安徽省宿州市第十一中学2024-2025学年八年级上学期第二次月考数学试卷

这是一份安徽省宿州市第十一中学2024-2025学年八年级上学期第二次月考数学试卷，共20页。试卷主要包含了 下面三组数中是勾股数的一组是， 下列说法中正确的有等内容，欢迎下载使用。
1. 下面三组数中是勾股数的一组是（ ）
A. B.
C. D.
2. 直角三角形的两条直角边的比为，斜边长为cm，则较长的直角边的长为（ ）
A. 10cmB. cmC. cmD. cm
3. 如图，左边是一个正方形，则此正方形的面积是（ ）
A 1B. 3C. 6D. 9
4. 如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）．
A. 8米B. 10米C. 12米D. 14米
5. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,以点A为圆心,AC长为半径作圆弧交边AB于点D. 若AC=3,BC=4.则BD的长是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
6. 如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A. B. C. D.
7. 我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a、b，那么 的值为（ ）.
A. 49B. 25C. 13D. 1
8. 如图，一架25分米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底部7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯子的底端将向外平滑（ ）
A. 9分米B. 15分米C. 5分米D. 8分米
9. 下列说法中正确的有（ ）
（1）如果：：：：，则是直角三角形；
（2）如果，那么直角三角形；
（3）如果三角形三边之比为：：，则是直角三角形；
（3）如果三边长分别是，，，则是直角三角形．
A. 个B. 个C. 个D. 个
10. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为．则的面积为 （ ）
A. B. C. D.
二．填空题：（每小题3分，共21分）
11. 如图，点E在正方形内，满足，，，则阴影部分的面积是 _______．
12. 如图所示，以直角三角形ABC的三边向外作正方形，其面积分别为，且，则____ ．
13. 如图，中，，则底边上的高_________．
14. 一座桥横跨一江，桥长，一艘小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头，则小船实际行驶______．
15. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是__
16. 直角三角形两条直角边长分别是6和8，则斜边上的高为________．
17. 如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_____cm．
三．解答题：
18. 如图，台风过后，某希望小学的旗杆在离地面某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部处，已知旗杆原长，你能求出旗杆在离底部什么位置折断吗？请说明理由
19. 如图，已知在中，于，，，．
（1）求的长
（2）是直角三角形吗？请说明理由
20. 某中学有一块四边形的空地，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要元，问学校需要投入多少资金买草皮？
21. 如图，甲乙两船从港口同时出发，甲船以16海里时速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，3小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．若、两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？
22. 如图，一个三级台阶，它每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？
23. 如图，小亮将升旗绳子拉到杆底端，绳子末刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面．请你求出杆的高度（滑轮上方的高度忽略不计，解题时请在图中标注字母）

24. 直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线对折，使它落在斜边上，且与重合，求的长．
八年级数学
一．选择题：（每小题3分，共30分）
1. 下面三组数中是勾股数的一组是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查勾股数，勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，据此判断即可．
【详解】解：A，不是正数，因此不是勾股数，不合题意；
B，不是整数，因此不是勾股数，不合题意；
C，，因此是勾股数，符合题意；
D，，因此不是勾股数，不合题意；
故选C．
2. 直角三角形的两条直角边的比为，斜边长为cm，则较长的直角边的长为（ ）
A. 10cmB. cmC. cmD. cm
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设直角三角形的两条直角边分别为，则斜边长为：，可得，即可求解；
【详解】解：设直角三角形的两条直角边分别为，
则斜边长为：，
∴
解得：，
∴较长的直角边的长 cm，
故选：D
3. 如图，左边是一个正方形，则此正方形的面积是（ ）
A. 1B. 3C. 6D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求得正方形的边长，即可求得正方形的面积．
【详解】解：根据题意正方形的面积是：，
故选：D
4. 如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）．
A. 8米B. 10米C. 12米D. 14米
【答案】B
【解析】
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】解：如图，设大树高为米，
小树高为米，
过点作于，则是矩形，
连接，
米，米，米，
在中，米，
故选：B．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理的应用．
5. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,以点A为圆心,AC长为半径作圆弧交边AB于点D. 若AC=3,BC=4.则BD的长是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出AB，再根据线段的和差即可求出BD.
【详解】∵Rt△ABC中,∠ACB=90∘, AC=3,BC=4.
∴AB=
依题意知AD=AC=3，∴BD=2,
故选A.
【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的使用.
6. 如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
【详解】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度==12，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯长度至少是12+5=17（米）．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．
7. 我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a、b，那么 的值为（ ）.
A. 49B. 25C. 13D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方25，也就是两条直角边的平方和是25，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab=12，据此即可得结果.
【详解】
根据题意，结合勾股定理a2+b2=25，
四个三角形的面积=4×ab=25-1=24，
∴2ab=24，
联立解得：（a+b）2=25+24=49．
故选A.
8. 如图，一架25分米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底部7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯子的底端将向外平滑（ ）
A. 9分米B. 15分米C. 5分米D. 8分米
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用．掌握直角三角形三边之间满足两直角边的平方和等于斜边的平方是解决此题的关键．注意：整个过程中，梯子的长度不变．
先利用勾股定理求出，再根据顶端下滑4分米求出，根据勾股定理求出，即可得出底部平滑的距离．
【详解】解：在中，根据勾股定理
分米，
当梯子的顶端沿墙下滑4分米时，梯子的顶部距离墙底端距离：分米，
在中根据勾股定理
分米，
则梯子的底部将向外平滑距离：分米．
故选：D
9. 下列说法中正确的有（ ）
（1）如果：：：：，则是直角三角形；
（2）如果，那么是直角三角形；
（3）如果三角形三边之比为：：，则是直角三角形；
（3）如果三边长分别是，，，则是直角三角形．
A 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】根据直角三角形的判定以及勾股定理逆定理进行分析，从而得到答案．
【详解】解：（1）不正确，中最大角为，则不是直角三角形；
（2）正确，因为，，则，则是直角三角形；
（3）正确，设三边分别为，，，则有，则是直角三角形；
（4）正确，因为，，则是直角三角形；
所以正确的有三个，,
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理的逆定理和有一角为的三角形为直角三角形是解题的关键．．
10. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为．则的面积为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题根据折叠的性质，得到，设，在中，利用勾股定理求出的长，利用面积公式求出的面积即可．
【详解】解：∵四边形为长方形，
∴，
∵折叠，
∴，
设，则：，
在中，，即：，
解得：；
即：，
∴的面积为．
故选：A．
二．填空题：（每小题3分，共21分）
11. 如图，点E在正方形内，满足，，，则阴影部分的面积是 _______．
【答案】76
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．根据题意求出，根据即可得到答案．
【详解】解：在中，，
由勾股定理得：，
正方形的面积是，
的面积是，
阴影部分的面积是，
故答案为：76．
12. 如图所示，以直角三角形ABC的三边向外作正方形，其面积分别为，且，则____ ．
【答案】12
【解析】
【分析】由正方形的面积公式可知，在Rt△ABC中，由勾股定理得，即，由此可求．
【详解】解：∵=4，
∴=4，
∵=8，
∴=8，
∴在Rt△ABC中，+=4+8=12=AB²，
∴=AB²=12．
故答案为12．
【点睛】本题考查了勾股定理及正方形面积公式的运用，解题关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积，难度一般．
13. 如图，中，，则底边上的高_________．
【答案】8
【解析】
【分析】先根据等腰三角形的性质得到，再根据勾股定理即可求出．
【详解】解：∵，为底边上的高，
∴，，
∴．
故答案为：8
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质“三线合一”和勾股定理的应用，熟知两个知识点并结合图形灵活应用是解题关键．
14. 一座桥横跨一江，桥长，一艘小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头，则小船实际行驶______．
【答案】##13米
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，桥长、船的航行距离及船到南岸时偏离桥南头的距离构成一直角三角形，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：由题意可知，桥长、船的航行距离及船到南岸时偏离桥南头的距离构成一直角三角形，如下图所示：
结合图形，可知桥长，船到南岸后，偏离桥南头的距离，
小船实际行驶的距离，
故答案为：
15. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是__
【答案】7或25
【解析】
【分析】已知的这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边，从而分两种情况进行讨论解答．
【详解】解：直角三角形的两边长分别为3和4，分两种情况：
当3、4都为直角边时，第三边长的平方；
当3为直角边，4为斜边时，第三边长的平方．
故答案为：7或25．
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
16. 直角三角形的两条直角边长分别是6和8，则斜边上的高为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，三角形面积公式，根据勾股定理得出斜边长为，再根据面积相等，即可得出斜边上的高．
【详解】解：根据勾股定理可得：斜边长为，
根据面积相等，设斜边上高为，则，
解得：，
故答案为：．
17. 如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_____cm．
【答案】10
【解析】
【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【详解】解：将长方体展开，连接A、B′，
∵AA′=1+3+1+3=8（cm），A′B′=6cm，
根据两点之间线段最短，AB′==10cm．
故答案为：10
三．解答题：
18. 如图，台风过后，某希望小学的旗杆在离地面某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部处，已知旗杆原长，你能求出旗杆在离底部什么位置折断吗？请说明理由
【答案】旗杆在离底部米处的位置折断，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设旗杆在离底部米处的位置折断，由图可知，据此即可求解．
【详解】解：设旗杆在离底部米处的位置折断，
由图可知：，
解得：
即：旗杆在离底部米处的位置折断．
19. 如图，已知在中，于，，，．
（1）求的长
（2）是直角三角形吗？请说明理由
【答案】（1）
（2）是直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）先由勾股定理计算出、的长，再由计算即可得解；
（2）由勾股定理逆定理判断即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：是直角三角形，理由如下：
∵，
∴是直角三角形．
20. 某中学有一块四边形的空地，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要元，问学校需要投入多少资金买草皮？
【答案】元
【解析】
【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理的定义是解题的关键，连接，先利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，然后求出四边形的面积，最后进行求即可得到答案．
【详解】解：连接，如图：
∵，， ，
∴由勾股定理得：，
∵在中，，，
∴，
∴直角三角形，
∴四边形的面积，
∴投入资金为：（元），
答：学校需要投入元资金买草皮．
21. 如图，甲乙两船从港口同时出发，甲船以16海里时速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，3小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．若、两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？
【答案】乙船航速是12海里/时．
【解析】
【分析】根据甲船和乙船航行的角度，可知∠CAB＝90°，用勾股定理即可求出AB的长度，最后求出乙船的速度即可．
【详解】解：∵甲船沿北偏东40°方向航行，乙船沿南偏东50°方向航行，
∴∠CAB＝90°，
在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，
∵AC＝16×3＝48，BC＝60，
∴AB36，
∴乙船的航速是36÷3＝12海里/时，
答：乙船的航速是36÷3＝12海里/时．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练的掌握“在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边大的平方”是解题的关键．
22. 如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？
【答案】25
【解析】
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：如图所示，
∵三级台阶平面展开图长方形，长为20，宽为（2+3）×3=15，
∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长，
由勾股定理得：，
则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是25.
【点睛】本题考查了平面展开中的最短路径问题，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键．
23. 如图，小亮将升旗的绳子拉到杆底端，绳子末刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面．请你求出杆的高度（滑轮上方的高度忽略不计，解题时请在图中标注字母）

【答案】
【解析】
【分析】过点P作于D，设旗杆高度为x米，则米，在中利用勾股定理建立方程即可求解．
【详解】解：如图，过点P作于D，
设旗杆高度为x米，
由题意知，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
在中，，
即，
解得：；
答：旗杆高度为．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，矩形的判定，作辅助线构造直角三角形是关键．
24. 直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线对折，使它落在斜边上，且与重合，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关的知识．先根据勾股定理求出，由折叠可得：，，，进而求出，设，则，在中，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：两直角边，，
，
由折叠可得：，，，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
．