初中数学平面直角坐标系单元测试练习

这是一份初中数学平面直角坐标系单元测试练习，共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
苏科版（2024）八年级上册 第 4 章 平面直角坐标系 单元
测试
一、选择题
1 ．如图，小蓓要赶上去实践活动基地的校车，她从点A 知道校车自点B 处沿x 轴向原点O 方向匀速驶来，去截汽车．若点A 的坐标为(2, 3) ，点B 的坐标为(8, 0) ，则小蓓最快截住汽 车的坐标为( )
A ．(3, 0) B ．(5.5,0) D ．(7.5, 0)
2 ．已知点A (1- m, 2 - m) 在第三象限，则m 的取值范围是( )
A ．m > 3 B ．2 < m < 3 C ．m>2 D ．m < 2
3 ．已知点P(3a - 2, a + 6) 到两坐标轴的距离相等，那么a 的值为( )
A ．4 B ．-6 C ．-1或 4 D ．-6 或
4 ．已知点A(3a, 2b) 在x 轴上方，在y 轴左侧，则点A 到x 轴、y 轴的距离分别为( )
A ．3a, -2b B ．-3a, 2b C ．2b, -3a D ．-2b, 3a
5 ．中山公园位于天安门西侧，原为辽、金时的兴国寺，元代改名万寿兴国寺．明成祖朱棣 兴建北京宫殿时，按照“左祖右社”的制度，改建为社稷坛．这里是明、清皇帝祭祀土地神和 五谷神的地方．1914 年辟为中央公园．为纪念孙中山先生，1928 年改名中山公园．如图是 中山公园平面图，其中点A 是孙中山先生像，点B 是来今雨轩，点C 是中山堂．分别以水平 向右、竖直向上的方向为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，下列对各景点位置描述：
① 若A 的坐标为(0, 0) ，B 的坐标为(-6,3.5)，则C 的坐标约为(-2,5.5)：
② 若A 的坐标为(1, 2) ，B 的坐标为(-5,5.5) ，则C 的坐标约为(-1, 7.5)；
③ 若A 的坐标为(0, 0) ，B 的坐标为(-12, 7) ，则C 的坐标约为(-8,9)；
④ 若A 的坐标为(1, 2) ，B 的坐标为(-11,9)，则C 的坐标约为(-3,13) ． 其中正确的描述有( )
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
6 ．在平面直角坐标系中，点A(1,3 - a )到 x 轴的距离是 3，则 a 的值是( )
A ．6 B ．0 C ．±6 D ．0 或 6
7 ．如图， △ABC 在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标依次为(-3，4) ，(-5，1) ，
(-2，2)，把 △ABC 沿x 轴向右平移 4 个单位长度，再沿y 轴向上平移 2 个单位长度，得到
△A¢B ¢C ¢ ,则点 B 的对应点B¢ 的坐标是( )
A ．(-1，3) B ．(-9，3) C ．(-1，- 1) D ．(1，6)
8 ．若方程xm+2 - 2yn-1 = 8 是关于x, y 的二元一次方程，则点P(m, n ) 在平面直角坐标系中的 象限是( )
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
9 ．在平面直角坐标系中，把△ABC 先沿 x 轴翻折，再向右平移 3 个单位，得到△A1B1C1，
把这两步操作规定为翻移变换，如图，已知等边三角形 ABC 的顶点 B ，C 的坐标分别是
（1 ，1），（3 ，1）．把△ABC 经过连续 3 次翻移变换得到△A3B3C3 ，则边 BC 中点的对应点的 坐标是( )
A ．（11 ，1） B ．（-11 ，1） C ．（11 ， -1） D ．（-11 ，-1）
10．如图，在 △OAB 中，已知OA = OB = 4 ，上AOB = 120° . 点 C 为OB 的中点，过点 C 作CD 丄 y 轴，垂足为 D ．将 △OCD 向右平移，当点 C 的对应点C¢ 落在AB 边上时，点 D 的对应点D¢ 的坐标为( )
A ．(2, ) B ．(2, ) C ．(3, ) D ．(3, )
11 ．在平面直角坐标中，点A(1, 2) 平移后的坐标是A¢ (-3,3) ，按照同样的规律平移其它点， 则下列符合这种变换要求是( )
A ．(3, 2) → (4, -2) B ．(-1, 0) → (-5, -4)
→ D ．(1.2,5) → (-3.2, 6)
12 ．如图，在正方形OABC 中，点 B 的坐标是(12，12)，点 E、F 分别在边BC、BA 上（不与 线段端点重合）， OF = 13 ，若 EO 平分 Ð CEF ．则 E 点的横坐标是( )
A ．5 B．
84
17
C．
D ．6
二、填空题
13 ．在平面直角坐标系xOy 中，点M在第四象限，距离x 轴5 个单位长度，距离y 轴 8 个 单位长度，则点M 的坐标为 ．
14 ．若点M(a + 5, a - 2) 在y 轴上，则a =
15 ．在平面直角坐标系中，若点P(a +2, -1) 到两坐标轴的距离相等，则 a 的值为 ．
16 ．点A(-5, 4) ，B 在平面直角坐标系中，且AB Ⅱ y 轴．若 △ABO 的面积为 5，则点 B 坐标 为 ．
17．两个边长为4 的正六边形按如图方式放置在平面直角坐标系中，则A 点的坐标为 ．
三、解答题
18 ．在如图所示的平面直角坐标系中，
(1)描出 A（-3 ，-2）、B（2 ，-2）、C（-2 ，1）、D（3 ，1）四个点．
(2)线段 AB 、CD 有什么位置关系和数量关系？
(3)顺次连接 A ，B ，D ，C 四点，求四边形 ABDC 的面积．
19 ．在图中，确定点 A 、B 、C、D 、E、F、G 的坐标．
20．这是一个动物园游览示意图，彤彤同学为了描述这个动物园图中每个景点位置，她建了 一个平面直角坐标系，南门所在的点为坐标原点，狮子所在点的坐标为(-4,5) 回答下列问题：
(1)分别用坐标表示飞禽、马所在的点：______ ，______；
(2)动物园又新来了一位朋友大象，若它所在点的坐标为(3, -2) ，请直接在图中标出大象所 在的位置；
(3)若丽丽同学建了一个和彤彤不一样的平面直角坐标系，在丽丽建立的平面直角坐标系下， 飞禽所在的点的坐标是(-1,3) ，则此时坐标原点是______所在的点，此时南门所在的点的坐 标是______．
21 ．如图，在平面直角坐标系中，OA2 = A2 A4 = A4 A6 = A6 A8 = A8 A10 = A10 A12 = =… 2 ，三角形 OA1A2 ，三角形A4 A5 A6 ，三角形A8 A9 A10 ， … 都是等边三角形；三角形A2 A3A4 ，三角形A6 A7 A8 ， 三角形A10 A11A12 ，三角形 A14 A15 A16 ， …都是等腰直角三角形．
(1)直接写出下列点的坐标：
A19 的坐标为______ ；A20 的坐标为______ ；A2023 的坐标为______ ；A2024 的坐标为______．
(2)n 是正整数，用含 n 的式子表示下列坐标： An 的横坐标为______ ；A4n+3 的坐标为______．
22 ．如图 1，已知长方形 ABCD 中，AB = CD = 6cm, AD = BC = 8cm ，连结 BD ，动点 P 从 点 A 出发，以2cm/s 的速度沿A → B → C 的方向运动向终点 C 运动，连结PD ．设 P 点运动 的时间为 t（秒）
(1)当t = 2 时，BP = _____ cm ；当 t = 4 时，BP = ______ cm ．
(2)在点 P 的运动过程中，当PD 平分△ABD 或△BCD 的面积时，求 t 的值．
(3)如图 2，当点 P 不与点 B 重合时，作点 P 关于BD 的对称点P¢ ,分别连结 BP¢, DP¢
①当DP ¢ 最短时，直接写出此时四边形PBP¢D 的面积；
②当四边形PBP¢D 的面积是长方形ABCD 的面积时，直接写出 t 的值．
1 ．C
【分析】本题考查勾股定理在实际生活中的运用，根据题意画出图形的能力 ．在D 点小蓓 与汽车相遇，则小蓓的行进路线为AD ，设 OD= x ，在 Rt△ACD 中，AD 为斜边，已知 AC ，CD ，即可求 AD ，且 BD = OB - OD = 8 - x ，根据 BD = AD 的等量关系可以求得x ， 即可求相遇点D 的坐标．找到BD = AD 并且根据其求D 点坐标是解题的关键．
【详解】解：如图，设在 D 点小蓓与汽车相遇，且设OD= x ，过点 AC 丄 x 轴， : BD = AD ， Ð ACD=90。，
: A 的坐标为(2, 3)，点 B 的坐标为(8, 0)，
: AC = 3 ，OC = 2 ，CD = x - 2 ，BD = OB - OD = 8 - x ， ,在 Rt△ACD 中，
解得： ，
:点D 坐标为 ．
故选：C．
2 ．C
【分析】本题考查了第三象限点的坐标特征， 解一元一次不等式组，根据第三象限点的坐标 特征列出不等式组，分别求出每一个不等式的解集，再取公共部分即可．
ì1- m < 0
【详解】解：由题意得： íl2 - m < 0 ， 解得：m>2 ，
故选：C．
3 ．C
【分析】本题考查了点到坐标轴的距离与坐标的关系，解答本题的关键在于得出 3a - 2 = a + 6 ，注意不要漏解．
由点P(3a - 2, a + 6) 到两坐标轴的距离相等可得出 3a - 2 = a + 6 ，求出 a 的值即可． 【详解】解：∵点P(3a - 2, a + 6) 到两坐标轴的距离相等，
: 3a - 2 = a + 6
: 3a - 2 = a + 6 或3a - 2 = - (a + 6)
: a = 4 或a = -1 ．
故选 C．
4 ．C
【分析】本题主要考查点的坐标的几何意义， 到 x 轴的距离就是纵坐标的绝对值，到y 轴的 距离就是横坐标的绝对值．应先判断出点 A 的横纵坐标的符号，进而判断点 A 到 x 轴、y 轴 的距离．
【详解】解：Q 点A(3a, 2b) 在 x 轴上方， : 点 A 的纵坐标大于 0，得到 2b > 0 ，
: 点 A 到 x 轴的距离是2b ；
Q 点A(3a, 2b) 在y 轴的左边，
: 点 A 的横坐标小于 0，即 3a < 0 ， : 点 A 到y 轴的距离是-3a；
故选：C．
5 ．C
【分析】对于 ① ② , 每个格子距离为 1，对于 ③ ④, 每个格子距离为 2，再平移点即可得 出结论．
【详解】解：点 A 与点B 水平距离为 6 格，竖直距离为3.5 格， 点A 与点C 水平距离为 2 格，竖直距离为5.5 格，
对于 ① ,若A(0, 0) ，每个格子距离为 1 时，则C 的坐标为(-2, 5.5) ，故 ① 正确；
对于 ② ,若 A(1, 2) ，每个格子距离为 1 时，则C 的坐标为(-1, 7.5)，故 ② 正确；
对于 ③ ,若 A(0, 0)，每个格子距离为 2 时，则C 的坐标约为(-4, 11) ；故 ③ 错误；
对于 ④ ,若 A(1, 2) ，每个格子距离为 2 时，则C 的坐标约为(-3,13) ．故 ④ 正确． 一共有 3 个正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查坐标轴的识别问题，关键是以所给点，确定坐标轴，考虑间距问题， 即可求解．
6 ．D
【分析】本题考查了点的坐标， 熟记点到 x 轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键．根 据点到 x 轴的距离等于纵坐标的绝对值可得到3 - a = 3 ，进而求出 a 的值．
【详解】解：因为点 A(1, 3 - a )到 x 轴的距离是 3，
所以 3 - a = 3 ，
解得a = 0 或a = 6 ．
故选：D．
7 ．A
【分析】利用平移的性质即可求解．
【详解】解：∵ B (-5，1) ，沿x 轴向右平移 4 个单位长度，再沿y 轴向上平移 2 个单位长度， :点B¢ 的坐标是(-5 + 4，1+ 2)，即 (-1，3) ．
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变化－平移，掌握平移的性质是解题的关键．
8 ．B
【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，判断点所在的象限，只含有两个未知数，且 含未知数的项的次数为 1 的整式方程叫做二元一次方程，据此求出 m 、n 的值，再根据每个 象限内点的横纵坐标的符号特点进行求解即可．
【详解】解：∵方程xm+2 - 2yn-1 = 8 是关于x, y 的二元一次方程， : m + 2 = 1，n - 1 = 1 ，
: m = -1，n = 2 ，
: P (m, n ) ，即P(-1, 2) 在第二象限，
故选；B．
9 ．C
【分析】根据平移和对称变换，点坐标的变化规律可得答案． 【详解】解：:B ，C 的坐标分别是（1 ，1），（3 ，1），
:BC 中点的坐标为（2 ，1），
:把△ABC 先沿 x 轴翻折，再向右平移 3 个单位得到△A1B1C1，
:经过 1 次翻移变换，BC 中点的对应点的坐标是（2+3 ，-1），即（5 ，-1）， 经过 2 次翻移变换，BC 中点的对应点的坐标是（5+3 ，1），即（8 ，1）
经过 3 次翻移变换，BC 中点的对应点的坐标是（8+3 ，-1），即（11 ，-1）
故选：C．
【点睛】此题考查点的坐标变化， 解答本题的关键是读懂题意，知道翻移变换的定义，利用 对称和平移的特点，找出规律解决问题．
10 ．B
【分析】题目主要考查坐标与图形，等腰三角形的性质及含 30 度角的性质，图形的平移， 根据题意作出相应图形，然后求解是解题关键．
根据等腰三角形和含30° 的直角三角形的性质得点D 的坐标为，作C¢E 丄 x 轴于点E ， 则 所以 ，所以OE = 4 - 3 = 1 ，可知将 △OCD 是向右平移了 2 个单位长度，根据平移法则即可求出答案．
【详解】解：QOA = OB = 4 ，上AOB = 120° ,点C 为OB 的中点，
:上B = 上A = 30° , OC = 2 ， Q 上AOD = 90° ,
:上COD = 30° ,
: 点D 的坐标为 ，
将 △OCD 向右平移，当点C 的对应点C¢ 落在AB 边上时，点D 的对应点D¢ , 如图，作C¢E 丄 x 轴于点E ，
: OE = 4 - 3 = 1，
:将 △OCD 是向右平移了2 个单位长度， : 点D 的对应点D¢ 的坐标为(2, ) ． 故选：B．
11 ．C
【分析】先找到点 A 的平移规律，再分别按照相同的规律判断选项即可
【详解】解： 由点A(1, 2) 平移后的坐标是A¢ (-3, 3) 的平移规律是：向左平移 4 个单位，向上 平移 1 个单位，
解：A ．(3, 2) 按照相同的规律平移得到(-1, 3)，故选项错误，不符合题意；
B ．(-1, 0) 按照相同的规律平移得到(-5, 4) ，故选项错误，不符合题意；
C ． 按照相同的规律平移得到 ，故选项正确，符合题意；
D ．(1.2, 5) 按照相同的规律平移得到(-3.8, 6)，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了点的平移，准确找到点 A 的平移规律是解题的关键．
12 ．B
【分析】过点 O 作OH 丄 EF 于点H ，结合点 (12，12) 和正方形的性质可得
OC = BC = AB = OA = 12 ， 上OCE = 上OAB = 90。，在 Rt△AOF 中， 由勾股定理解得 AF 的值， 进而确定BF 得值；再根据角平分线的性质可得OH = OC ，进而证明RtOCE≌Rt △OHE ，
RtOFH≌Rt △OFA ，由全等三角形的性质可得 EH = CE ，HF = AF ，设 CE= x ，则
EH = CE = x ，BE = 12 - x ，EF = x + 5 ，然后根据勾股定理得到方程
(x + 5)2 = (12 - x ) 2 +72 ，解得x 的值，得 ，即可确定 E 点的横坐标．
【详解】解：如下图，过点 O 作OH丄 EF 于点H ，
∵四边形OABC 为正方形，点B 的坐标是(12,12) ， : OC = BC = AB = OA = 12 ，上OCE = 上OAB = 90。， ∵ OF = 13 ，
:在Rt△AOF 中 : BF = AB - AF = 7 ，
∵ OH 丄 EF ，上OCE = 90。，EO 平分 Ð CEF ， : OH = OC = 12 ，
又∵OE = OE ，
: RtOCE≌Rt △OHE (HL)， : EH = CE ，
∵ OA = OC = OH ，OF = OF ， : RtOFH≌Rt △OFA (HL)
: HF = AF = 5 ，
设CE = x ，则 EH = CE = x ，BE = BC - CE = 12 - x ， : EF = EH + FH = x + 5 ，
在Rt△BEF 中，由勾股定理得EF2 = BE 2 +BF2 ， : (x + 5)2 = (12 - x ) 2 +72
解得 ，
: E 点的横坐标是 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、正方形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的 判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
13 ．(8, -5)
【分析】本题考查了各象限点的坐标的符号特征，根据点到 x 轴的距离是纵坐标的绝对值， 点到y 轴的距离是横坐标的绝对值，各象限点的坐标特征，可得答案．
【详解】解：Q 点M在第四象限，
: 点 M 的横坐标大于零，纵坐标小于零，
Q距离x 轴5 个单位长度，距离y 轴 8 个单位长度， : 点M 的坐标为(8, -5) ，
故答案为：(8, -5) ．
14 ．-5
【分析】此题考查了平面直角坐标系中点的规律，根据在 y 轴上的点的横坐标是 0 得到 a + 5 = 0 ，即可得到答案．
【详解】解：∵点M(a + 5, a - 2) 在y 轴上， : a + 5 = 0
: a = -5
故答案为：-5 ．
15 ．-1或-3
【分析】本题考查平面直角坐标系，根据“点到两坐标轴的距离相等”即可求解． 【详解】解：∵点P(a +2, -1) 到两坐标轴的距离相等，
: a + 2 = -1 ，
: a + 2 = -1或a + 2 = 1 ， 解得a = -3 或a = -1 ， 故答案为：-1或-3 ．
16 ．(-5, 6) 或(-5,2)
【分析】本题考查坐标与图形，由题意根据线段 AB Ⅱ y 轴，则A 、B 两点横坐标相等，设 B (-5, y) ，即可得 AB = y - 4 ，根据S△ 确定B 点坐标即
可．
【详解】解：∵ ABⅡy 轴，A (-5, 4)， :设B(-5, y) ，即，AB = y - 4 ．
∵ △ABO 的面积为 5，
: y = 6 或 y = 2 ，
:点 B 的坐标为(-5, 6) 或(-5,2)， 故答案为：(-5, 6) 或(-5,2)．
17 ．(4 ,8)
【分析】如图所示，设左边正六边形的中心为C ，连接CB，CD，AB ，先证明△BCD 是等 边三角形，得到上CDB = 60。，再求出上ADB = 120。，得到A、C、D 三点共线，求出上DAB = 30。， 得到上ABC = 90。，则 AB = AB = 4 ，再由OB = OC + BC = 8 ，可得 A(4,8)．
【详解】解：如图所示，设左边正六边形的中心为C ，连接CB，CD，AB ，
:△BCD 是等边三角形， : 上CDB = 60。，
∵正六边形的一个内角度数为 = 120。， :∠ADB = 360。- 120。- 120。= 120。，
: 上CDB + 上ADB = 180。， : A 、C 、D 三点共线， ∵ AD = BD ，
: 上ABC = 90° , AC = 2BC
又: OB = OC + BC = 8 ，
故答案为：(4,8)．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理， 等边三角形的性质与判定，勾股定理，坐标与
图形，含 30 度角的直角三角形的性质，正确求出AB，OB 的长是解题的关键．
18 ．(1)见解析
(2)AB=CD，ABⅡ CD；
(3)四边形 ABDC 的面积是 15．
【分析】（1）根据点的坐标，在直角坐标系中找出各点即可；
（2）根据题意画出图形，由坐标性质推知 AB=CD、ABⅡ CD；
（3）先求得两个三角形的面积，求和即可求得四边形 ABDC 的面积．
【详解】（1）解：根据点的坐标，在直角坐标系中描出 A（-3 ，-2）、B（2 ，-2）、C（-2，
1）、D（3 ，1）四个点；如图所示，
;
（2）解：如图，:A（-3 ，-2），B（2 ，-2）， :AB=5，ABⅡx 轴．
又:C（-2 ，1），D（3 ，1）， :CD=5 ，CDⅡx 轴．
:AB=CD，ABⅡ CD；
（3）解：连接 BD，
三角形 ABC 的面积为
三角形 DBC 的面积为 :四边形 ABDC 的面积为：7.5+7.5=15．
即四边形 ABDC 的面积是 15．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质， 三角形的面积，熟练掌握网格结构与平面直角坐标 系准确描出 A 、B 、C、D 四个点是解题的关键．
19 ．各点的坐标分别为：A(－4 ，4) ，B(－3 ，0) ，C(－2，－2)，D(1，－4) ，E(1，－1)， F(3 ，0) ，G(2 ，3)．
【分析】直接利用平面直角坐标系即可得出各点坐标．
【详解】各点的坐标分别为：
A(－4 ，4) ，B(－3 ，0) ，C(－2，－2)，D(1，－4) ，E(1，－1) ，F(3 ，0) ，G(2 ，3)． 【点睛】
本题考查点的坐标．
20 ．(1)(3, 4), (-3, -3)
(2)见详解
(3)两栖动物，(-4, -1)
【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．
（1）直接利用原点位置建立平面直角坐标系，进而得出答案；
（2）利用已知平面直角坐标系得出大象的位置；
（3）利用飞禽所在的点的坐标是(-1,3) 得出原点位置进而得出答案．
【详解】（1）:南门所在的点为坐标原点，狮子所在点的坐标为：(-4, 5) ，
:飞禽所在点的坐标为：(3, 4), 马所在点的坐标为：(-3, -3) ；
故答案为：(3, 4), (-3, -3) ；
（2）根据大象所在点的坐标为(3, -2) ．表示如图所示：
（3）当飞禽所在的点的坐标是(-1,3)，则此时坐标原点是两栖动物所在的点， 此时南门所在的点的坐标是：(-4, -1) ．
故答案为：两栖动物，(-4, -1) ．
21 ．(1) (19, -1) ，(20, 0) ，(2023, -1) ，(2024, 0) ；
(2)n ，(4n + 3, -1)．
【分析】本题考查图形与坐标， 涉及点的坐标规律、等腰三角形性质、等边三角形性质及勾 股定理，数形结合，准确找到点的坐标特征是解决问题的关键．
（1）由平面直角坐标系及所给的图形可找到规律A2n = (2n, 0) ，n 是正整数；A4n+1 (4n +1, )， n 是自然数；A4n+3 (4n +3, -1) ，n 是自然数；代值求解即可得到答案；
（2）由（1）中所得规律，结合题中要求即可得到答案．
【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，OA2 = A2 A4 = A4 A6 = A6 A8 = A8 A10 = A10 A12 = . . . = 2 ， : A2n = (2n, 0) ，n 是正整数，
: A20 (20, 0) ，A2024 (2024, 0) ；
Q △OA1A2 ， △A4 A5 A6 ， △A8 A9 A10 , ... ，都是等边三角形，
: △OA1A2 ， △A4 A5 A6 ， △A8 A9 A10, ... 中，以x 轴上的边为底的高长为
是自然数；
Q △A2 A3A4 ， △A6 A7 A8 ， △A10 A11A12 ， △A14 A15 A16 ，... 都是等腰直角三角形，
: 如图所示，A4n+3 (4n +3, -1) ，n 是自然数； Q19 = 4 × 4 + 3 ，2023 = 4 × 505 + 3
: A19 (19, -1) ，A2023 (2023, -1)；
故答案为：① (19, -1) ；②(20, 0) ；③ (2023, -1) ；④ (2024, 0) ；
（2）解：由（1）中 A2n = (2n, 0) ，n 是自然数；A4n+3 (4n +3, -1) ，n 是自然数； 当n 是正整数时，An = (n, 0) ；A4n+3 (4n + 3, -1) ；
故答案为：①n；② (4n +3, -1)．
22 ．(1)2，2
(3)①48cm2 ；② t = 2.25 或t = 4
【分析】本题考查了一元一次方程与几何应用，轴对称的性质，三角形的面积，正确掌握相 关性质内容是解题的关键．
（1）根据运动速度和时间列式得出AP ，再结合AB = CD = 6cm, AD = BC = 8cm ，进行线段 的和差运算，即可作答．
（2）先算出长方形的面积为 48cm2 ，则△ABD 或△BCD 的面积为24cm2 ，结合 PD 平分
△ABD 或△BCD 的面积，列式进行计算可作答．
（3）①结合垂线段最短，找出DP ¢ 最短，即点P 与点C 重合，根据轴对称的性质，得出 S四边形PBP¢D = 2S△BDP ，结合边形 PBP¢D 的面积是长方形ABCD 的面积 ，即可作答．
②由得出S△BDP = 6cm2 ，然后进行分类讨论，即当点 P 在AB 上时和点 P 在CB 上时，再根 据三角形的面积等于底与高的乘积的一半，即可作答．
【详解】（1）解：∵动点 P 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿A → B → C 的方向运动向终点 C 运动，
:当t = 2 时，则AP = 2 × 2 = 4 (cm) ∵ AB = CD = 6cm, AD = BC = 8cm : BP = 6 - 4 = 2 (cm)
:当t = 4 时，则2× 4 = 8 (cm)
: BP = 8 - 6 = 2 (cm) 故答案为：2，2
（2）解：∵长方形ABCD 中，AB = CD = 6cm, AD = BC = 8cm :△ABD 等于△BCD 的面积，
∵ PD 平分△ABD 的面积，
: S△APD = S△ABD = 12 (cm2 )，
即 AP × AD = AP × 8 = × 2t × 8 = 12 (cm2 )，
解得t = ．
∵ PD 平分△BCD 的面积，
: S△BPD = S△CBD = 12 (cm2 )，
即 BP × DC = BP × 6 = 2t - 6)×6 = 12 (cm2 )， 解得t = 5 ．
: t = 或t = 5
（3）解：①:当点 P 不与点 B 重合时，作点 P 关于BD 的对称点P¢ ,分别连结 BP¢, DP¢ : DP ¢ 最短时，即DP 最短
此时DP 丄 BC （垂线段最短），即点 P 与点C 重合 : S四边形PBP¢D = 2S△BDP = 2S△BDC = 2 × 24 = 48 (cm2 )
②:边形PBP¢D 的面积是长方形ABCD 的面积
: S四边形PBP¢D = × 48 = 12 (cm2 )
: S四边形PBP¢D = 2S△BDP
: S△BDP = 6cm2
当点 P 在AB 上时
: S△BDP = × BP × AD = 6 - 2t)×8 = 6cm2 解出t = 2.25 ；
当点 P 在CB 上时
: S△BDP = × BP × CD = 2t - 6)×6 = 6cm2 解出t = 4 ；
综上：t = 2.25 或t = 4 ．