河南省南阳市2023-2024学年高一下学期期末质量评估数学试题

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一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（ ）
A．B．C．D．
2．已知：，其中为虚数单位，则（ ）
A．1B．C．D．2
3．如图是底面半径为1的圆锥，将其放倒在水平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在水平面内首次转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则滚动过程中该圆锥上的点到水平面的距离最大值为（ ）
A．B．2C．D．
4．已知：，，，若，则与的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
5．在平面直角坐标系中，平面向量，将绕原点逆时针旋转得到向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，一个三棱锥容器的三条侧棱上各有一个小洞，，，经测量知，这个容器最多可盛原来水的（ ）
A．B．C．D．
7．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是（ ）
A．函数的对称中心为
B．若，则的最大值为
C．若，且，则圆心角为，半径为3的扇形的面积为
D．若，则
8．如图，在直角梯形中，已知，，，，现将沿折起到的位置，使二面角的大小为45°，则此时三棱锥的外接球表面积是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9．下列有关复数内容表述正确的是（ ）
A．若复数满足，则一定为纯虚数
B．对任意的复数均满足：
C．设在复数范围内方程的两根为，，则
D．对任意两个复数，，若，则，至少有一个为0
10．已知函数，且，则（ ）
A．B．函数是偶函数
C．函数的图像关于直线对称D．函数在区间上单调递减
11．如图，在正三棱锥中，底面边长为，侧棱长为，点，分别为侧棱，上的异于端点的动点.则下列说法正确的是（ ）
A．若，则不可能存在这样的点，使得
B．若，，则
C．若平面，则
D．周长的最小值是
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．已知向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是___________.
13．如图，在中，，，，的角平分线交于，交过点且与平行的直线于点，则___________.
14．设为函数图象上任意一点，则的最大值是___________.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（本小题满分13分）
（1）已知复数满足，求；
（2）设，复数在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围.
16．（本小题满分15分）
已知为锐角，为钝角，且，.
（1）求的值；
（2）求的值.
17．（本小题满分15分）
在中，，.
（1）求证：；
（2）若，，求的值.
18．（本小题满分17分）
如图，平面，底面为矩形，，点是棱的中点.
（1）求证：；
（2）若，分别是，上的点，且，为上任意一点，试判断：三棱锥的体积是否为定值？若是，请证明并求出该定值；若不是，请说明理由.
19．（本小题满分17分）
已知在中，角，，所对应的边分别为，，.圆与的边及，的延长线相切（即圆为的一个旁切圆），圆与边相切于点.记的面积为，圆的半径为.
（1）求证：；
（2）若，，
①求的最大值；
②当时，求的值.