初中数学人教版（2024）八年级上册全等三角形单元测试课后练习题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册全等三角形单元测试课后练习题，共44页。试卷主要包含了个与Rt△ABC等内容，欢迎下载使用。
C ．周长为15cm 的两个等边三角形 D ．一个钝角对应相等的两个等腰三角形
2 ．如图， △OCA≌△OBD, 上1 = 40° , 上C = 110° ,则 上D = ( )
A ．30° B ．40° C ．50° D ．无法确定
3 ．如图，尺规作上HFG = 上ABC ，作图痕迹中弧MN 是( )
A ．以点 F 为圆心，以BE 长为半径的弧 B ．以点 F 为圆心，以DE 长为半径的弧
C ．以点 G 为圆心，以BE 长为半径的弧 D ．以点 G 为圆心，以DE 长为半径的弧
4 ．综合实践课上，老师发给每人一张印有Rt△ABC 的卡片，如图 1，然后要求同学们画一 个与Rt△ABC 全等的三角形．嘉淇同学先画出了上MB¢N = 90° 后，后续的作图步骤如图 2 所示，则能判定Rt△A¢B ¢C ¢≌Rt△ABC 的依据是( )
A ．SAS B ．SSS C ．HL D ．AAS
5．如图是一个可调节平板支架，其结构示意图如下，已知平板宽度AB 为16cm ，支架脚BC 的长度为12cm ，当上ABC = 90° 时，可测得AC = 20cm ，保持此时 △ABC 的形状不变，当CB 平分上ACD 时，点 B 到CD 的距离是( )
A ．8cm B ．8.6cm C ．9cm D ．9.6cm
6 ．如图，已知 △ABC 的面积为12，BP 平分Ð ABC ，且 AP 丄 BP 于P ，则 △BPC 的面积是 ( )
A ．10 B ．8 C ．6 D ．4
7 ．如图，AC = BC ，且 上D = 上E = 90° ,能保证 Rt△ADC≌Rt△CEB 成立的条件有( )
① 上ACB = 90° ; ② AD = CE ；③ AC = 2AD ；④ CD = BE ．
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
8 ．如图所示，把一个边长分别为 3 ，4 ，5 的三角形和三个正方形放置在大长方形ABCD 中， 则该长方形中白色部分的面积为( )
A ．54 B ．60 C ．100 D ．110
9 ．如图，在 △ABC 中，上ACB = 90°, AC = BC, BE 丄 CE 于点 E，AD 丄 CE 于点 D， DE = 8, AD = 12 ，则 BE 的长是( )
A ．4 B ．3 C ．2 D ．6
10 ．如图，在平面直角坐标系中，点C(m, m) 在第一象限，点 B，A 分别在 x 轴正半轴和y 轴正半轴上，上ACB = 90° ,则 OA + OB 等于( )
A ．m B ．2m C ．3m D ．4m
11．如图，在 △ABC 中，AB = 4 ，AC = 6 ，点E 为BC 的中点，AD 平分 ÐBAC ，若 △ABC 的面积记为S1 ， △ADE 的面积记为S2 ，则S1 : S2 的值为( )
A ． B ．10 C ．8 D ．
12 ．如图，在四边形ABCD 中，AD ⅡBC ，E 是BC 上一点，F 是AB 的中点， AD = 14, DE = 16 ，若 EF 丄 DF ，则 BE 的长度是( )
A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
13 ．如图，上AOB = a ，以 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB 于点 C、D，画 射线O¢A¢ ,以点O¢ 为圆心，OC 为半径画弧交O¢A¢ 于点C¢ ,以点C¢ 为圆心，CD 长为半径
依次画弧，分别交前弧于点E、F、G ，画射线 O¢G ，反向延长 O¢A¢ ,画出 上HO¢G 的角平分 线O¢M ，则 上MO¢H 为 （用含 a 的代数式表示）
14 ．如图，在直角平面坐标系中，AB = BC ，上ABC = 90° , A (3, 0) ，B (0, -1)，则点 C 的 坐标是 ．
15．如图，已知AB = AD, BC = DE ，且上CAD = 20° , 上B = 上D = 25° , 上EAB = 120° , 则 Ð EGB 的度数为 ．
16．如图，CA 丄 BC ，垂足为 C，AC = 2cm,BC = 6cm ，射线BM 丄 BQ ，垂足为 B，动点 P 从 C 点出发以 1 厘米每秒的速度沿射线CQ 运动，点 N 为射线BM 上一动点，满足
PN = AB ，随着 P 点运动而运动，当点 P 运动 秒时，三角形BCA 与点 P、N、B 为顶 点的三角形全等（时间不等于 0）．
17 ．如图，点 C 是AB 的中点，CD∥BE ，且 CD = BE ．求证AD Ⅱ CE ．
18 ．如图所示，已知AB = DC，AE = DF，CE = BF ，试说明：AF = DE ．
19 ．小朋友荡秋千的侧面示意图如图所示，静止时秋千位于铅垂线BD 上，转轴 B 到地面的 距离BD = 2.5m ．乐乐在荡秋千的过程中，当秋千摆动到最高点 A 时，点 A 到地面的距离 AE = 1.5m ．当他从点 A 处摆动到点A¢ 处时，过点A¢ 作A¢F 丄 BD 于点 F．若A¢B 丄 AB ，
求点A¢ 到BD 的距离A¢F ．
20 ．直角三角形ABC 的直角顶点 C 置于直线l 上，AC = BC ，现过A，B 两点分别作直线 l 的垂线，垂足分别为D，E ．
(1)请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明过程；
(2)若BE = 4 ，DE = 5 ，求出 AD 的长．
21 ．如图，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点 E，使 ED = AD ，连接CE ．
(1)证明 △ABD≌△ECD ；
(2)若AB = 5，AC = 3，设 AD = x ，求 x 的取值范围．
22 ．如图，在 △ABC 中， CA = CB ，点 E 在边 BC 上，且 CE = CD ， 上ACB = 上DCE = 90° , AE 的延长线交BD 于点 F，连接CF ．
(1)求证：AE = BD ；
(2)求证：CF 平分上AFD ．
23．如图，在 △ABC 中，AB = AC = 5 ，上B = 上C = 40° , 点D 在线段BC 上运动（点 D 与点 B ，C 不重合），连接 AD ，作 上ADE = 40° , DE 交线段AC 于点E ．
(1)当上BDA = 120° 时，求上EDC 的度数；
(2)当线段DC 的长度是多少时， △ABD≌△DCE ？请写出证明过程．
24 ．问题情境：如图①,在直角三角形 ABC 中，上BAC = 90°, AD 丄 BC 于点D，可知：
上BAD = 上C （不需要证明）．
特例探究：如图② , 上MAN = 90° ,射线 AE 在这个角的内部，点B，C 在 ÐMAN 的边 AM，AN 上，且AB = AC, CF 丄 AE 于点F, BD 丄 AE 于点 D ．证明： △ABD≌△CAF ；
归纳证明：如图③, 点B, C 在 ÐMAN 的边AM , AN 上，点E, F 在 ÐMAN 内部的射线AD 上，
上1,上2 分别是 △ABE,△CAF 的外角．已知AB = AC, 上1= 上2 = 上BAC ．求证：
△ABE≌△CAF ；
拓展应用：如图④, 在 △ABC 中，AB = AC, AB > BC ．点 D 在边BC 上，CD = 2BD ，点E, F
在线段AD 上，上1= 上2 = 上BAC ．若 △ABC 的面积为 15，则△ACF 与△BDE 的面积之和 为 ．
25 ．【初步探索】
（1）如图 1：在四边形 ABCD 中，AB = AD, 上B = 上ADC = 90° , E , F 分别是BC, CD 上的 点，且EF = BE + FD ，探究图中 ÐBAE 、上FAD 、 Ð EAF 之间的数量关系．小王同学探究 此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG = BE ，连接AG ，先证明 △ABE≌△ADG ，再证 明 △AEF≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是
______________________________________________________；
【灵活运用】
（2）如图 2，若在四边形ABCD 中，AB = AD, 上B + 上D = 180° , E 、F 分别是BC 、CD 上 的点，且EF = BE + FD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图 3，已知在四边形ABCD 中，上ABC + 上ADC = 180°, AB = AD ，点E 在CB 的延长 线上，点F 在CD 的延长线上，如图 3 所示，仍然满足EF = BE + FD ，请写出 Ð EAF 与 ÐDAB 的数量关系，并给出证明过程．
1 ．C
【分析】本题考查全等三角形的判定， 等边三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是掌握 全等三角形的判定方法；由全等三角形的判定方法，即可判断．
【详解】解： A 、D、两个三角形全等至少需要一边对应相等的条件，故 A 、D 不符合题意；
B、腰的夹角不一定相等，故 B 不符合题意；
C、由SSS 判定两个等边三角形全等，故 C 符合题意． 故选：C．
2 ．A
【分析】本题考查三角形的内角和和全等三角形的性质， 根据三角形的内角和求出上A 的度 数，然后根据全等三角形的对应角相等解答即可．
【详解】解：: 上1 = 40° , 上C = 110° ,
: 上A = 180° - 上1- 上C = 180° - 40° -110° = 30° , 又: △ OCA≌ △ O BD ，
: 上D = 上A = 30° , 故选：A．
3 ．D
【分析】本题考查尺规作图—作角，根据尺规作角的方法，得到弧MN 是以点 G 为圆心， 以DE 长为半径的弧，作答即可．
【详解】解：由作图可知：弧MN 是以点 G 为圆心，以DE 长为半径的弧； 故选 D．
4 ．C
【分析】本题考查尺规作图， 全等三角形的判定．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具 体步骤，可判定选项 C 正确．
【详解】解： 由图示知，嘉淇第一步为截取线段B¢C ¢ = BC ，第二步为作线段C¢A¢ = CA ，判 定方法为HL ；
故选：C．
5 ．D
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定， 求三角形的高，过点 B 作BD 丄 AC 于 D ，BE 丄 CD 于 E，可证明 △BDC≌△BEC 得到BE = BD ，再由等面积法得到 BD = 9.6cm ， 则BE = 9.6cm ．
【详解】解：如图所示，过点 B 作BD 丄 AC 于 D ，BE 丄 CD 于 E，
: CB 平分上ACD ，
: 上BCD = 上BCE ，
: BD 丄 AC ，BE 丄 CD ， : 上BDC = 上BEC = 90° , 又: BC = BC ，
: △BDC≌△BEC (AAS )，
: BE = BD ，
: 上ABC = 90° ,
1 1
: S△ABC = 2 AB . BC = 2 AC . BD ，
: BD = 9.6cm ，
: BE = 9.6cm ，
:点 B 到CD 的距离是9.6cm ， 故选：D．
6 ．C
【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的转化， 解 题的关键是通过延长线段构造全等三角形，将 △ABC 的面积与 △BPC 的面积建立等量关系． 延长AP 交BC 于点G , 利用BP 平分Ð ABC 和AP 丄 BP, 证明 △ABP≌△GBP, 得出AP = PG 且
△ABP 与 △GBP 面积相等；由AP = PG 可知△APC 与△GPC 面积相等；通过面积转化可得
△ABC 的面积是 △BPC 面积的 2 倍，进而求出 △BPC 的面积． 【详解】延长 AP 交BC 于点 G．
∵ BP 平分上ABC, :∠ABP = ∠GBP ．
∵ AP 丄 BP,
: 上APB = 上GPB = 90° .
在 △ABP 和 △GBP 中 : ABP≌△GBP (ASA ) ．
: AP = PG, S△ABP = S△GBP ． ∵ AP = PG,
:△APC 和△GPC 等底同高（以AP 、PG 为底，高均为点 C 到AG 的距离）， : S△APC = S△GPC ．
∵S△ABC = S△ABP + S△BPG + S△APC + S△GPC 且S△ABP = S△BPG , S△APC = S△GPC ,
: S△ABC = 2 (S△BPG + S△GPC ) = 2S△BPC
∵S△ABC = 12
: 2S△BPC = 12, 即S△BPC = 6 ．
故选：C．
7 ．C
【分析】本题考查直角三角形全等的判定条件，掌握直角三角形全等的判定条件是解答本题 的关键．
根据直角三角形全等的判定条件逐个判断即可解答．
【详解】解： 根据直角三角形全等的判定条件“HL ”，即斜边和一条直角边对应相等，
: ② AD = CE 和 ④ CD = BE 满足定理“HL ”，
①: 上ACB = 90° , 上D = 上E = 90° , : 上ACD = 90° - 上BCE = 上CBE
又: AC = BC ，
: △ADC ≌△CEB(AAS)
条件③AC = 2AD ，不能证明 Rt△ADC≌Rt△CEB 故选：C．
8 ．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，如图，延长 EG 交BC 于 M，证明出
Rt △EFG≌Rt△MGQ (AAS) ，可得长方形的长 11 与宽 10，计算出长方形的面积后减去三个 正方形的面积即可．
【详解】解：如图，延长 EG 交BC 于 M，其他字母标注如图示：根据题意，EF = 3 ， EG = 4 ，FG = 5 ，
在Rt△EFG和Rt△MGQ 中， :上FEG = 上GMQ = 90° ,
:上EFG + 上FGE = 90° = 上FGE + 上MGQ ， :上EFG = 上MGQ ，
: FG = QG ，
: Rt △EFG≌Rt△MGQ (AAS) ， : GM = EF = 3 ，MQ = EG = 4 ，
: AB = 3 + 4 + 3 = 10 ，
同理可证 △GMQ ≌△QCH ， : CQ = GM = 3 ，
: BC = 4 + 4 + 3 = 11 ．
空白部分的面积= 长方形面积- 三个正方形的面积和= 10 × 11- (32 + 42 + 52 ) = 60 ． 故选：B．
9 ．A
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据同角的余角相等，得到 上ABE = 上ACD ， 证明△ADC ≌△CEB ，进而得到 CE = AD ，线段的和差关系求出 BE 的长即可．
【详解】解：: BE 丄 CE ，AD 丄 CE ， : 上BEC = 上ADC = 90° = 上ACB ，
: 上ACD = 上ABE = 90° - 上BCE ， 又: AC = BC ，
:△ADC ≌ △CEB ， : CE = AD = 12 ，
: CD = CE - DE = 12 - 8 = 4 ；
故选 A．
10 ．B
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标， 全等三角形的判定和性质，解题的关 键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
过点C 作CE 丄 x 轴，交x 轴于点E ，过点C 作CD 丄 y 轴，交y 轴于点D ，通过点的坐标和 条件证明 △ACD≌△BCE ，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点C 作CE 丄 x 轴，交x 轴于点E ，过点C 作CD 丄 y 轴，交y 轴于点 D ，
: 上DCE = 90° , 上ADC = 上BEC = 90°
: 上ACB = 90° ,
: 上ACD + 上ACE = 上BCE + 上ACE = 90° ,
: 上ACD = 上BCE
∵C(m, m) ，
: CD = CE = m ，
: △ACD≌△BCE (ASA ) ，
:BE = AD ,
: OA + OB = OA + OE + BE = OA + AD + OE = OD + OE = 2m ， 故选：B．
11 ．B
【分析】此题考查角平分线的性质， 根据三角形的中线求面积，关键是根据三角形中线的性 质和角平分线的性质得出面积关系解答．
过点D 作DM ^ AB ，DN ^ AC ，得到DM = DN ，然后得到 利用 三角形中线的性质得到S△ABE = S△△ABC ，设S△ABD = 2x ，S△ADC = 3x ，则S△ABC = 5x ， 进而求解即可．
【详解】解：过点 D 作DM ^ AB ，DN ^ AC ，
Q AD 为△ABC 的角平分线，
:DM = DN ，
Q AB = 4 ，AC = 6 ，
QE 为BC 中点，
设S△ABD = 2x ，S△ADC = 3x ，则S△ABC = 5x ，
故选：B．
12 ．A
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，延长 EF 与DA 交 于点M ，证明 △AFM≌△BFE (AAS) 得到MF = EF ，BE = AM ，结合 EF 丄 DF ，得到 DF 垂直平分EM ，则 DE = DM = 16 ，即可得到 BE = AM = DM - AD = 2 ．
【详解】解：延长 EF 与DA 交于点M ，
∵ ADⅡBC ，
: 上M = 上FEB ，上MAF = 上EBF ， ∵F 是AB 的中点，
: AF = BF ，
: △AFM≌△BFE (AAS) ， : MF = EF ，BE = AM ，
∵ EF 丄 DF ，
: DF 垂直平分EM ， : DE = DM ，
∵ AD = 14, DE = 16 ， : DM = DE = 16 ，
: AM = DM - AD = 16 -14 = 2 ，
: BE = AM = 2 ， 故选：A．
13 ．
【分析】本题考查了作一个角等于已知角，角平分线的性质，以及角的运算，根据题意可知
上A¢O ¢G = 3上AOB = 3a ，推出 上HO¢G ，根据角平分线的性质，即可得到 上MO¢H 【详解】解：由题可知，上A¢O ¢G = 3上AOB = 3a ，
:上HO¢G = 180° - 3a ，
QO¢M 为上HO¢G 的角平分线，
故答案为
14 ．(1, -4)
【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，过点 C 作CE 丄 y 轴于 E， 可证明 △OBA≌△ECB (AAS) ，得到CE = OB，OA = BE ，再由点 A 和点 B 的坐标得到
CE = OB = 1，BE = OA = 3，进而得到OE = OB + BE = 4 ，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点 C 作CE 丄 y 轴于 E，
: 上AOB = 上ABC = 上BEC = 90° ,
:∠OBA +∠OAB = ∠OBA +∠EBC = 90° , : 上OAB = 上EBC ，
又: AB = BC ，
: △OBA≌△ECB (AAS) ， : CE = OB，OA = BE ， : A (3, 0) ，B (0, -1) ， : OA = 3，OB = 1，
: CE = OB = 1，BE = OA = 3， : OE = OB + BE = 4 ，
∴C (1, -4)，
故答案为：(1, -4)．
15 ．110°
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，先证明
△ABC≌△ADE(SAS)，得到 上DAE = 上CAB ，角的和差关系求出
上DAB = 上BAC + 上DAC = 70° , 8 字型图，得到上DGB = 上DAB = 70° , 平角的定义，求出 Ð EGB 的度数即可．
【详解】解：在 △ABC 和△ADE 中，
:△ABC≌△ADE (SAS)，
:上DAE = 上CAB ．
Q 上EAB = 120° , 上CAD = 20° ,
:上DAB = 上BAC + 上DAC = 70° .
Q 上DGB + 上D = 上DAB + 上B, 上B = 上D = 25° ,
: 上DGB = 上DAB = 70 ° ,
:上EGB = 180° - 上DGB = 110° .
故答案为：110° .
16 ．4 或 8 或12
【分析】本题考查了三角形全等的判定，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
首先要分两种情况：①当 P 在线段BC 上时，②当 P 在BQ 上，再分别分两种情况AC = BP 或AC = BN 进行计算即可．
【详解】解：①当 P 在线段BC 上，AC = BP 时， △ACB 与 △PBN 全等，
Q AC = 2 ，
:BP = 2 ，
: CP = 6 - 2 = 4 ，
: 点 P 的运动时间为4 ÷1 = 4 （秒）；
②当 P 在线段BC 上，AC = BN 时， △ACB 与 △PBN 全等，
这时BC = PB = 6, CP = 0 ，因此时间为 0 秒；（不符合题意，舍去）
③当 P 在BQ 上，AC = BP 时， △ACB 与 △PBN 全等， Q AC = 2 ，
:BP = 2 ，
: CP = 2 + 6 = 8 ，
: 点 P 的运动时间为8÷1 = 8 （秒）；
④当 P 在 BQ 上，AC = BN 时， △ACB 与 △PBN 全等， Q BC = 6 ，
:BP = 6 ，
: CP = 6 + 6 = 12 ，
: 点 P 的运动时间为12 ÷1 = 12 （秒）， 故答案为：4 或 8 或12 ．
17 ．见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质，证明
△ACD≌△CBE (SAS) 是关键．证明 △ACD≌△CBE (SAS) ，则上CAD = 上BCE ，根据平行线的 判定即可得到结论．
【详解】证明：: CD∥BE ， : 上ACD = 上CBE ，
:点 C 是AB 的中点， : AC = CB ，
又: CD = BE ，
: △ACD≌△CBE (SAS) ，
: 上CAD = 上BCE ， : AD Ⅱ CE ．
18 ．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的 关键．根据CE = BF 可得BE = CF 证得△ABE≌△DCF(SSS) ，再由 上B = 上C 证得
△ABF≌△DCE(SAS) ，即证得结论． 【详解】证明：Q CE = BF ，
:BE = CF ，
在 △ABE 和 △DCF 中，
AB = DC, AE = DF, BE = CF ， :△ABE≌△DCF(SSS) ，
:上B = 上C ，
在△ABF 和 △DCE 中，
AB = DC, 上B = 上C, BF = CE ， : △ABF≌△DCE(SAS) ，
: AF = DE ．
19 ．A¢ 到BD 的距离A¢F 为1m
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质 ．先证明 △ACB≌△BFA¢ ,即可得到 A¢F = BC ，再求出 BC 即可得到答案．
【详解】解：过点 A 作AC ^ BD 于C ，
QA¢F 丄 BD ，AC ^ BD 于C ，
:上ACB = 上A¢FB = 90° ,
:上1+ 上3 = 90° , QA¢B 丄 AB ，
:上1+ 上2 = 90° ,
:上2 = 上3 ，
在 △ACB 和△BFA¢ 中，
ï
í上2 = 上3 ， ïlAB = A¢B
ì上ACB = 上BFA¢
:△ACB≌△BFA¢ (AAS) ，
: A¢F = BC ，
Q BD = 2.5m, AE = CD = 1.5m ，
:BC = BD - CD = 2.5 -1.5 = 1m ，
: A¢F = 1m ，
即A¢ 到BD 的距离A¢F 为1m ．
20 ．(1) △ACD≌△CBE ，见解析 (2)9
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
（1） △ACD≌△CBE ，由 AD 丄 CE ，BE 丄 CE ，得到 上ADC = 上CEB = 90° ,且
上ECB + 上CBE = 90° ,由 上ACB = 90° ,又由 上ECB + 上ACD = 90° ,得到 上CBE = 上ACD ， 则结论得证；
（2）由 △ACD≌△CBE ，得到CD = BE = 4 ，AD = CE ， 则CE = CD + DE = 4 + 5 = 9 ，即可 得到答案．
【详解】（1）解： △ACD≌△CBE ．理由如下：
∵ AD 丄 CE ，BE 丄 CE ， : 上ADC = 上CEB = 90° , : 上ECB + 上CBE = 90° , 又∵上ACB = 90° ,
: 上ECB + 上ACD = 90° , : 上CBE = 上ACD ，
在 △ACD 与△CBE 中，
: △ACD≌△CBE (AAS)；
（2）解：∵ △ACD≌△CBE ， : CD = BE = 4 ，AD = CE ，
又∵ CE = CD + DE = 4 + 5 = 9 ，
: AD = 9 ．
21 ．(1)证明见解析
(2)1< x < 4
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用：
（1）由三角形中线的定义得到 BD = CD ，再利用SAS 即可证明 △ABD≌△ECD ；
（2） 由全等三角形的性质得到 CE = AB = 5 ，再由三角形三边的关系可得5 - 3 < 2x < 5 + 3 ， 据此可得答案．
【详解】（1）证明：: AD 是△ABC 的中线， : BD = CD ，
又: AD = ED， ∠ADB = ∠EDC ， : △ABD≌△ECD ；
（2）解：: △ABD≌△ECD ， : CE = AB = 5 ，
: CE - AC < AE < AC + CE ， : 5 - 3 < 2x < 5 + 3 ，
: 1 < x < 4 ，
故答案为：1 < x < 4 ．
22 ．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形．熟练掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的判定是解 题的关键．
（1）由 CA = CB ，上ACB = 上DCE ，CE = CD ，得 △ACE≌△BCD ，即得．
（2）过点C 作CG 丄 AF ，CH 丄 BD ，证明 △ACG≌△BCH ．得CG = CH ．即得FC 平分
上AFD ．
【详解】（1）证明：Q CA = CB ，上ACB = 上DCE ，CE = CD ， :△ACE≌△BCD (SAS) ，
: AE = BD ．
（2）证明：如图，过点C 作CG 丄 AF ，CH 丄 BD ，垂足分别为 G ，H． 由（1）知， △ACE≌△BCD ，
:上CAG = 上CBH ，AC = BC ． Q 上AGC = 上BHC = 90° ,
:△ACG≌△BCH (AAS) ．
: CG = CH ．
∴FC 平分上AFD ．
23 ．(1) 20°
(2) DC = 5 时， △ABD≌△DCE ，见解析
【分析】本题考查的是角的和差运算，内角和定理的应用，全等三角形的判定；
（1）直接利用平角的定义求解即可；
（2）先证明 上BAD = 上CDE ，再结合DC = AB = 5 即可得到结论． 【详解】（1）解：∵ 上BDA = 120° , 上ADE = 40° ,
: 上EDC = 180° - 上BDA - 上ADE = 180° -120° - 40° = 20° .
（2）证明：当 DC = 5 时， △ABD≌△DCE ． 当DC = AB = 5 时，
在△ABD 中，上BAD + 上BDA = 180° - 上B = 140° . ∵ 上BDA + 上EDC = 180° - 上ADE = 140° ,
: 上BAD = 上CDE ．
在△ABD 和 △DCE 中 上CDE ， :△ABD ≌△DCE (ASA ) ．
24 ．（1）见解析；（2）见解析；（3）5
【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积计算， 三角形的外角性质等知识点的综合应用，判断出两三角形全等是解本题的关键．
（1）根据图②, 求出上BDA = 上AFC = 90°, 上ABD = 上CAF ，根据AAS 证两三角形全等即可；
（2）根据图③,运用三角形外角性质求出上ABE = 上CAF, 上BAE = 上FCA ，根据 AAS 证两 三角形全等即可；
（3）根据图④,由CD = 2BD,△ABC 的面积为 15，可求出△ABD 的面积为 5 ，根据
△ABE≌△CAF ，得出△ACF 与△BDE 的面积之和等于△ABD 的面积，据此即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图② , : CF 丄 AE, BD 丄 AE, 上MAN = 90° ,
:上BDA = 上AFC = 90° ,
:上ABD + 上BAD = 90°, 上BAD + 上CAF = 90° ,
:上ABD = 上CAF ，
在△ABD 和△CAF 中 :△ABD≌△CAF (AAS ) ．
（2）证明：如图③ ,
Q 上1= 上BAC, 上1= 上BAE + 上ABE, 上BAC = 上BAE + 上CAF ， :上ABE = 上CAF ，
Q 上2 = 上FCA + 上CAF, 上BAC = 上BAE + 上CAF, 上2 = 上BAC ， :上BAE = 上FCA ，
在 △ABE 和△CAF 中，
ï
ì上ABE = 上CAF
íAB = AC ， ïl上BAE = 上ACF
:△ABE≌△CAF (ASA)．
（3）如图④ , : △ABC 的面积为15, CD = 2BD ， :△ABD 的面积= × 15 = 5 ，
由（2）可得△ABE≌△CAF ，
即：S△ACF = S△ABE ，
:S△ACF + S△BDE = S△ABE + S△BDE = S△ABD = 5 ，
即△ACF 与△BDE 的面积之和等于△ABD 的面积 5 ，
故答案为：5．
25 ．（1） 上BAE + 上FAD = 上EAF （2）仍成立，理由见解析；（3） 上上DAB ， 证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助 线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角 相等．
（1）延长 FD 到点 G，使 DG = BE ，连接 AG ，可判定 △ABE≌△ADG ，进而得出
上BAE = 上DAG ，AE = AG ，再判定 △AEF≌△AGF ，可得出
上EAF = 上GAF = 上DAG + 上DAF = 上BAE + 上DAF ，据此得出结论；
（2）延长 FD 到点 G，使 DG = BE ，连接 AG ，先判定 △ABE≌△ADG ，进而得出
上BAE = 上DAG ，AE = AG ，再判定 △AEF≌△AGF ，可得出
上EAF = 上GAF = 上DAG + 上DAF = 上BAE + 上DAF ；
（3）在DC 延长线上取一点 G，使得DG = BE ，连接AG ，先判定 △ADG≌△ABE ，再判定
△AEF≌△AGF ，得出 上FAE = 上FAG ，最后根据 上FAE + 上FAG + 上GAE = 360° ,推导得到 2上FAE + 上DAB = 360° ,即可得出结论．
【详解】解：（1）如图 1，延长 FD 到点 G，使 DG = BE ，连接 AG ，
在 △ABE 和 △ADG 中，
: △ABE≌△ADG (SAS)，
: Ð BAE = ÐDAG，AE = AG ， : EF = BE + DF ，
: EF = DF + DG = FG ，
在△AEF 和 △AGF 中，
= AG
= AF
= GF
ï
íAF
ìAE
ïlEF
,
: △AEF≌△AGF (SSS) ，
: 上EAF = 上GAF = 上DAG + 上DAF = 上BAE + 上DAF ． 故答案为：上BAE + 上FAD = 上EAF ；
（2）仍成立，理由如下：
如图 2，延长 FD 到点 G，使 DG = BE ，连接 AG ，
: 上B + 上ADF = 180°, 上ADG + 上ADF = 180°,
: 上B = 上ADG ，
在 △ABE 和 △ADG 中，
: △ABE≌△ADG (SAS)，
: Ð BAE = ÐDAG，AE = AG ， : EF = BE + DF ，
: EF = DG + DF = GF ， 在△AEF 和 △AGF 中，
= AG
= AF
= GF
ï
íAF
ìAE
ïlEF
,
: △AEF≌△AGF (SSS) ，
: 上EAF = 上GAF = 上DAG + 上DAF = 上BAE + 上DAF ；
（3）上EAF = 180° - 上DAB ，证明如下：
如图 3，在 DC 延长线上取一点 G，使得DG = BE ，连接 AG ，
: 上ABC + 上ADC = 180°, 上ABC + 上ABE = 180° , : 上ADC = 上ABE ，
在 △ABE 和 △ADG 中，
ìAB = AD
íï上ABE = 上ADG ，
ïlBE = DG
: △ABE≌△ADG (SAS)，
: AG = AE， ∠DAG = ∠BAE ， : EF = BE + DF ，
: EF = DG + DF = FG ， 在△AEF 和 △AGF 中，
= AG
= AF
= GF
ï
íAF
ìAE
ïlEF
,
: △AEF≌△AGF (SSS) ， : 上FAE = 上FAG ，
: 上FAE + 上FAG + 上GAE = 360° ,
: 2上FAE +(上GAB + 上BAE) = 360° ,
: 2上FAE +(上GAB + 上DAG) = 360° , 即2上FAE + 上DAB = 360° ,
:上EAF = 180° - 上DAB ．