2026中考数学核心考点精讲精训练-考点12二次函数（学生版+名师详解版）

这是一份2026中考数学核心考点精讲精训练-考点12二次函数（学生版+名师详解版），共45页。
二次函数作为初中三大函数考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分。而对于二次函数图象和性质的考查，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面。题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。
【知识清单】
1：二次函数的相关概念（☆☆）
1）二次函数的概念：一般地，形如 y=ax2+bx+c （a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
2）二次函数解析式的三种形式
（1）一般式： y=ax2+bx+c （a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式： y=a（x–h）2+k （a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式： y=a（x–x1）（x–x2） ，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
2：二次函数的图象与性质（☆☆☆）
（1）二次函数图象的翻折与旋转
抛物线y=a(x-h)²+k，绕顶点旋转180°变为：y= -a(x-h)²+k；绕原点旋转180°变为：y= -a(x+h)²-k；
沿x轴翻折变为：y= -a(x-h)²-k；沿y轴翻折变为：y= a(x+h)²+k；
（2）二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．
3：二次函数与各项系数之间的关系（☆☆☆）
1）抛物线开口的方向可确定a的符号：
抛物线开口向上，a＞0；抛物线开口向下，a＜0
2）对称轴可确定b的符号（需结合a的符号）：
对称轴在x轴负半轴，则＜0 ，即ab＞0；对称轴在x轴正半轴，则＞0 ，即ab＜0
3）与y轴交点可确定c的符号：与y轴交点坐标为（0，c），
交于y轴负半轴，则c＜0；交于y轴正半轴，则c＞0
4）特殊函数值符号（以x=1的函数值为例）：
若当x=1时，若对应的函数值y在x轴的上方，则a+b+c＞0；若对应的函数值y在x轴上方，则a+b+c=0；若对应的函数值y在x轴的下方，则a+b+c＜0；
5）其他辅助判定条件：
1）顶点坐标；2）若与x轴交点，，则可确定对称轴为：x=；
3）韦达定理： 具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。
4：二次函数与方程、不等式（☆☆）
1）二次函数与一元二次方程的关系
（1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。
（2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标。
（3）①b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
②b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
③b2–4ac0为例）:
【易错点归纳】
1. 二次函数的辨别中切记保证a≠0，而b，c可以为任意实数（即可为0）；
2. 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须附加一定的自变量x取值范围；
3. 抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关。
【核心考点】
核心考点1.二次函数的相关概念
例1：（2025·山东济宁·校联考三模）以下函数式二次函数的是（ ）
A．B．C． D．
变式1.（2025·山东济南·模拟预测）若是二次函数，则的值等于（ ）
A．B．C．D．或
例2：（2025上·浙江温州·九年级校联考阶段练习）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2025年江苏省泰州市中考数学真题）函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2025·北京·统考二模）如图，某小区有一块三角形绿地，其中．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，使点P，M，N分别在边上．记，图中阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）

A．一次函数关系，二次函数关系B．一次函数关系，反比例函数关系
C．二次函数关系，一次函数关系D．反比例函数关系，二次函数关系
核心考点2.二次函数的图象与性质
例3：（2025年四川省成都市数学中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（ ）

A．抛物线的对称轴为直线B．抛物线的顶点坐标为
C．，两点之间的距离为D．当时，的值随值的增大而增大
变式1.（2025年山东省潍坊市中考数学真题）已知抛物线经过点，则下列结论正确的是（ ）（多选题）
A．拋物线的开口向下 B．拋物线的对称轴是
C．拋物线与轴有两个交点 D．当时，关于的一元二次方程有实根
变式2．（2025年江苏省扬州市中考数学真题）已知二次函数（a为常数，且），下列结论：①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是( )
A．①②B．②③C．②D．③④
例4：（2025年辽宁省沈阳市中考数学真题）二次函数图象的顶点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
变式1. （2025年上海市中考数学真题）一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ．
变式2.（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2024上·北京海淀·九年级校考阶段练习）某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格：
那么m的值为（ ）
A．B．C．0D．5
例5：（2025·山东泰安·中考真题）如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2025·广西·中考真题）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
例6：（2025年山东省日照市中考数学真题）在平面直角坐标系中，抛物线，满足，已知点，，在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
变式1.（2025·四川乐山·统考二模）已知二次函数（为常数，且）．
（1）若点，在函数图像上，则 （填“>”、“0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
②b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
③b2–4ac0为例）:
【易错点归纳】
1. 二次函数的辨别中切记保证a≠0，而b，c可以为任意实数（即可为0）；
2. 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须附加一定的自变量x取值范围；
3. 抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关。
【核心考点】
核心考点1.二次函数的相关概念
例1：（2025·山东济宁·校联考三模）以下函数式二次函数的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数，进行判断．
【详解】解：A、当时，不是二次函数，故本选项错误；
B、由得到，是一次函数，故本选项错误；
C、该等式的右边是分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故本选项错误；
D、由原函数解析式得到，符合二次函数的定义，故本选项正确．应选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的定义，掌握定义，会根据定义进行判断是解题的关键．
变式1.（2025·山东济南·模拟预测）若是二次函数，则的值等于（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义求解即可，形如的函数为二次函数．
【详解】解：是二次函数，则且
由可得或，由可得，，综上故答案为：C
【点睛】此题考查了二次函数的定义，涉及了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握二次函数的定义．
例2：（2025上·浙江温州·九年级校联考阶段练习）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用这种产品每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以每天的销售量，即可得出w与x之间的函数表达式．
【详解】解：根据题意得，，即，故选：A．
【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出w与x之间的函数表达式是解题的关键．
变式1．（2025年江苏省泰州市中考数学真题）函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断．
【详解】解：A、若直线过点，则，解得，所以，
当时，，故不在直线上，故A不合题意；
B、由表格可知，y与x的每一组对应值的积是定值为4，所以y是x的反比例函数，，不合题意；
C、把表格中的函数y与自变量x的对应值代入得
，解得，符合题意；D、由C可知，不合题意．故选：C．
【点睛】主要考查反比例函数、一次函数以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
变式2．（2025·北京·统考二模）如图，某小区有一块三角形绿地，其中．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，使点P，M，N分别在边上．记，图中阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）

A．一次函数关系，二次函数关系B．一次函数关系，反比例函数关系
C．二次函数关系，一次函数关系D．反比例函数关系，二次函数关系
【答案】A
【分析】先求出，再证明都是等腰直角三角形，从而推出，，由此即可得到答案．
【详解】解：∵，∴，
∵四边形是矩形，∴，，
∴都是等腰直角三角形，∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴y与x，S与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，故选A．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，列函数关系式，二次函数的定义等等，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
核心考点2.二次函数的图象与性质
例3：（2025年四川省成都市数学中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（ ）

A．抛物线的对称轴为直线B．抛物线的顶点坐标为
C．，两点之间的距离为D．当时，的值随值的增大而增大
【答案】C
【分析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点，∴∴
∴二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意；
∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意；当时，即∴，
∴，故C选项正确，符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
变式1.（2025年山东省潍坊市中考数学真题）已知抛物线经过点，则下列结论正确的是（ ）（多选题）
A．拋物线的开口向下 B．拋物线的对称轴是
C．拋物线与轴有两个交点 D．当时，关于的一元二次方程有实根
【答案】BC
【分析】将点代入可求出二次函数的解析式，再根据二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系逐项判断即可得．
【详解】解：将点代入得：，解得，，
抛物线的开口向上，抛物线的对称轴是，选项A错误，选项B正确；
方程的根的判别式，
∴方程有两个不相等的实数根，抛物线与轴有两个交点，选项C正确；
由二次函数的性质可知，这个抛物线的开口向上，且当时，取得最小值，
∴当时，与没有交点，
∴当时，关于的一元二次方程没有实根，选项D错误；故选：BC．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
变式2．（2025年江苏省扬州市中考数学真题）已知二次函数（a为常数，且），下列结论：①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是( )
A．①②B．②③C．②D．③④
【答案】B
【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐一分析即可．
【详解】解：∵抛物线对称轴为，，∴二次函数图象必经过第一、二象限，
又∵，∵，∴，
当时，抛物线与x轴无交点，二次函数图象只经过第一、二象限，
当时，抛物线与x轴有两个交点，二次函数图象经过第一、二、四象限，故①错误；②正确；
∵抛物线对称轴为，，∴抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，故③正确；∴当时，y随x的增大而增大，故④错误，故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与各项系数符号之间的关系是解题关键．
例4：（2025年辽宁省沈阳市中考数学真题）二次函数图象的顶点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【详解】根据抛物线，可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以得到顶点在第几象限．
解：，顶点坐标为，顶点在第二象限．故选：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
变式1. （2025年上海市中考数学真题）一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，可确定，对称轴，，从而确定答案．
【详解】解：∵二次函数的对称轴左侧的部分是上升的，∴抛物线开口向上，即，
∵二次函数的顶点在y轴正半轴上，∴，即，，
∴二次函数的解析式可以是（答案不唯一）故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查二次函数的性质，能根据增减性和二次函数图象与y轴的交点确定系数的正负是解题的关键．
变式2.（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的顶点式可得顶点坐标为即可得到结果．
【详解】∵二次函数解析式为 ，∴顶点坐标为；故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的顶点坐标的求解，准确理解是解题的关键．
变式3．（2024上·北京海淀·九年级校考阶段练习）某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格：
那么m的值为（ ）
A．B．C．0D．5
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象的性质．根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值，确定二次函数的对称轴，利用对称轴找到一个点的对称点的纵坐标即可．
【详解】解：由上表可知函数图象经过点和点，∴对称轴为，
∴当时的函数值等于当时的函数值，
∵当时，，∴当时，．故选：C．
例5：（2025·山东泰安·中考真题）如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】分析：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
详解：A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误；B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0．故选项正确；
C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误；D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误． 故选B．
点睛：本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
变式1．（2025·广西·中考真题）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先由反比例函数图象得出b>0，再分当a>0，a0，
若a0，所以二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，故A、B、C、D选项全不符合；
当a>0，则-0
a0
b2-4ac=0
b2-4ac0的解集情况
xx2
取任意实数
ax2＋bx＋c