湖南省邵阳市第二中学2025-2026学年高二上学期入学考试数学试题（Word版附解析）

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满分：150分 时间：120min 命题人：李印彬
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. m，n为空间两条不重合直线，为空间平面，下列命题正确的是（ ）
A. ，，则
B. m，n与所成角均为30°，则
C. ，，，则直线m，n到的距离相等
D. ，，则m，n可以是异面直线
2. 已知，则在复平面内，对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知平行四边形中，，，记，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 棱长为2的正方体中，E，F分别是的中点，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在中，为BC的中点，是线段AD上的一点，若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知分别是三个内角的对边，且，，若点P为的费马点，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选错或不选对0分
9. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A B.
C. D.
10. 在中，内角所对边分别为，则（ ）
A. 若，则
B. 若为钝角，则
C. 当时，若，且是钝角三角形，则
D. 若，则满足条件的三角形有两个
11. 已知直三棱柱各顶点及动点都在球的球面上，，则（ ）
A.
B. 球的半径为2
C. 三棱柱的表面积为
D. 点到平面的距离的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 化简：___________.
13. 已知圆台的上底面和下底面的面积分别为，体积为，则圆台的侧面积为____________.
14. 从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数．有以下四个说法：
①恰好有1件次品和恰好有2件次品是互斥事件，但不是对立事件；
②至少有1件次品和全是次品是对立事件；
③至少有1件正品和至少有1件次品是互斥事件，但不是对立事件；
④至少有1件次品和全是正品是互斥事件，也是对立事件．
其中正确的有_____（写出所有正确说法的序号）．
四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数（其中为实数）为纯虚数.
（1）求实数的值；
（2）若复数在复平面内所对应的点位于第三象限，求实数的取值范围.
16. 已知向量.
（1）若，求；
（2）若，求；
（3）若，求在方向上投影向量的坐标.
17. 在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知．
（1）求角B的值；
（2）若，求的周长的取值范围．
18. 在一次某高校国际学生文化交流会上，对外国留学生举行了“中华文化知多少”知识竞赛.某数学小组收集了本次知识竞赛的成绩单，根据本次知识竞赛的成绩（满分100分）将收集到的成绩分成五段：，处理后绘制了如下的频率分布直方图.
（1）求；
（2）若该高校共有2000名外国留学生，以频率代替概率，估计该高校知识竞赛成绩不超过70分的人数；
（3）已知在内的平均数为52，方差为105，内的平均数为72，方差为503，求所有留学生成绩的方差.
19. 如图，在三棱柱中，平面，，是棱AB上的一点，且满足与相交于点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求直线与平面所成角的正弦值.