【2026中考】数学核心考点精讲精练-考点21与圆有关的计算（学生版+名师详解版）

这是一份【2026中考】数学核心考点精讲精练-考点21与圆有关的计算（学生版+名师详解版），共47页。

A．10B．12C．15D．20
2．（2025·山东淄博·统考一模）如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·江苏·统考三模）如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达P处，捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（ ）
A．3B．C．D．4
4．（2025·天津和平·统考一模）如图，一个大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为的小正六边形的中心重合，且与边，相交于点，．图中阴影部分的面积记为，三条线段，，的长度之和记为，在大正六边形绕点旋转过程中，和的值分别是( )
A．，B．，C．，D．和的值不能确定
5．（2025·福建泉州·校考模拟预测）如图，是正五边形的内切圆，分别切，于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为( )

A．B．C．D．
6．（2025·四川成都·模拟预测）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·辽宁盘锦·统考二模）如图，从一圆形纸片上剪出一个半径为R、圆心角为90°的扇形；和一半径为的圆，使之恰好围成如图所示的圆锥，则R与的关系为（ ）

A．R=2B．R=4C．R=2D．R=6
8．（2025·河北衡水·校考模拟预测）如图，在正六边形中，点，分别在对角线和上，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2025·吉林松原·校联考二模）如图，等边是的内接三角形，若的半径为2，则的边长为 ．

10．（2025·山东菏泽·统考二模）如图，等边三角形内接于，半径，则图中阴影部分的面积是 ，（结果保留）
11．（2025·陕西渭南·统考一模）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正八边形的面积来近似估计的面积，设的半径为2，则的值为 ．（结果保留和根号）
12．（2025·山东济南·模拟预测）如图，在圆中内接一个正五边形，有一个大小为的锐角顶点在圆心上，这个角绕点任意转动，在转动过程中，扇形与扇形有重叠的概率为，求 ．
13．（2025·河南周口·校考模拟预测）如图，扇形的圆心角，将扇形沿射线平移得到扇形，已知线段经过的中点，若，则阴影部分的周长为 ．

14．（2025·陕西咸阳·校考三模）德国著名数学家高斯在大学二年级时得出了正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件．下面是高斯正十七边形作法的一部分：“如图，已知是的直径，分别以，为圆心、长为半径作弧，两弧交于点，两点…”．若的长为，则图中的长为 ．（结果保留）

15．（2025·广东肇庆·统考二模）如图，在半径为2的中，沿弦折叠，恰好经过圆心O，则图中阴影部分的面积为（结果保留π） ．
16．（2024·山东泰安·一模）如图，把长为，宽为的矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则 ．
17．（2025·湖南湘西·校考二模）在数学实践活动中，某同学用一张如图①所示的矩形纸板制做了一个扇形，并由这个扇形围成一个圆锥模型（如图②所示），若扇形的圆心角为，圆锥的底面半径为2，则此圆锥的母线长为 ．

18．（2025·广西钦州·校考模拟预测）如图，在每个小正方形的边长均为2的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点A，D的连线交圆弧于点E，则图中阴影部分面积为 ．
19．（2025·浙江温州·校考三模）杭州奥体网球中心以极度对称的“莲花”造型惊艳众人．该建筑底部是由24片全等“花瓣”组成的“固定花环”，上方穹顶由8片全等“旋转花瓣”均匀连接，可根据天气变化合拢或旋转展开．小明借助圆的内接正多边形的知识，模拟“小莲花”变化状态．穹顶合拢时，如图①，正二十四边形顶点，正八边形顶点与圆心O共线，正二十四边形顶点，与正八边形顶点，共线，则的值为 ；穹顶开启时，如图②，所有“旋转花瓣”同时绕着固定点，，…，逆时针同速旋转．圆心O绕旋转后的对应点为，以此类推，当落在上时，若米，则的值为 米．

20．（2025·山东青岛·统考一模）【问题提出】
正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的半径和中心角有什么关系？
【问题探究】
如图①，是等边三角形，半径，是中心角，是内任意一点，到各边距离、、分别为，设的边长是，面积为．过点作．
∴，，，
∴，①
∵又可以表示②
联立①②得
∴
∴
【问题解决】如图②，五边形是正五边形，半径，是中心角，是五边形内任意一点，到五边形各边距分别为、、、、，参照（1）的分析过程，探究的值与正五边形的半径及中心角的关系．
【性质应用】（1）正六边形（半径是）内任意一点到各边距离之和_______．
（2）如图③，正边形（半径是）内任意一点到各边距离之和______．
限时检测2：最新各地中考真题（50分钟）
1．（2025年辽宁省沈阳市中考数学真题）如图，四边形内接于，的半径为，，则的长是（ ）

A．B．C．D．
2．（2025年内蒙古通辽市中考数学真题）如图，在扇形中，，平分交于点D，点C是半径上一动点，若，则阴影部分周长的最小值为（ ）

A．B．C．D．
3．（2025年湖北省潜江、天门、仙桃、江汉油田中考数学真题）如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（ ）

A．B．C．D．
4．（2025年江苏省连云港市中考数学真题）如图，矩形内接于，分别以为直径向外作半圆．若，则阴影部分的面积是（ ）

A．B．C．D．20
5.（2025年福建省中考真题数学试题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（ ）
A．B．C．3D．
6.（2025年湖北省十堰市中考数学真题）如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）

A．5B．C．D．
7．（2025年山西省中考数学真题）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）．

A．B．C．D．
8．（2025·四川内江·中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）
A．4，B．3，πC．2，D．3，2π
9．（2025年山东省聊城市中考数学真题）如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分．若该几何体上、下两个圆的半径分别为1和2，原大圆锥高的剩余部分为，则其侧面展开图的面积为（ ）

A．B．C．D．
10．（2025年陕西省中考数学试卷（A卷））如图，正八边形的边长为2，对角线、相交于点．则线段的长为 ．

11．（2025年内蒙古呼和浩特市中考数学真题）圆锥的高为，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是 度，该圆锥的侧面积是 （结果用含的式子表示）．
12．（2025年湖南省常德市中考数学真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．是以O为圆心，为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，．“会圆术”给出长l的近似值s计算公式：，当，时， ．（结果保留一位小数）
13．（2025年江苏省扬州市中考数学真题）用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 ．
14．（2025年甘肃省武威市中考数学真题）如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点处离开水面，逆时针旋转上升至轮子上方处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从处（舀水）转动到处（倒水）所经过的路程是 米．（结果保留）

15．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为______度．
16．（2025年山东省菏泽市中考数学真题）如图，正八边形的边长为4，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 （结果保留）．

17．（2025年江苏省淮安市中考数学真题）如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到，则的值是 ．

18．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在正六边形ABCDEF中，AB=6，点M在边AF上，且AM=2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是_____．
19．（2025·四川成都·中考真题）如图，已知⊙是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是_________．
20．（2025·浙江金华·中考真题）如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接．
(1)求的度数．(2)是正三角形吗？请说明理由．(3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
考点21. 与圆有关的计算（精练）
限时检测1：最新各地模拟试题（50分钟）
1．（2025·山东青岛·一模）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ）
A．10B．12C．15D．20
【答案】A
【分析】作正多边形的外接圆，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解．
【详解】解：如图，作正多边形的外接圆，
∵，∴，∴这个正多边形的边数为．故选：A．
【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．
2．（2025·山东淄博·统考一模）如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接，根据圆的周长得到圆的半径，再利用正六边形的性质即可解答．
【详解】解：连接，作于点，
∵的周长等于，∴的半径为：，
∵六边形是正六边形，∴，∴是等边三角形，∴，
∴，∴，
∴，故选．
【点睛】本题考查了圆内接正六边形中心角等于，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数，正六边形的面积，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
3．（2025·江苏·统考三模）如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达P处，捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（ ）
A．3B．C．D．4
【答案】B
【分析】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为的等边三角形可知，展开图是半径是6的半圆．点是半圆的一个端点，而点是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点和在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离．
【详解】解：圆锥的底面周长是，则，，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度．
则在圆锥侧面展开图中，，度．
在圆锥侧面展开图中．故小猫经过的最短距离是．故选：．

【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题，根据题意画出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
4．（2025·天津和平·统考一模）如图，一个大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为的小正六边形的中心重合，且与边，相交于点，．图中阴影部分的面积记为，三条线段，，的长度之和记为，在大正六边形绕点旋转过程中，和的值分别是( )
A．，B．，C．，D．和的值不能确定
【答案】A
【分析】连接，作，垂足为，证明，再利用平行四边形的面积公式和正六边形的性质即可得到阴影部分的面积和的长度．
【详解】解：连接，作，垂足为，
∵多边形是正六边形，∴，
∵，∴和是等边三角形，∵，∴，，
∴四边形是平行四边形，∴，∵，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，∵，
∴，∴，
∵，，∴，∴，
∵，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，掌握全等三角形判定与性质是解题的关键．
5．（2025·福建泉州·校考模拟预测）如图，是正五边形的内切圆，分别切，于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为( )

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据正多边形内角和公式求出，根据切线的定义得出，进而可得，再根据圆周角定理可得．
【详解】解：五边形是正五边形，，
切，于点M，N，，
又五边形的内角和为，
，，故选C．
【点睛】本题考查正多边形内角和问题，圆周角定理，解题的关键是掌握多边形内角和公式．
6．（2025·四川成都·模拟预测）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由圆锥的圆锥体底面半径是6cm，高是6cm，可得CD=DE，根据园锥、圆柱体积公式可得液体的体积为63πcm3，圆锥的体积为72πcm3，设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：如图，作圆锥的高AC，在BC上取点E，过点E作DE⊥AC于点D，则AB=6cm，AC=6cm，
∴△ABC为等腰直角三角形， ∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，
∴△CDE为等腰直角三角形，∴CD=DE，圆柱体内液体的体积为：
圆锥的体积为，设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm，
∴，∴，解得：x=3，
即此时“沙漏”中液体的高度3cm．故选：B．
【点睛】本题考查圆柱体、圆锥体体积问题，解题的关键是掌握圆柱体、圆锥体体积公式，列出方程解决问题．
7．（2025·辽宁盘锦·统考二模）如图，从一圆形纸片上剪出一个半径为R、圆心角为90°的扇形；和一半径为的圆，使之恰好围成如图所示的圆锥，则R与的关系为（ ）

A．R=2B．R=4C．R=2D．R=6
【答案】B
【分析】根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算即可得答案．
【详解】扇形的弧长是：=，圆的半径为r，则底面圆的周长是，
∵恰好围成如图所示的圆锥，∴=，∴R=4r，故选：B．
【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
8．（2025·河北衡水·校考模拟预测）如图，在正六边形中，点，分别在对角线和上，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作交于，连接，，交于点，与相交于点，设，则，同时可说明为的中位线，得，，分别求出两个三角形的面积，可得答案．
【详解】解：在正六边形中，设，
作交于，连接，，交于点，与相交于点，

，，
：：：，，，为的中位线，
，，，
，：的值为：，故选：D．
【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，表示出两个三角形的面积是解题的关键．
9．（2025·吉林松原·校联考二模）如图，等边是的内接三角形，若的半径为2，则的边长为 ．

【答案】
【分析】先在图上作出边心距对应的线段，连接，在直角中，，求出的长即可．
【详解】解：是的内接正三角形；，
过作于，连接，则长为边心距，如下图，

在直角中，，，，
，，故答案为．
【点睛】本题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，掌握基本概念是解题的关键．
10．（2025·山东菏泽·统考二模）如图，等边三角形内接于，半径，则图中阴影部分的面积是 ，（结果保留）
【答案】
【分析】本题主要考查三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，等边三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．根据等边三角形的性质可得，，将阴影部分的面积转化为扇形的面积，利用扇形面积的公式计算可求解．
【详解】解：为等边三角形，，，
的半径为3，，故答案为：．
11．（2025·陕西渭南·统考一模）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正八边形的面积来近似估计的面积，设的半径为2，则的值为 ．（结果保留和根号）
【答案】
【分析】根据中心角公式得到，过作于，根据三角形和圆的面积公式即可得到结论．
【详解】解：由题意得，，
过作于，则是等腰直角三角形，
∴，∴，
∵，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形和圆、等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12．（2025·山东济南·模拟预测）如图，在圆中内接一个正五边形，有一个大小为的锐角顶点在圆心上，这个角绕点任意转动，在转动过程中，扇形与扇形有重叠的概率为，求 ．
【答案】/度
【分析】根据题意可得出扇形与扇形有重叠的概率即为组成的扇形圆心角与的比值，进而得出答案．
【详解】解：∵在圆中内接一个正五边形，∴每个正五边形的中心角为，
∵转动过程中，扇形与扇形有重叠的概率为
∴解得：．故答案为：．
【点睛】此题考查了几何概率以及正五边形的性质，根据已知得出概率与圆心角的关系是解题关键．
13．（2025·河南周口·校考模拟预测）如图，扇形的圆心角，将扇形沿射线平移得到扇形，已知线段经过的中点，若，则阴影部分的周长为 ．

【答案】
【分析】连接，根据为的中点，扇形的圆心角，得出，求出，证明，根据求出结果即可．
【详解】解：连接，如图所示：

∵为的中点，扇形的圆心角，∴，
∵，∴，∴，
根据平移可知，，∴，∴，
∴，∴阴影部分的周长为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，弧长公式，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握平移的性质是解题的关键．
14．（2025·陕西咸阳·校考三模）德国著名数学家高斯在大学二年级时得出了正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件．下面是高斯正十七边形作法的一部分：“如图，已知是的直径，分别以，为圆心、长为半径作弧，两弧交于点，两点…”．若的长为，则图中的长为 ．（结果保留）

【答案】/
【分析】连接，，，，根据，是等边三角形，则，推出，根据弧长公式：，即可．
【详解】连接，，，，∴，
∴，是等边三角形，∴，∴，
∵，∴的长为：，故答案为：．

【点睛】本题考查圆的知识，解题的关键是理解题意，得到圆心角，弧长公式：．
15．（2025·广东肇庆·统考二模）如图，在半径为2的中，沿弦折叠，恰好经过圆心O，则图中阴影部分的面积为（结果保留π） ．
【答案】
【分析】本题考查了扇形的面积计算，解直角三角形；
过O作于D，交劣弧于E，易得阴影部分面积与扇形的面积相等，然后根据求出，再利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图，过O作于D，交劣弧于E，
由题意可得，阴影部分面积与扇形的面积相等，
∵的半径为2，恰好经过圆心O，∴，，
∴在中，，∴，
∴阴影部分的面积，故答案为：．
16．（2024·山东泰安·一模）如图，把长为，宽为的矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
设圆锥的底面的半径为，，则，，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解方程求出r，然后计算即可．
【详解】解：设圆锥的底面的半径为，则，，
根据题意得，整理，得，
则， 即：故答案为：．
17．（2025·湖南湘西·校考二模）在数学实践活动中，某同学用一张如图①所示的矩形纸板制做了一个扇形，并由这个扇形围成一个圆锥模型（如图②所示），若扇形的圆心角为，圆锥的底面半径为2，则此圆锥的母线长为 ．

【答案】
【分析】设此圆锥的母线长为l，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到，然后解方程即可．
【详解】解：设母线长为l，则，解得：，故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
18．（2025·广西钦州·校考模拟预测）如图，在每个小正方形的边长均为2的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点A，D的连线交圆弧于点E，则图中阴影部分面积为 ．
【答案】
【分析】找出圆心，根据勾股定理即可求出半径，根据图形得出的度数，根据三角形面积公式和扇形面积公式求出即可．
【详解】解：如图，作、的垂直平分线，两线交于，连接、、，
由图形可知是等腰直角三角形，，，
，，
．故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，确定圆心，扇形的面积公式的应用，主要考查学生的计算能力．
19．（2025·浙江温州·校考三模）杭州奥体网球中心以极度对称的“莲花”造型惊艳众人．该建筑底部是由24片全等“花瓣”组成的“固定花环”，上方穹顶由8片全等“旋转花瓣”均匀连接，可根据天气变化合拢或旋转展开．小明借助圆的内接正多边形的知识，模拟“小莲花”变化状态．穹顶合拢时，如图①，正二十四边形顶点，正八边形顶点与圆心O共线，正二十四边形顶点，与正八边形顶点，共线，则的值为 ；穹顶开启时，如图②，所有“旋转花瓣”同时绕着固定点，，…，逆时针同速旋转．圆心O绕旋转后的对应点为，以此类推，当落在上时，若米，则的值为 米．

【答案】 /
【分析】如图：过O作,连接，运用正多边形的性质说明,,进而得到、，然后代入计算即可；如图：由题意可得,，，运用勾股定理可求得，再运用计算即可．
【详解】解：如图：过O作,连接，
∴，,
∵，∴,,
∴， ∴,,∴，
∵∴，
∴，∴，
∴,∴．

由题意可知：,，，
∴，即，解得：，
∴．故答案为，．
【点睛】本题主要考查了正多边形的性质、勾股定理、垂径定理等知识点，理解题意、正确计算是解答本题的关键．
20．（2025·山东青岛·统考一模）【问题提出】
正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的半径和中心角有什么关系？
【问题探究】
如图①，是等边三角形，半径，是中心角，是内任意一点，到各边距离、、分别为，设的边长是，面积为．过点作．
∴，，，
∴，①
∵又可以表示②
联立①②得
∴
∴
【问题解决】如图②，五边形是正五边形，半径，是中心角，是五边形内任意一点，到五边形各边距分别为、、、、，参照（1）的分析过程，探究的值与正五边形的半径及中心角的关系．
【性质应用】（1）正六边形（半径是）内任意一点到各边距离之和_______．
（2）如图③，正边形（半径是）内任意一点到各边距离之和______．
【答案】【问题解决】：；【性质应用】：（1）；（2）
【分析】问题解决：设正五边形的边长是a，面积为S，得到，O为正五边形的中心，连接、、、、，它们将五边形分成五个全等的等腰三角形，过点O作，垂足为Q，中表示出、、后即可表示出与正多边形的半径R的关系式；
性质应用：（1）同【问题探究】的方法，可得答案；（2）总结规律可表示出正n边形（半径是R）内任意一点P到各边距离之和与半径R和中心角的关系．
【详解】解：【问题解决】设正五边形的边长是，面积为，显然，
为正五边形的中心，连接，它们将五边形分成五个全等的等腰三角形，
过点作，垂足为，
∴，，∴，
∴，，
∴，∴，
∴∴
即：∴
【性质应用】（1）同【问题解决】可得：正六边形（半径是R）内任意一点P到各边距离之和，故答案为：；
（2）正n边形（半径是R）内任意一点P到各边距离之和，
.
【点睛】本题考查多边形的综合题，涉及正多边形和圆，解直角三角形，解题的关键是熟知正多边形各元素与外接圆之间的关系．
限时检测2：最新各地中考真题（50分钟）
1．（2025年辽宁省沈阳市中考数学真题）如图，四边形内接于，的半径为，，则的长是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据圆内接四边形的性质得到，由圆周角定理得到，根据弧长的公式即可得到结论．
【详解】解：四边形内接于，，
，，的长．故选：．
【点睛】本题考查的是弧长的计算，圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
2．（2025年内蒙古通辽市中考数学真题）如图，在扇形中，，平分交于点D，点C是半径上一动点，若，则阴影部分周长的最小值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由于是定值，只需求解的最小值即可，作点D关于对称点，连接、、，则最小值为的长度，即阴影部分周长的最小最小值为．利用角平分线的定义可求得，进而利用勾股定理和弧长公式求得和即可．
【详解】解：如图，作点D关于对称点，连接、、，

则，，，
∴，当A、C、共线时取等号，此时，最小，即阴影部分周长的最小，最小值为．
∵平分，，∴，∴，
在中，，∴，
又，∴阴影部分周长的最小值为，故选：A．
【点睛】本题考查弧长公式、勾股定理、角平分线的定义、轴对称性质，能利用轴对称性质求解最短路径问题是解答的关键．
3．（2025年湖北省潜江、天门、仙桃、江汉油田中考数学真题）如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据网格的特点作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点O，连接，则点O是外接圆的圆心，先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后根据，进行计算即可解答．
【详解】解：如图：作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点O，连接，则点O是外接圆的圆心，

由题意得：，，，
∴，∴是直角三角形，∴，
∵，∴
，故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
4．（2025年江苏省连云港市中考数学真题）如图，矩形内接于，分别以为直径向外作半圆．若，则阴影部分的面积是（ ）

A．B．C．D．20
【答案】D
【分析】根据阴影部分面积为2个直径分别为的半圆的面积加上矩形的面积减去直径为矩形对角线长的圆的面积即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，

∵矩形内接于，∴
∴阴影部分的面积是
，故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5.（2025年福建省中考真题数学试题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】C
【分析】根据圆内接正多边形的性质可得，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解．
【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形，过点作交于点于点，
∵，∴，则，
故正十二边形的面积为，圆的面积为，
用圆内接正十二边形面积近似估计的面积可得，故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键．
6.（2025年湖北省十堰市中考数学真题）如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）

A．5B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，先根据直径求出底面周长，根据底面周长等于展开后扇形的弧长可求出圆锥的侧面展开后的圆心角，可得是等边三角形，即可求解．
【详解】解：连接，如图所示，

∵为底面圆的直径，，设半径为r,∴底面周长，
设圆锥的侧面展开后的圆心角为，∵圆锥母线，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长可得：，解得：，∴，
∵半径，∴是等边三角形，
在中，，∴蚂蚁爬行的最短路程为，故选：B．
【点睛】本题考查平面展开—最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形。扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，化曲面为平面，用三角函数求解．
7．（2025年山西省中考数学真题）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）．

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由转角为可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理可得，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：如图：

∵，∴，∵过点的两条切线相交于点，∴,
∴,∴．故选B．
【点睛】本题考查圆的切线的性质、弧长公式等知识点，根据题意求得是解答本题关键．
8．（2025·四川内江·中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）
A．4，B．3，πC．2，D．3，2π
【答案】D
【分析】连接、，证出是等边三角形，根据勾股定理求出，再由弧长公式求出弧的长即可．
【详解】解：连接、，
六边形为正六边形，，
，为等边三角形，，
，，
的长为．故选：D．
【点睛】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理,熟练掌握正六边形的性质，由勾股定理求出是解决问题的关键．
9．（2025年山东省聊城市中考数学真题）如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分．若该几何体上、下两个圆的半径分别为1和2，原大圆锥高的剩余部分为，则其侧面展开图的面积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据展开面积大圆锥侧面积与小圆锥侧面积之差计算即可．
【详解】根据题意，补图如下：

∵，∴，∴，
∴，∴，
∴侧面展开图的面积为，故选C．
【点睛】本题考查圆锥侧面积计算，三角形相似的判定和性质，熟练掌握圆锥的侧面积计算是解题的关键．
10．（2025年陕西省中考数学试卷（A卷））如图，正八边形的边长为2，对角线、相交于点．则线段的长为 ．

【答案】
【分析】根据正八边形的性质得出四边形是矩形，、是等腰直角三角形，，再根据矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出，，即可．
【详解】解：如图，过点作于，由题意可知，四边形是矩形，、是等腰直角三角形，，

在中，，，，
同理，，故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
11．（2025年内蒙古呼和浩特市中考数学真题）圆锥的高为，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是 度，该圆锥的侧面积是 （结果用含的式子表示）．
【答案】 120
【分析】根据勾股定理，先求出圆锥底面半径，进而得出底面周长，即圆锥展开图的弧长，根据圆锥母线为圆锥的侧面展开图的半径，结合扇形弧长公式和面积公式，即可求解．
【详解】解：根据勾股定理可得：圆锥底面半径，∴该圆锥底面周长，
∵圆锥母线长为3，∴该圆锥的侧面展开图的半径为3，∴，解得：，
即展开图（扇形）的圆心角是120度，圆锥的侧面积，故答案为：120，．
【点睛】本题主要考查了求圆锥地面半径，扇形面积公式和弧长公式，解题的关键是掌握弧长，扇形面积．
12．（2025年湖南省常德市中考数学真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．是以O为圆心，为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，．“会圆术”给出长l的近似值s计算公式：，当，时， ．（结果保留一位小数）
【答案】0.1
【分析】由已知求得与的值，代入得弧长的近似值，利用弧长公式可求弧长的值，进而即可得解．
【详解】∵，∴，
∵C是弦的中点，D在上，，∴延长可得O在上，
∴，∴，
，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查扇形的弧长，掌握垂径定理。弧长公式是关键．
13．（2025年江苏省扬州市中考数学真题）用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 ．
【答案】
【分析】应为圆锥侧面母线的长就是侧面展开扇形的半径，利用圆锥侧面面积公式：，就可以求出圆锥的底面圆的半径．
【详解】解：设圆锥底面圆的半径为，，
由扇形的面积：，得：故答案为：
【点睛】本题考查了圆锥侧面面积的相关计算，熟练掌握圆锥侧面面积的计算公式是解题的关键，注意用扇形围成的圆锥，扇形的半径就是圆锥的母线．
14．（2025年甘肃省武威市中考数学真题）如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点处离开水面，逆时针旋转上升至轮子上方处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从处（舀水）转动到处（倒水）所经过的路程是 米．（结果保留）

【答案】
【分析】把半径和圆心角代入弧长公式即可；
【详解】故填：．
【点睛】本题考查弧长公式的应用，准确记忆公式，并正确代入公式是解题的关键．
15．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为______度．
【答案】12
【分析】连接AO，求出正六边形和正五边形的中心角即可作答．
【详解】连接AO，如图，
∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=360°÷6=60°，
∵多边形AHIJK是正五边形，∴∠AOH=360°÷5=72°，
∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°，故答案为：12．
【点睛】本题考查了正多边形的中心角的知识，掌握正多边形中心角的计算方法是解答本题的关键．
16．（2025年山东省菏泽市中考数学真题）如图，正八边形的边长为4，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 （结果保留）．

【答案】
【分析】先利用正八边形求出圆心角的度数，再利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：由题意，，∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关键是记住扇形的面积，正多边形的每个内角度数为．
17．（2025年江苏省淮安市中考数学真题）如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到，则的值是 ．

【答案】
【分析】如图所示，补充一个与已知相同的正六边形，根据正六边形的内角为，设正六边形的边长为1，求得，根据正切的定义，即可求解．
【详解】解：如图所示，补充一个与已知相同的正六边形，

∵正六边形对边互相平行，且内角为，∴

过点作于，∴
设正六边形的边长为1，则，，∴故答案为：．
【点睛】本题考查了正六边形的性质，解直角三角形，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．
18．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在正六边形ABCDEF中，AB=6，点M在边AF上，且AM=2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是_____．
【答案】
【分析】如图，连接AD，CF，交于点O，作直线MO交CD于H，过O作OP⊥AF于P，由正六边形是轴对称图形可得： 由正六边形是中心对称图形可得： 可得直线MH平分正六边形的面积，O为正六边形的中心，再利用直角三角形的性质可得答案．
【详解】解：如图，连接AD，CF，交于点O，作直线MO交CD于H，过O作OP⊥AF于P，
由正六边形是轴对称图形可得：
由正六边形是中心对称图形可得：
∴直线MH平分正六边形的面积，O为正六边形的中心，
由正六边形的性质可得：为等边三角形， 而

则 故答案为：
【点睛】本题考查的是正多边形与圆的知识，掌握“正六边形既是轴对称图形也是中心对称图形”是解本题的关键．
19．（2025·四川成都·中考真题）如图，已知⊙是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是_________．
【答案】
【分析】如图，设OA=a，则OB=OC=a，根据正方形内接圆和外接圆的关系，求出大正方形、小正方形和圆的面积，再根据概率公式计算即可．
【详解】解：如图，设OA=a，则OB=OC=a，
由正方形的性质可知∠AOB=90°，，
由正方形的性质可得CD=CE=OC=a，∴DE=2a，
S阴影=S圆-S小正方形=，S大正方形=，
∴这个点取在阴影部分的概率是，故答案为：
【点睛】本题考查了概率公式、正方形的性质、正方形外接圆和内切圆的特点、圆的面积计算，根据题意弄清楚图形之间的关系是解题的关键．
20．（2025·浙江金华·中考真题）如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接．
(1)求的度数．(2)是正三角形吗？请说明理由．(3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
【答案】(1)(2)是正三角形，理由见解析(3)
【分析】（1）根据正五边形的性质以及圆的性质可得，则(优弧所对圆心角)，然后根据圆周角定理即可得出结论；
（2）根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论；
（3）运用圆周角定理并结合（1）（2）中结论得出，即可得出结论．
(1)解：∵正五边形．∴，
∴，
∵，∴(优弧所对圆心角)，
∴；
(2)解：是正三角形，理由如下：连接，
由作图知：,∵，∴，
∴是正三角形，∴，∴，
同理，∴，即，∴是正三角形；
(3)∵是正三角形，∴．
∵，∴，
∵，∴，∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解本题的关键．