所以.
由题意，得，所以.
（2）所以，
故
，得证.
变式9．已知数列的前项和为，满足：，
(1)求数列的通项公式；
(2)对于正整数，已知三数构成等差数列，求正整数的值.
【解析】（1）变形为①，
当时，②，①－②得：，
由于在分母上，故，所以，整理得：，
因为，所以，即，
所以为等差数列，首项为，设公差为，
当时，，即，解得：，
所以，经验证，满足要求；
（2）由题意得成等差数列，故，
因为且为正整数，所以，其中为正整数，
因为，而，故只有时，才成立，
此时，由于为正整数，所以.
变式10．已知数列的前n项和为,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,数列的前n项和为,若存在且,使得成立,求实数的最小值.
【解析】（1）解:由题知,得,则,
当时,由得,上述两式相减得,即,
则且, 可得数列是以1为首项,3为公比的等比数列,
故数列的通项公式为.
（2）由(1)知,则,
,
两式相减得,
于是得, 当且时,由,得,
令,且,则,且,即,
则当且时,数列是单调递增数列,即,因此,
所以实数的最小值是3.
变式11．为数列的前n项和，已知记数列的前n项和为．
(1)求数列{an}的通项公式
(2)求:
(3)若对于任意的恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1），，可得，解得；
可得，又，相减可得，
则，
可得，则是首项为3，公差d=2的等差数列，即有；
（2）数列的前项和为，
由，可得
（3）对于任意的，恒成立，即为恒成立，
由，当且仅当时取得等号，的最小值为162，
则，即的取值范围为．
题型8：周期数列
例23．在数列中，已知，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】因 所以，
，，
，，
且 的值以4为周期循环出现，所以数列是以4为周期的数列，
.故选：B
变式12．已知数列满足，则的前10项的和为（ ）
A．B．6C．5D．
【答案】D
【解析】由题可知，又的周期，且，故该列数列的前10项的和为.故选：D.
变式13．在数列中，，，则等于（ ）．
A．B．C．D．2
【答案】C
【解析】由，可得：，
故数列为周期性数列，每3项为一循环，而 ，故，故选：C
变式14．在数列中，，，，，则（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】A
【解析】由，得，两式相除可得，所以数列是以6为周期的周期数列，
又，所以．故选：A．
变式16．若数列满足，，则数列中的项的值不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】数列满足，，依次取代入计算得，，，，，因此继续下去会循环，数列是周期为4的周期数列，所有可能取值为：.故选：D.
题型9：前n项积型
例25．已知数列的各项均不为0，其前项的乘积.
(1)若为常数列，求这个常数；
(2)若，设，求数列的通项公式.
【解析】（1）已知，当时，有，
因为为常数列，所以故这个常数为2.
（2）已知，
所以当时，，
两边同时取对数，则，
当时，，，
因此的首项为1，且从第二项开始，是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，所以所以数列的通项公式为.
变式17．数列的前n项积.数列的前n项和.
(1)求数列、的通项公式.
(2)求数列的前n项和.
【解析】（1）前n项积为，
①n＝1时，，
②时，，，
符合上式，∴，，.的前n项和为，
①n＝1时，，
②时，，，符合上式，∴，；
（2）
记前n项和为
①
②
①－②得
∴，
变式18．记数列{an}的前n项积为Tn，且．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和Sn．
【解析】（1）证明：因为为数列的前项积，所以可得，
因为，所以，即，所以，
又，所以，故是以4为首项，2为公比的等比数列；
（2）由（1）得：，所以，则
设① ②
则①-②得：则
所以的前n项和
变式19．已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，数列的前项之积为，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，若数列的前项和，证明：．
【解析】（1）设等比数列的公比为， ,
∵，，成等差数列，∴，∴，
化为：，，解得．
又满足，∴，即，解得,∴，
∵数列的前项之积为，∴，∴，
即，∴是以2为公差的等差数列．
又，即，所以
（2）,所以数列的前项和
证明：，
，则，又，随着n的增大而增大，故所以．
题型10：因式分解型求通项
例29．已知正项数列满足，设．
（1）求，；
（2）判断数列是否为等差数列，并说明理由；
（3）的通项公式，并求其前项和为．
【解析】解：（1），，，可得，
则，数列为首项为1，公比为2的等比数列，可得；
，，；
（2）数列为等差数列，理由：，则数列为首项为0，公差为1的等差数列；
（3），前项和为．
例30．已知正项数列满足且
（Ⅰ）证明数列为等差数列；
（Ⅱ）若记，求数列的前项和．
【解析】证明：由，
变形得：，
由于为正项数列，，
利用累乘法得：从而得知：数列是以2为首项，以2为公差的等差数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：，
从而．