高中数学人教A版 (2019)必修 第一册集合间的基本关系精练

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1．子集的概念
2．真子集的概念
3．集合相等的概念
如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B.
4．空集的概念

【题型1 子集、真子集的概念】
【方法点拨】
①集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法．
②不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．
③在真子集的定义中，A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.
【例1】已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3，x∈N}，则A的子集共有（ ）
A．3个B．4个C．8个D．16个
【变式1-1】已知集合A＝{x|x2＜3，x∈N}，则A的真子集共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．7个
【变式1-2】设集合A＝{1，2，3，4，5，6}，则在集合A的子集中，有2个元素的子集个数为（ ）
A．A62B．C62C．62D．26
【变式1-3】已知集合A={x∈N|86−x∈N}，则集合A的所有非空子集．的个数为（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
【题型2 集合的相等与空集】
【方法点拨】
①利用集合相等的定义和集合中的元素的性质去解题．
②利用空集的定义去解题.
【例2】下列集合与集合A＝{2022，1}相等的是（ ）
A．（1，2022）B．{（x，y）|x＝2022，y＝1}
C．{x|x2﹣2023x+2022＝0}D．{（2022，1）}
【变式2-1】下列四个集合中，是空集的是（ ）
A．{0}B．{x|x＞8，且x＜5}C．{x∈N|x2﹣1＝0}D．{x|x＞4}
【变式2-2】设a，b∈R，P＝{1，a}，Q＝{﹣1，﹣b}，若P＝Q，则a﹣b＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【变式2-3】设a，b∈R，集合P＝{0，1，a}，Q＝{﹣1，0，﹣b}，若P＝Q，则a+b＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．2
【题型3 集合间关系的判断】
【方法点拨】
①列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系．
②元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断．
③图示法：利用数轴或Venn图判断两集合间的关系．
【例3】已知集合M={y|y=2x+13，x∈Z}，N={y|y=23x−1，x∈Z}，则集合M，N的关系是（ ）
A．M＝NB．M⊂NC．M⊃ND．M∩N＝ϕ
【变式3-1】已知集合M={x|x=kπ4+π2，k∈Z}，N={x|x=kπ2+π4，k∈Z}，则（ ）
A．N⊆MB．M⊆NC．M＝ND．M∩N＝∅
【变式3-2】已知集合A＝{x|x≥﹣2}，B＝{x|﹣2≤x≤1}，则下列关系正确的是（ ）
A．A＝BB．A⊆BC．B⊆AD．A∩B＝∅
【变式3-3】下面五个式子中：
①a⊆{a}；②∅⊆{a}；③{a}∈{a，b}；④{a}⊆{a}；⑤a∈{b，c，a}．正确的有（ ）
A．②④⑤B．②③④⑤C．②④D．①⑤
【题型4 有限集合子集、真子集的确定】
【方法点拨】
①确定所求集合，是子集还是真子集．
②合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出．
③注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
假设集合A中含有n个元素，则有：
①A的子集的个数为2n个；②A的真子集的个数为2n－1个；③A的非空真子集的个数为2n－2个．
【例4】满足∅⫋M⊆{1，2，3}的集合M共有（ ）
A．6个B．7个C．8个D．15个
【变式4-1】已知{1，3}⊆A⫋{1，2，3，4，5}，则满足条件的集合A的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式4-2】已知集合S＝{x|ax＝1}是集合T＝{x|x2﹣1＝0}的子集，则符合条件的实数a的值共（ ）
A．1个B．2个C．3个D．无数个
【变式4-3】已知集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和等于9，则a1+a2+a3＝（ ）
A．1B．2C．3D．6
【题型5 利用集合间的关系求参数】
【方法点拨】
①当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．
②当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用．
【例5】已知集合A＝{﹣2，3，1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m的取值集合为（ ）
A．{1}B．{3}C．{1，﹣1}D．{3，−3}
【变式5-1】已知集合A＝{x∈R|x2+x﹣6＝0}，B＝{x∈R|ax﹣1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为（ ）
A．13或−12B．−13或12C．13或−12或0D．−13或12或0
【变式5-2】已知集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|x﹣a＜0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为（ ）
A．（3，+∞）B．[3，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1]
【变式5-3】设集合A＝{x|0＜x＜2019}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|a≤0}B．{a|0＜a≤2019}C．{a|a≥2019}D．{a|0＜a＜2019}
【题型6 集合间关系中的新定义问题】
【方法点拨】
根据题目所给的有关集合的新定义问题，结合集合间的关系，进行转化求解即可.
【例6】定义集合A★B＝{x|x＝ab，a∈A，b∈B}，设A＝{2，3}，B＝{1，2}，则集合A★B的非空真子集的个数为（ ）
A．12B．14C．15D．16
【变式6-1】集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P*Q的真子集个数为（ ）
A．31B．63C．32D．64
【变式6-2】定义集合中的一种运算“*”，A*B＝{ω|ω＝xy（x+y），x∈A，y∈B}，若集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则A*B的非空子集个数是（ ）
A．7B．8C．15D．16
【变式6-3】对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”，法则如下：当m，n都是正奇数时，m※n＝m+n；当m，n不全为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝16，a∈N*，b∈N*}的真子集的个数是（ ）
A．27﹣1B．211﹣1C．213﹣1D．214﹣1
专题1.2 集合间的基本关系-重难点题型检测
一．选择题
1．下列命题：
①空集没有子集；
②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若∅⫋A，则A≠∅．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}
B．M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{y|x+y＝1}
C．M＝{4，5}，N＝{5，4}
D．M＝{1，2}，N＝{（1，2）}
3．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，则A的含有2个元素的子集的个数是（ ）
A．3B．5C．10D．20
4．已知集合A＝{1，a，b}，B＝{﹣1，a2，b2}，若A＝B，则a+b＝（ ）
A．1B．0C．﹣1D．无法确定
5．设集合A＝{x|﹣1≤x≤3}，集合B＝{x|x≥a}，若A⊆B，则a的取值范围为（ ）
A．a≥3B．﹣1≤a≤3C．a≥﹣1D．a≤﹣1
6．已知集合M＝{1，4，x}，N＝{1，x2}，若N⊆M，则实数x组成的集合为（ ）
A．{0}B．{﹣2，2}C．{﹣2，0，2}D．{﹣2，0，1，2}
7．已知集合A＝{x∈R|x2+x﹣6＝0}，B＝{x∈R|ax﹣1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为（ ）
A．13或−12B．−13或12C．13或−12或0D．−13或12或0
8．定义A*B＝{Z|Z＝xy+1，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0，1}，集合B＝{1，2，3}，则A*B集合中真子集的个数是（ ）
A．14B．15C．16D．17
二．多选题
9．下列集合中，与{1，2}相等的是（ ）
A．{4，(−2)0}B．{x∈N||x|≤2}
C．{x|x2﹣3x+2＝0}D．{(x，y)|y=2x，y=3−x}
10．给出下列四个集合，其中为空集的是（ ）
A．{∅}B．{x∈R|x2+x+1＝0}
C．{（x，y）|y=−1xy=x，x，y∈R}D．{x∈R||x|＜0}
11．以下满足{0，2，4}⊆A⫋{0，1，2，3，4}，则A＝（ ）
A．{0，2，4}B．{0，1，3，4}C．{0，1，2，4}D．{0，1，2，3，4}
12．定义：若集合A非空，且是集合B的真子集，就称集合A是集合B的孙子集．下列集合是集合B＝{1，2，3}的孙子集的是（ ）
A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3}
三．填空题
13．若集合A＝{x|ax2﹣2ax+a﹣1＝0}＝∅，则实数a的取值范围是 ．
14．设集合A={x∈N|y=12x+3∈N}，则集合A的子集个数为 ．
15．已知集合A＝{x∈R|2a≤x≤a+3}，B＝{x∈R|x＜﹣1或x＞4}．若A⊆B，则实数a的取值范围是 ．
16．定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝x+y，x∈A，y∈B}，设A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A⊗B的真子集的个数为 ．
四．解答题
17．已知集合A＝{x|x2+2x+m＝0}，是否存在这样的实数m，使得集合A有且仅有两个子集？若存在，求出所有的m的值组成的集合M；若不存在，请说明理由．
18．已知集合A＝{x|x2+4ax﹣4a+3＝0}，B＝{x|x2+（a﹣1）x+a2＝0}，C＝{x|x2+2ax﹣2a＝0}，其中至少有一个集合不为空集，求实数a的取值范围．
19．定义A⊗B＝{z|z＝xy+xy，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0，2}，B＝{1，2}．
（1）求集合A⊗B的所有元素之和．
（2）写出集合A⊗B的所有真子集．
20．已知集合A＝{x|x2﹣ax+b＝0，a∈R，b∈R}．
（1）若A＝{1}，求a，b的值；
（2）若B＝{x∈Z|﹣3＜x＜0}，且A＝B，求a，b的值．
21．已知集合A＝{1，2，3}．
（1）若M是A的子集，且至少含有元素3，写出满足条件的所有集合M；
（2）若B＝{x|ax﹣3＝0}，且B⊆A，求实数a的取值集合．
22．已知M＝{x|2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．
（1）若M⊆N，求实数a的取值范围；
（2）若M⊇N，求实数a的取值范围．