四川省内江市第一中学2025-2026学年高一上学期开学考试数学试卷

这是一份四川省内江市第一中学2025-2026学年高一上学期开学考试数学试卷，共20页。试卷主要包含了0000084m，将数，4×106B．8，5h 范围内），5②1，3°，7°等内容，欢迎下载使用。
下列各对数是互为倒数的是（）
11
3
A．1 和﹣1B．﹣3 和C．﹣2 和−
2
D．0 和 0
“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为 0.0000084m，将数
4．如图，由若干个小正方体组成的一个几何体，从它的正面看得到的平面图形是（）
A．B．C．D． 5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A． B． C． D．
6．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 M，下列结论不一定成立的是（）
A．CM＝DMB．?? = ??C．△OCM≌△ODM D．OM＝MB
7．函数? = 3−?中自变量 x 的值可以是（）
据 0.0000084 用科学记数法表示为（
）
A．8.4×106B．8.4×10﹣6
C．84×10﹣7D．8.4×10﹣5
3．下列计算正确的是（）
A．a2+2a2＝3a4
B．a6÷a3＝a2
C．（a2）3＝a5
D．（﹣ab）2＝a2b2
A．3B．4C．5D．6 8．某班四个小组的人数如下：10，10，x，8，已知这组数据的中位数与平均数相等，则 x 的值为（）
A．6B．7C．8D．9 9．观察如图所示的程序，若输入 x 为 2，则输出的结果为（）
A．0B．3C．4D．5
二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③当 x≠1 时，a+b＞ ax2+bx；④a﹣b+c＞0．其中正确的有（）
A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个
如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上．顶点 B 的坐标为（3， 3）点 C
的坐标为（1，0），且∠AOB＝30°，点 P 为斜边 OB 上的一个动点，则 PA+PC 的最小值为（）
2
​
​
D．
3
7
11
如图，在平面直角坐标系中，点 E 是平行四边形 ABCD 内一点，CE∥y 轴，且 CE = 3，DE∥x 轴，
3?
连接 BE 并延长 BE 与 CD 交于点 F，tan∠CEF＝3，△CBE 的面积为2．若反比例函数 y = ?（x＞0）的
图象经过点 B 和点 E，则 k 的值为（）
A．3B．6C．12D．15
二．填空题（每小题 5 分，满分 20 分）
因式分解：2a2b﹣12ab+18b＝ ．
如图，边长为 10 的菱形 ABCD，对角线 AC＝12，分别以点 A，B，C，D 为圆心，5 为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留 π）
2?+3 ?−3
?−1
1+?
15 ． 关 于 x 的 分 式 方 程 1−? −?−1 = 1的 解 满 足 不 等 式 2 +2＞ 3 ， 则 a 的 取 值 范 围
是 ．
．我们把这样的等腰三角形称作
如果一个等腰三角形的顶角为 36°，那么其底边与腰之比等于 5−1
2
黄金三角形．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，△ABC 看作第一个黄金三角形；作∠ABC 的平分线 BD，交 AC 于点 D，△BCD 看作第二个黄金三角形；作∠BCD 的平分线 CE，交 BD 于点 E，
△CDE 看作第三个黄金三角形；…以此类推，第 n 个黄金三角形的腰长是 ．
三．解答题
17．（7 分）计算：2cs30°﹣（
1
2
）﹣2+（π﹣2）0− 12．
18．（9 分）如图，已知 E、F 分别是▱ABCD 的边 BC、AD．上的点，且 CE＝AF．
求证：△ABE≌△CDF；
若 BE＝AE，且∠BAC＝90°，直接判断四边形 AECF 的形状是 ．
19．（9 分）希望中学做了如下表的调查报告（不完整）：
结合调查信息，回答下列问题：
参与本次问卷调查的学生人数 名；在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的
度数为 度；
补全周家务劳动时间的频数分布直方图；
若该校七年级学生共有 800 人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数；
小红和小颖分别从“家政”等五门最喜欢的劳动课程中任选一门学习，请用列表法或画树状图的
调查目
的
了解本校学生：（1）周家务劳动的时间；（2）最喜欢的劳动课程
调查方
式
随机问卷调查随机问卷调直
调查对
象
随机问卷调直部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时间都在 1～3.5h 范围内）
调查内容
你的周家务劳动时间（单位，h）是
①1～1.5②1.5～2③2～2.5④2.5～3⑤3～3.5
你最喜欢的劳动课程是（必选且只选一门）
A．家政 B．烹饪 C．剪纸 D．园艺 E．陶艺
调查结果
方法，求两人恰好选到同一门课程的概率．
课
题
测量茗阳阁的高度
测量方
案
活动小组在距坡底 C 处 20m 的 E 处测得茗阳阁顶 A 的仰角为 α，在坡底 C处测得茗阳阁顶 A 的仰角为 β．B，C，
F 三点在同一直线上．
测量数
据
测量项目
第一次
第二次
平均值
仰角 α 的度数
29.3°
28.7°
29°
仰角 β 的度数
45.3°
44.7°
45°
参考数
据
CE 的坡度 i＝3：4，sin29°≈0.48，cs29°≈0.87，tan29°≈0.55．
20．（9 分）茗阳阁被誉为“中原第一大阁楼”，融合了雕栏飞檐、勾心斗角、斗拱图腾等多样的中国古建筑元素，展现了浓郁的地方古建筑特色，是信阳市的文化与形象象征．某数学课外活动小组开展了“测量茗阳阁的高度”的课题活动，具体方案及数据如表：
求茗阳阁的高度 AB．（结果精确到整数）
21．（10 分）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为 18 元/千克的荔枝，以 28 元/千克
售出时，每天能售出 40 千克．市场调研表明：当售价每降低 1 元/千克时，平均每天能多售出 10 千克．设降价 x 元．
设销售利润为 y，请写出 y 关于 x 的函数关系式．
该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到 480 元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？
四．填空题（满分 24 分，每小题 6 分）
22．（6 分）关于 x 的方程 ax2﹣2ax﹣3＝0 的一个根为 x＝﹣1，则该方程的另一个根是 ．
23．（6 分）如图，平行四边形 ABCD 中，AD＝6，CD＝4，∠ADC＝30°，动点 P 从点 A 出发沿折线 A→ B→C 运动，到达点 C 停止运动．在运动过程中，过点 P 作 PH⊥CD 于点 H，设点 P 的运动路程为 x，
1
BP+PH 记为 y1，y1 的图象与?2 = −2? + ?的图象有 1 个公共点时 m 的取值范围 ．
24．（6 分）如图，在△ABC 中，∠ACB＝60°，角平分线 AD，BE 交于点 M．现给出以下结论：
①∠AMB＝120°；②ME＝MD；③AE+BD＝AB；④点 M 关于 AC 的对称点一定在△ABC 的外接圆上．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
25．（6 分）如图，在▱ABCD 中，?? = ?? = 4 5，???? = 2，点 E 为 BC 边上一点，BE＝6，点 F 是 AB边上的动点， 将△ BEF 沿直线 EF 折叠得到△ GEF ， 若点 G 恰好落在线段 DE 上， 则 AF 的值为 ．
五．解答题（满分 36 分，每小题 12 分）
26．（12 分）小明探究下列问题：商场将单价不同的甲、乙两种糖果混合成什锦糖售卖．若该商场采用以下两种不同方式混合：
方式 1：将质量相等的甲、乙糖果进行混合；方式 2：将总价相等的甲、乙糖果进行混合．哪种混合方式的什锦糖的单价更低？
小明设甲、乙糖果的单价分别为 a、b，用含 a、b 的代数式分别表示两种混合方式的什锦糖的单价请你写出他的解答过程；
为解决问题，小明查阅了资料，发现以下正确结论：
结论 1：若 A﹣B＞0，则 A＞B；若 A﹣B＝0，则 A＝B；若 A﹣B＜0，则 A＜B；
1
结论 2：反比例函数 y = ?的图象上的点的横坐标与纵坐标互为倒数；
?1+?2
?1+?2
结论 3：若 P 的坐标为（x1，y1），Q 的坐标为（x2，y2），则线段 PQ 的中点坐标为（ 2，
小明利用上述结论顺利解决此问题，请你按照他的思路写出解答过程：
①利用结论 1 求解；
②利用结论 2、结论 3 求解．
2）．
27．（12 分）欧几里德，古希腊著名数学家．被称为“几何之父”．他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．
如图 1，设点 P 是已知点，圆 O 是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图：
①连接 OP，作线段 OP 的中点 A；
②以 A 为圆心，以 AO 为半径作圆 A，与圆 O 交于两点 Q 和 R；
③连接 PQ、PR，则 PQ、PR 是圆 O 的切线．
按照上述作图步骤在图 1 中补全图形（保留作图痕迹，痕迹要清晰）；
为了说明上述作图的正确性，需要对其证明，请写出证明“PQ、PR 是圆 O 的切线”的过程；
如图 2，连接 QO 并延长交圆 O 于点 B，连接 BR，已知 BR＝2，圆 O 的半径 r = 5，求 PQ．
28．（12 分）如图，已知直线 y＝2x+2 与抛物线 y＝ax2+bx+c 相交于 A，B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 在 y
轴上，点 C（3，0）在抛物线上．
求该抛物线的表达式．
正方形 OPDE 的顶点 O 为直角坐标系原点，顶点 P 在线段 OC 上，顶点 E 在 y 轴正半轴上，若△
AOB 与△DPC 全等，求点 P 的坐标．
在条件（2）下，点 Q 是线段 CD 上的动点（点 Q 不与点 D 重合），将△PQD 沿 PQ 所在的直线翻折得到△PQD'，连接 CD'，求线段 CD'长度的最小值．
参考答案
一．选择题
二．填空题
解：2a2b﹣12ab+18b
＝2b（a2﹣6a+9）
＝2b（a﹣3）2．
故答案为：2b（a﹣3）2．
解：如图，记对角线 AC 与 BD 交于点 O，
∵菱形 ABCD 中，AB＝12，AC＝16，
∴AO＝6，AC⊥BD，BD＝2BO，
∴BO＝8，
∴BD＝16，
1
∴菱形 ABCD 的面积＝12 × 16 × 2 = 96，
∵∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB＝360°，
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
B
D
B
D
D
A
C
B
C
C
题号
12
答案
C
1
∴四个扇形的面积，是一个以
2
AB 的长为半径的圆，
∴图中阴影部分的面积＝96﹣π×52＝96﹣25π，故答案为：96﹣25π．
2?+3
?−3
1−?
解：解关于 x 的分式方程 1−? −?−1 = 1，得 x = 3 （a≠﹣2），
解不等式，得 x＞﹣7．
2?+3
?−3
?−1
1+?
∵关于 x 的分式方程 1−? −?−1 = 1的解满足不等式
1−?
2 +2＞ 3 ，
∴ 3 ＞−7，
∴a＜22，
∴a 的取值范围是 a＜22 且 a≠﹣2．
解：由题知，
第 1 个黄金三角形的腰为 AB，
所以第 1 个黄金三角形的腰长为 1；第 2 个黄金三角形的腰为 BC，
5−1
??
且=，
??2
，
所以 BC = 5−1
2
即第 2
5−1
个黄金三角形的腰长为；
2
第 3 个黄金三角形的腰围 CD，
5−1
2
??
且?? =，
所以 CD＝（ 5−12
） ，
2
即第 3
2
5−1
个黄金三角形的腰长为（
） ；
2
…，
)
依次类推，第 n 个黄金三角形的腰长为( 5−1 ?−1．
2
)
故答案为：( 5−1 ?−1．
2
三．解答题
3
解：原式＝2 × 3−4+1﹣2
2
3
= 3−4+1﹣2
＝﹣3− 3．
18．（1）证明：连接 AE，CF，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D，
∵CE＝AF，
∴BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
解：∵BE＝AE，
∴∠ABE＝∠BAE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴AE＝EC，
∵△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，AF＝CE，
∴AE＝CF＝AF＝CE，
∴四边形 AECF 是菱形，故答案为：菱形．
19．解：（1）参与本次问卷调查的学生人数为 20÷20%＝100（名）．
35
在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为 360° × 100 = 126°．
故答案为：100；126．
（2）周家条劳动时间是③2～2.5 的人数为 100﹣10﹣20﹣35﹣10＝25（人）．补全周家务劳动时间的频数分布直方图如图所示．
（3）800 ×
100−18−20−24−16
100= 176（人）．
∴估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数约 176 人．
列表如下：
共有 25 种等可能的结果，其中两人恰好选到同一门课程的结果有 5 种，
A
B
C
D
E
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
（A，D）
（A，E）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
（B，D）
（B，E）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
（C，D）
（C，E）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，D）
（D，E）
E
（E，A）
（E，B）
（E，C）
（E，D）
（E，E）
5
∴两人恰好选到同一门课程的概率为
1
= 5．
25
20．解：由题意得 CE＝20m，EF⊥BF．
如图，过点 E 作 DE⊥AB 于点 D，则四边形 DEFB 为矩形．
??3
CE 的坡度? = ?? = 4，
故设 EF＝3a m，CF＝4a m，则 CE＝5a m．
∴5a＝20，解得 a＝4．
∴CF＝4×4＝16m，EF＝3×4＝12m．
设 AB＝x m，β＝45°，∠BAC＝β＝45°．
∴AB＝BC＝x m．
由条件可知 DE＝BF＝（x+16）m，AD＝（x﹣12）m．
??
在 Rt△ADE 中，α＝29°，???29° = ??
∴AD＝DE•tan29°≈0.55（x+16）m．
∴0.55（x+16）＝x﹣12．
解得 x≈46．
答：茗阳阁的高度 AB 约为 46m． 21．解：（1）根据题意可知降价后平均每天可以销售荔枝：（40+10x）千克，
∴y＝（40+10x）（28﹣18﹣x），整理得 y＝﹣10x2+60x+400；
（2）令 y＝480，代入函数得﹣10x2+60x+400＝480，解方程，得 x1＝4，x2＝2，
∵要尽可能地清空库存，
∴x＝4，
此时荔枝定价为 28﹣4＝24（元/千克）．答：应将价格定为 24 元/千克．
四．填空题
解：由题意得，关于 x 的方程 ax2﹣2ax﹣3＝0 有两个根，
∴a≠0，
∵方程 ax2﹣2ax﹣3＝0 的一个根为 x＝﹣1，
∴设方程的另一个根为 m，则：?−1 = −
∴m＝3，
故答案为：3．
解：过点 A 作 AM⊥BC 于点 M，
则 AM＝AB＝2，
则 S 平行四边形ABCD＝AM×BC＝CD×PH，即 2×6＝4×PH，
则 PH＝3，
当点 P 在 AB 上时，
−2?
? = 2，
则 BP＝4﹣x，
则 y1＝4﹣x+3＝7﹣x；当点 P 在 CB 上时，
1
同理可得：y1 = 2x+1，
即 y1 =
−? + 7(0 ≤ ? ≤ 4)
1 ? + 1(4＜? ≤ 10)，
2
当 x＝0 时，y1＝7，当 x＝4 时，y1＝3，当 x＝10 时，y1＝6，根据上述 3 点坐标描点、连线绘制图象如下：
从图象看，函数的最小值为 3（答案不唯一）；
当图象 y2 过（0，7）和（10，6）、（4，3）时，为符合题意的临界点，当图象 y2 过（0，7）时，则 m＝7，
11
直线 k 的表达式为：y = −2（x﹣4）+3 = −2x+5，即 m＝5，
1
当图象 y2 过（10，6）时，则 6 = −2 × 10+m，则 m＝11，
故 7＜m≤11 或 m＝5，
故答案为：7＜m≤11 或 m＝5．
解：如图，
∵∠C＝60°，
∴∠CAB+∠CBA＝120°，
∵AD，BE 分别是∠CAB，∠CBA 的角平分线，
1
∴∠MAB+∠MBA = 2（∠CAB+∠CBA）＝60°，
∴∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝120°，故①正确，
∵∠EMD＝∠AMB＝120°，
∴∠EMD+∠ECD＝180°，
∴C，E，M，D 四点共圆，
∵∠MCE＝∠MCD，
∴?? = ??，
∴EM＝DM，故②正确，
在 AB 上取一点 T，使得 AT＝AE，在△AME 和△AMT 中，
?? = ??
∠??? = ∠???，
?? = ??
∴△AME≌△AMT（SAS），
∴∠AME＝∠AMT＝60°，EM＝MT，
∴∠BMD＝∠BMT＝60°，MT＝MD，在△BMD 和△BMT 中，
?? = ??
∠??? = ∠???，
?? = ??
∴△BMD≌△BMT，
∴BD＝BT，
∴AB＝AT+TB＝AE+BD，故③正确，
∵M，M′关于 AC 对称，
∴∠M′＝∠AMC，
1
∵∠AMC＝90° + 2∠ABC，
∴∠M′与∠ABC 不一定互补，
∴点 M′不一定在△ABC 的外接圆上，故④错误，故答案为：①②③．
解：作 AM⊥BC 于 M，作 DN⊥BC 交 BC 延长线于 N，
∴△ABM、△DCN 都是直角三角形，
∵tanB＝2，
??
∴???? = ?? = 2，
∴AM＝2BM，
∵?? = ?? = 4 5，BM2+AM2＝AB2，即??2 + (2??)2 = (4 5)2，
∴BM＝4，AM＝8，
1
∵?? = 2??，
∴BC＝8，
∴EC＝ME＝2，
∵AB＝CD，BC＝AD＝8，AM＝DN，
??2 + ??2
∴EN＝EC+CN＝EC+BM＝6，DN＝AM＝8，DE == 10，
∴BM＝CN，
∴EN＝EC+CN＝ME+BM＝6，DN＝AM＝8，
??2 + ??2
∴?? =
=
= 10，
62 + 82
分别延长 EF，DA 交于点 P，
由翻折可知，∠BEP＝∠DEP＝∠DPE，
∴DE＝DP＝10，
∴PA＝10﹣8＝2，
∵PD∥BC，
∴△APF∽△BEF，
????21
∴?? = ?? = 6 = 3，
5
11
∴?? = 1+3 × ?? = 4 × 4
故答案为： 5．
五．解答题
= 5．
解：①设按方式 1 混合后单价为 m，按方式 2 混合后单价为 n，
?+?
22??
则 m =
2 ，n = 1 +1 = ?+?，
??
?+? 2??(?+?)2−4??(?−?)2
m﹣n =
−==，
2?+?2(?+?)2(?+?)
∵甲，乙单价不同，
∴a≠b，则（a﹣b）2＞0，又∵2（a+b）＞0，
(?−?)2
∴
2(?+?)
＞0，
即 m﹣n＞0，
∴m＞n，
∴方式 2 将总价相等的甲、乙糖果进行混合的方式的什锦糖的单价更低；
?+?2??
②由①知，m =
??
则有 n = ? ，
2 ，n = ?+?，
∵ab＞0 且为定值，
??
∴n 与 m 的关系可用反比例函数 n = ? 表示，
∵m 为
?+?
2 可看作横坐标为 a、b 两点的中点横坐标，
?+?
?+?
根据反比例函数的性质和中点坐标公式可得，m =
函数的纵坐标 n，
2 对应的线段中点纵坐标大于 m =
所在反比例
2
?+?2??
∴ 2 ＞?+?，
∴方式 2 将总价相等的甲、乙糖果进行混合的方式的什锦糖的单价更低． 27．（1）解：如图 1，
证明：连接 AQ，OQ，AR，OR，如图 2，
∵AQ＝AP＝AO，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴OQ⊥PQ，
∵OQ 是圆 O 半径，
∴PQ 是圆 O 的切线，
同理可得，PR 是圆 O 的切线；
解：连接 QR 交 OP 于点 H，连接 OR，如图 3，
∵PQ、PR 是圆 O 的切线，
∴PQ＝PR，
∵OQ＝OR，
∴PO 是线段 OR 的垂直平分线，
∴HQ＝HR，QR⊥OP，
∵OQ＝OB，BR＝2，
1
∴?? = 2?? = 1，
∵∠PQO＝90°，∠QOP＝∠QOP，
∴△QOH∽△POQ，
∴OQ2＝OH•PO，即（ 5）2＝1×PO，
∴OP＝5；
在 Rt△PQO 中，PQ2+OQ2＝OP2，
∴PQ2+（ 5）2＝52，
解得 PQ＝2 5（负值舍去）．
28．解：在直线 y＝2x+2 中，当 x＝0 时，y＝2，
当 y＝0 时，x＝﹣1，
∴点 A 的坐标为（﹣1，0），点 B 的坐标为（0，2），
把点 A（﹣1，0），点 B（0，2），点 C（3，0）代入 y＝ax2+bx+c，
?−? + ? = 0
? = 2，
9? + 3? + ? = 0
? = − 2
3
解得 ? = 4 ，
3
? = 2
∴抛物线的解析式为 y = −2x2 + 4x+2；
33
①当△AOB≌△DPC 时，AO＝DP，又∵四边形 OPDE 为正方形，
∴DP＝OP＝AO＝1，
此时点 P 的坐标为（1，0），
②当△AOB≌△CPD 时，OB＝DP，又∵四边形 OPDE 为正方形，
∴DP＝OP＝OB＝2，
此时点 P 的坐标为（2，0），
综上，点 P 的坐标为（1，0）或（2，0）；
如图，
点 D′在以点 P 为圆心，DP 为半径的圆上运动，
∴当点 D′′，点 P，点 C 三点共线时，CD′′有最小值，
由（2）可得点 P 的坐标为（1，0）或（2，0），且 C 点坐标为（3，0），
∴CD′′的最小值为 1．