（高分突破）2026年中考数学专题15+几何模型-旋转三模型（半角模型、三叉口模型、费马点模型） 课件

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中考数学第二轮总复习专题15 几何模型旋转三模型半角模型、三叉口模型、费马点模型①旋转的目的： 以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角。将分散的条件集中，隐蔽的关系显现；具有公共端点的等线段；②旋转的条件：③旋转的方法： 等腰三角形等边三角形等腰直角三角形正方形半角模型三叉口模型费马点模型【例1-1】如图,E,F是正方形ABCD的两边上的点,∠EAF=45º,BD交AE,AF于点M,N.求证：(1)EF=DF+BE；(2)C△CEF=2BC；(3)BM2+DN2=MN2将△ABE绕点A逆时针旋转90º得△ADE´.E´F´∴△AEF≌△AE´F.证明:(1)∵四边形ABCD正方形.∴BC=CD=DA=AB=1,∠BAD=∠B=∠ADC=90º.∴∠ADE´=∠B=90º,∠E´AD=BAE,AE´=AE,DE´=BE,∵∠EAF=45º,∠BAD=90º.∴∠BAE+∠DAF=45º.∴∠E´AF=∠E´AD+∠DAF=∠BAE+∠DAF=45º.∴EF=E´F=DF+BE(2)C△CEF=CF+EF+CE=CF+DF+BE+CE=BC+CD=2BC.(3)将△ADN绕点A顺时针旋转90º得△ABN´,连接MN´N´同(1)可得△AMN´≌△AMN∴BN´=DN,MN´=MN∠ABN´=∠ADN=45º∵∠ABM=45º∴∠N´BM=90º∴BN´2+BM2=MN´2∴BM2+DN2=MN21.半角的模型特征：①有公共顶点的两个角，其中一个角是另一个角的一半；②大角的两边相等；③存在互补(或互余)的角。2.解题思路:③通过全等的性质得出线段之间的数量关系.①将半角关系的两边组成的三角形旋转；②证明一对轴对称的全等三角形；3.常见的图形:正方形、正三角形、等腰直角三角形等.如图:正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=45º,连接BD交AE于G,AF于M,连接EM、GF.GF与EM相交于O点.则有下列结论.线段之间的关系：①EF=BE+FD②GB2+MD2=GM2③BM·DG=AB2④AM=EM,AG=FG⑦△AEF的边EF上的高等于正方形的边长；⑧△EFC的周长等于正方形的边长的2倍.角度之间的关系：①∠AEB=∠AEF,∠AFE=∠AFD②根据下面共圆,每个共圆都至少可以得到四队相等的角.特殊三角形：△AGF与△AME是等腰直角三角形四点共圆：①ABEM②ADFG③GEFM④CEMF⑤CEGMF面积关系：①S△AEF=S△ABE+S△ADF②S△AEF=2S△AGM③S正方形ABCD:S△AEF=2AB:EF相似关系：①△AEF∽△AMG∽△BGE∽△DMF∽△DAG∽△MBA②△EFG∽△EAB③△ADF∽△EMFGMO先将△ABE绕点A旋转得△ADE´再证△AEF≌△AE´F结论：EF=BE-DF【例1-2】如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180º,E,F分别是BC，CD上的点,且∠EAF=0.5∠BAD,BE,DF,EF三条线段之间的数量关系是否仍然成立,若不成立,写出它们之间的数量关系并证明. 【思路点拨】半角信息——带形旋转——轴对称的全等三角形．E´邻补四边形内含半角(邻边相等，对角互补的四边形)1.如图：四边形ABCD中,E、F分别是CD、AD上的点,∠ABC= ∠ADC=90º且∠EBF=45º.猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系.2.如图：四边形ABCD中,E、F分别是CD、AD上的点, ∠ABC+∠ADC=180º且∠EBF=1/2∠ABCº.猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系.2.如图：等腰直角△ABC中,∠ABC =90º,E、F都是AC上的点，且∠EBF=45º,猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系.备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明.备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明.备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明.c=a+bc=a+b说明：上图依次是45º,30º的三角形对称(翻折),翻折形成正方形或等边三角形等的对称全等.(半角可以任意角去折叠,常见度数还有22.5º半角)说明：轴对称有如下性质：①把图形变为与之全等的图形,因而面积和周长不变.②在反射变换下,任意两点A和B,变换后的对应点为A´和B´,则有直线AB和A´B´所成的角的平分线为l.③两点之间的距离保持不变,任意两点A和B,变换后的对应点为A´和B´,则有AB=A´B´. 中小学数学中的很多图形都是轴对称图形,利用这些图形的对称轴性质,可以帮助我们解决一些计算和证明的几何问题.【一】将△ACE绕点A旋转到△ADE´,连接E´B得△ADE≌△ADE´ 再证Rt△BDE´E´如图,已知△ABC是等腰直角三角形,点D,E在BC上,且满足∠DAE=45º.求证:DE2=BD2+CE2【思路点拨】F【二】将△ABD沿着AD翻折到△ADF,连接EF,得△ABD≌△AFD；△ACE≌△AFE；再证Rt△DFE半角模型三叉口模型费马点模型【例2】如图,点P为等边△ABC内一点,且PA=5,PB=3,PC=4, (1)求∠BPC的度数；(2)求等边△ABC的边长；(3)求等边△ABC的面积.解:(1)∵△ABC是等边三角形， ∴P´B=PB=3,P´C=PA=5,∠PBP´=ABC=60º. P´H将△ABP绕点B顺时针旋转60º得△CBQ, ∴AB=BC,∠ABC60º. ∴△PBP´为等边三角形.∴△PBP´为等边三角形.∴PP´=PB=3,∠BPP´=60º.∵32+42=52.即P´P2+PC2=P´C2.∴∠P´PC=90º.∴∠BPC=∠BPP´+∠P´PC=150º.(2)过点B作BH⊥PC于点H.连接PQ.∵∠BPC=150º.∴∠BPH=30º.∴BH=0.5BP=1.5.(3)S△ABC=三叉口模型---三线共点必旋转1.三叉口模型的特征：①在正多边形(或等腰直角三角形)中；②三条已知线段有公共端点；2.解题思路:③由旋转的性质和勾股定理的逆定理求出角度；①将其中一个三角形到旋转；②连接三叉口点与其对应点；④过正多边形的顶点作求出角的一边的垂线.⑤利用勾股定理求出正多边形的边长(或面积).QH【思路点拨】(1)将△APD绕点D逆时针旋转90º 得△CQD,再连接PQ, (2)作CH⊥DQ于点H，求得∠APD=∠CQD=45º+90º=135°P´H2.如图,点P为正六边形ABCDEF内一点,且PA=8,PB= ,PC=10,求正六边形ABCD的面积.3.已知在△ACB中,∠ACB=90º,AC=BC,PA=3,PC=2,PB=1,求∠BPC的度数？P´135º半角模型三叉口模型费马点模型 皮耶·德·费马,17世纪法国数学家,有“业余数学家之王”的美誉,之所以叫业余并非段位不够,而是因为其主职是律师,兼职搞搞数学.费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献,除此之外,费马广为人知的是以其名字的“费马小定理”、“费马大定理”等. 据说费马在提出“费马大定理”时,在笔记本上写道：“我已经想到了一个绝妙的证明方法,但是这个地方不够写,我就不写了吧.”看得出那个时候纸确实挺贵的,几百年来,无数的数学家用一生的时间都没有证明出这条定理,直到1995年,才由英国数学家怀尔斯证明出来,此时费马已经逝世330年.业余数学家之王---费马【引例】有甲,乙,丙三个村庄(三个村庄之间的夹角均小于120º),要在中间建一供水站向三地送水,现要确定供水站的位置是所需管道总长最小? P1C1【解决思路---外旋60º】∴当B、P、P1、C1四点在同一直线上时,PA+PB+PC的值最小.点P为△ABC的费马点.将△APC绕A点逆时针旋转60º得到△AP1C1,连接PP1.则△APP1为等边三角形,AP=PP1,P1C1=PC,∴PA+PB+PC=PP1+PB+P1C1.BC1为定长, 将此问题抽象为数学模型：【数学问题】如图,如果△ABC的内角均小于120º,在△ABC内作点P,使PA+PB+PC值最小.P2【作法】1.如图,以AB(AC)为边,在△ABC的外部作等边△ABD(等边△ACE),EDP此时PA+PB+PC值最小.点P即为△ABC的费马点.2.连接CD、BE交于点P,【费马点性质】1.PA+PB+PC值最小；3.∠APB=∠APC=∠BPC=120〫.2.最小值=CD=BE=PA+PB+PC；P´【例3-1】如图,在△ABC中,∠ACB=30º,BC=4,AC=3,在△ABC内部有点P,连接PA,PB,PC,求：PA+PB+PC的最小值.D4335【例3-2】如图,A,D是一个长为1000米,宽为600米矩形ABCD货场的入口,现拟在货场内建一个收费站P,在铁路线BC段上建一个发货站H,设铺设公路AP+DP+PH=m,求m的最小值.HA´P´解:作正△DPE,将△APD绕点D顺时针旋转60º得到△FED,作FN⊥BC交AD于点M,mmin=FN∵AD=FD=1000米,∠FDM=60º,FM⊥AD,∵MN=AB=600米，P´A´破解半角模型---口诀：共顶点，等线段，绕着顶点来旋转；鸡爪图，三线段，抓住定角也旋转；线段和，要得证，截长补短是正本；正方形，等直三，内含半角转一转.旋转+截长补短