重庆市广益中学校2024-2025学年九年级下学期期中数学试卷(含答案)

这是一份重庆市广益中学校2024-2025学年九年级下学期期中数学试卷(含答案)，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列四个数中，比0小的数是（ ）
A．B．0C．1D．
2．二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反应季节的变化，指导农事活动．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．立定跳远动作中，从起跳到落地瞬间的几个身体相关关节的角度，对跳远成绩起着举足轻重的作用．如图是小李落地瞬间的动作及其示意图，若，．，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．估计的值在（ ）
A．0和1之间B．1和2之间
C．2和3之间D．3和4之间
6．如图，与位似，点O为位似中心，若，若的面积为3，则的面积为（ ）
A．6B．9C．12D．16
7．如图都是由同样大小的圆按一定规律摆出的图案，第①个图案有4个圆，第②个图案有9个圆，第③个图案有14个圆，…，依此规律，第7个图案圆的个数为（ ）
A．34B．35C．39D．40
8．如图，在菱形中，以点为圆心，为半径画弧，交线段于点，以为直径画半圆．若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
9．在正方形中，、分别为边、上两点，连接、，，延长交的延长线于点，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知，是常数，化简和的结果中的一次项系数分别为和，且．下列说法：
①若，则与互为相反数；
②若，则的最小值为；
③若，均为正整数，则有6个不相等的值．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
11．计算： ．
12．不透明的袋子中有1个红色小球，1个黑色小球，1个黄色小球，它们除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出一个球，则取到黑色小球为的概率为
13．如图，在等腰中，，是上一点，，，且，交于点，则的长度为 ．
14．若七边形的内角中有一个角为，则其余六个内角之和为 ．
15．某商品经过两次价格下调后，单价从元变为元，则该商品两次调价的平均降价率为
16．若关于的一元一次不等式组的解集是，且使关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值之和是 ．
17．如图，为的直径，弦于点H，点E为上一点，弧等于弧，过点C 作交于点G，交于点F．若， ，则 ， ．
18．我们规定：若各个数位上数字均不相同的四位自然数，被3除余1且被4除余1的数，则称为“一生一世数”．最小的“一生一世数”是 ；若一个“一生一世数”满足：各个数位上的数字之和是完全平方数，我们称这个数是“相伴一生一世数”，则最大的和最小的“相伴一生一世数”的和为 ．
三、解答题
19．计算：
(1)；
(2)先化简，再求值，其中．
20．在学习了矩形与菱形的相关知识后，思博小组进行了更深入的研究，他们发现：过菱形的顶点C作对角线的垂线，与过对角线的交点O作的平行线相交于一点E，则点E，C，O，D所构成的四边形是矩形，可利用平行四边形的性质和判定得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：
(1)如图，菱形的对角线交于点O，射线，用尺规过点C作的垂线，交 于点E，连接．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)已知：菱形的对角线交于点O，射线，交于点E，连接．求证：四边形是矩形．
证明：四边形是菱形，
∴，，．
又∵，
∴ ① ．
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴ ② ．
又：，
∴ ③ ．
又∵，
∴四边形是 ④ ·
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
进一步思考，如果四边形是正方形呢？请你模仿题中表述，补全结论：过正方形的顶点C作对角线的垂线，与过对角线的交点O作的平行线相交于一点E，则点E，C，O，D所构成的四边形是 ⑤ ．
21．今年“五一”期间，某地各景点盛况空前，为了解游客对水崖洞和长江汇两个景点的满意程度，小明从这两个景点的游客中各随机抽取了20名游客进行满意度问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（得分用x表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息：
水崖洞20份问卷调查的得分为：65，70，70，72，80，80，82，83，84，90，92，92，94，95，95，98，98，100，100，100．
长江汇20份问卷调查的得分在C组中的数据为：82，83，84，85，87，88，88．
两个景点得分统计表
长江汇得分扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中的______，_______，_______；
(2)根据以上数据分析，你认为游客对水崖洞还是长江汇更满意？请说明理由；（写出一条理由即可）
(3)已知“五一”期间到水崖洞的游客有80万人次，到长江汇的游客有60万人次，估计这些游客对景点非常满意（）的共有多少万人次？
22．某食品加工厂根据订单的需求会不定期采购A，B两种食材（单位：件），而两种食材的单价会根据市场变化波动．
(1)第一周，该食品加工厂花费6650元一次性采购A，B两种食材共100件，此时A，B两种食材的单价分别是50元、80元，求食品加工厂采购了A，B两种食材各多少件？
(2)第二周，由于采购价格发生了变化，食品加工厂分别花费1800元、3600元一次性购买A，B两种食材，已知采购B种食材的数量是A种食材数量的1.5倍，每件A种食材的单价比每件B种食材的单价少20元，求食品加工厂第二周采购A种食材多少件？
23．市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，②是其示意图，其中都与地面平行，车轮半径为，坐垫与点的距离为．（参考数据：
(1)求坐垫到地面的距离；
(2)小明的腿长为，根据经验，当坐垫到的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适，现将坐垫调整至坐骑舒适高度位置，求的长（结果精确到0.1）
24．如图，在中，，，于点D，动点E从点B出发，沿折线，到达点C时停止运动，设点E的运动路程为，连接，若的面积与点E的运动路程x的比值为，的面积为．
(1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，当时请直接写出函数时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．
25．如图，抛物线 （）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点D是抛物线的顶点，连接，点F是上方抛物线上一动点，过点作于点，过点作轴于点，点N是x轴上一动点．连接，当取得最大值时，求出点F的坐标及的最小值；
(3)如图2，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线的顶点，延长线交抛物线于点Q，点K为抛物线上一动点，当直线与直线所夹锐角为的两倍时，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程．
26．在中，点在直线的上方．
(1)如图1，，点在边上，且，若，求的长；
(2)如图2，点为外一点，，，，证明：；
(3)如图3，，，点是上一点，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当取得最小值时，请直接写出此时的面积．
参考答案
1．A
解：∵，
∴比0小的数是，
故选：A．
2．D
解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
3．B
解：、，该选项错误，不合题意；
、，该选项正确，符合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
故选：．
4．B
解：如下图：
，，
，
，
，
，
故选：B．
5．D
解：
；
∵，
∴，
∴，
∴估计的值在3和4之间，
故选：D．
6．C
解：∵，
∴，
∵与位似，点O为位似中心，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为3，
∴的面积为12，
故选：C．
7．A
解：由前面4个图案的情况可以得到排列规律为：
第1个图案圆的个数为：4×1+0=4个；
第2个图案圆的个数为：4×2+1=9个；
第3个图案圆的个数为：4×3+2=14个；
第4个图案圆的个数为：4×4+3=19个；
∴第n个图案圆的个数为：4×n+n-1=5n-1个；
∴第7个图案圆的个数为：5×7-1=34个；
故选：A．
8．D
解：如图作半圆的圆心，连接，并作于点，
，
，
，
为等边三角形，
∴，
，
，
，
在直角中，勾股定理可得：，
，
，
，
阴影部分的面积．
故选：D．
9．C
解：连接，，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，，
∴，
∵，
∴A、E、C、F四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
10．D
解：，
，
由题意得，，
∵，
∴，
∴，即，
①若，
∴，
整理得，
∴与互为相反数，①说法正确；
②若，
∴，
整理得，即，
∴，
∴，
∵，开口向上，
∴当，随的增大而增大，
∴当时，的最小值为，②说法正确；
③∵，均为正整数，，
∴或或或或或或，
解得或或或或或或，
当时，无意义，
∴或0或或或3或5，共有6个不相等的值，③说法正确．
综上，三个结论都是正确的，
故选：D．
11．3
解：，
故答案为：3．
12．
解：不透明的袋子中共有3个球，其中有1个黑球，
所以，从袋子中随机取出一个球，则取到黑色小球为的概率为，
故答案为：．
13．
解：如下图所示，过点作垂直于交于点，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
在和中，，
，
，
，，
，
．
14．/800度
解：∵七边形的内角中有一个角为，
∴其余六个内角之和为，
故答案为：．
15．
解：设平均每次调价的百分率为，则第一次调价后的价格是元，第二次调价后的价格是元，
根据题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去），
两次调价的平均降价率为．
故答案为：．
16．
解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
又不等式组的解集是，
，
解分式方程，
可得：，
关于的分式方程有非负整数解，
且为整数，
或或，
当时，，
此时，
是分式方程的增根，
或，
符合条件的所有整数的值之和是．
故答案为： ．
17． /
解：∵为的直径，弦，
∴，，
∵弧等于弧，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图所示，过点F作于Q，则，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
故答案为：；
18． 1045 10922
解：根据题意可知“一生一世数”是12的倍数余1，即，
当时，，不符合题意舍去；
当时，，不符合题意舍去；
当时，，不符合题意舍去；
当时，，符合题意；
所以最小的“一生一世数”是1045；
由上述可知：
当时，，，不符合题意；
当时，，，不符合题意；
当时，，，符合题意，
所以最小的“相伴一生一世数”是1069；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，，不符合题意；
当时，，，符合题意，
所以最大的“相伴一生一世数”是9853，
所以最大的和最小的“相伴一生一世数”的和是．
故答案为：1045，10922．
19．(1)
(2)化简得，求值得
（1）解：
；
（2）解：
，
将代入，得原式．
20．(1)详见解析
(2)详见解析
（1）解：如图即为所求，
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
，
∴四边形是矩形．
进一步思考，如果四边形是正方形呢？请你模仿题中表述，补全结论：过正方形的顶点C作对角线的垂线，与过对角线的交点O作的平行线相交于一点E，则点E，C，O，D所构成的四边形是正方形．
故答案为：；；；平行四边形；正方形；
如图，
证明：∵四边形是正方形，
∴，，．
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形．
21．(1)
(2)我认为游客对水崖洞更满意，理由见解析
(3)这些游客对景点非常满意的共有万人次
（1）解：出现最高次数为3次，所以众数，
D组数据个数为：，
C组中的数据为：82，83，84，85，87，88，88，
故中位数，
B组中的数据占总体的比例为：，
故，
故答案为：；
（2）解：我认为游客对水崖洞更满意，理由如下；
根据数据中平均数相等，当水崖洞的中位数大于长江汇的中位数，
故对水崖洞更满意的人数会比长江汇的人数多，结合中位数与平均数来分析，我认为游客对水崖洞更满意；
（3）解：到水崖洞非常满意的游客有：万人次，
到长江汇非常满意的游客有：万人次，
所以这些游客对景点非常满意的共有万人次．
22．(1)食品加工厂采购了A种食材45件，B种食材55件
(2)食品加工厂第二周采购A种食材30件
（1）解：设食品加工厂采购了A种食材x件，B种食材y件
解得：
答：食品加工厂采购了A种食材45件，B种食材55件．
（2）解：设食品加工厂第二周采购A种食材m件，则B种食材采购件，则
解得，
经检验，是原分式方程的解．
答：食品加工厂第二周采购A种食材30件．
23．(1)
(2)
（1）解：如图，过点作，垂足为，
根据题意可知，，，
在中，，
所以坐垫到地面的距离为，
答：坐垫到地面的距离约为．
（2）如图，由题意得，当时，人骑行最舒服，
在中，，
所以，
答：的长约为．
24．(1)，
(2)见解析
(3)
（1）解：∵在中，，，于点D，
∴，
∴，
∴，即；
如图，点E在上时，过点D作于H，则，
∵，
∴，
∴；
同理：可得当点P在上时，．
综上所述，．
（2）解：列表如下：
如图所示函数图象即为所求；
由函数图象可知，当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大．
（3）解：联立：解得：或，
∴当时，与交点的横坐标为或，
∴由函数图象可得：当时，函数时x的取值范围为：．
25．(1)
(2)，的最小值为
(3)或
（1）解：令，则，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
上述两点坐标分别代入抛物线，
得：，
解得：，
∴；
（2）解：如图，过点作轴，交于点，交轴于点，设抛物线对称轴交轴于点，过点在轴下方作，过点作于点，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，，
∴，
∵轴，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
设，则，
则，，
则，
∵，
∴当时，最大，
此时，
则此时，
∵， ，
∴，
∴，
由点到直线的最短距离可得当、、依次共线，且时，最短，即最小，此时为如图的，设交轴于点，
由，得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即最小值为；
（3）解：∵抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，的顶点为，
∴新抛物线的解析式为，
设直线解析式为，
代入，，
得：，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：或，
∴，
如图，在直线上取一点，使得，
则，
∴，
则直线与抛物线的另一交点即为点，
设，
则，，
∴，
解得：，
∴，
设直线解析式为，
代入，，
得：，
解得：，
∴直线解析式为，
联立抛物线，得，
解得：（舍），，
故点的横坐标为；
如图，利用对称性在直线上取另一点，使得，
则，
则直线与抛物线的另一交点即为点，
设，
则，，
∴，
解得：（舍），，
∴，
设直线解析式为，
代入，，
得：，
解得：，
∴直线解析式为，
联立抛物线，得，
解得：（舍），，
故点的横坐标为；
综上所述，点的横坐标为或．
26．(1)
(2)见解析
(3)
（1）解：设，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，即，
解得或（不符合题意，舍去），
∴，
∴，
∴．
（2）解： 如图，在取一点，使得，
∵，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
（3）将绕点旋转，得到，取的中点，连接，则：，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点在以为直径的圆上，
∴，，
∴当三点共线时，取得最小值为，
∵，
∴，
在中，，
∴的最小值为，
过点作，
则：，
∴，
∴．
景点
平均数
众数
中位数
方差
水崖洞
87
a
91
121
长江汇
87
95
b
119.8
x
…
1
2
…
…
x
…
1
6
…
0
…
x
…
1
2
…
6
3
…